清华材料力学课件10能量原理在杆件位移和稳定性分析中的应用

专题篇材料力学

2026年5月7日

第10章能量原理在杆件位移和稳定性分析中的应用

引言

基本概念

互等定理

应用于弹性体的虚位移原理

虚位移原理在弹性杆件上的应用

结论与讨论(1)

引言

引言

分析应力、变形和位移的两种方法

能量原理分析应力、变形和位移的优势分析应力、变形和位移的两种方法

引言分析应力、变形和位移的两种方法

直接方法－利用平衡、变形协调和物性关系

应力分析方法；

求解超静定问题的方法。

引言分析应力、变形和位移的两种方法

引言

能量方法－利用能量原理（同时满足平衡、变形协调和物性关系)

虚位移原理

虚力移原理

最小势能原理

最小余能原理

引言能量原理分析应力、变形和位移的优势能量原理分析应力、变形和位移的

6个方面的优势

引言

一般能量守恒原理：可以确定加力点沿加力方向的位移ABCFP外力功＝系统的应变能能解决什么问题？不能解决什么问题？能量原理分析应力、变形和位移的

6个方面的优势

引言

容易扩展到二维和三维问题。

可以确定任意点沿任意方向的位移；

可以确定位移函数；

既可以确定位移，又可以确定内力和应力；

既适用于线性问题，又适用于非线性问题；

可以用于直接求解超静定；

基本概念

基本概念

功和余功；

应变能和余应变能；

杆件应变能和余应变能的计算；

功和余功

基本概念

基本概念功和余功讨论一般的力和位移关系：广义力与广义位移－

力－线位移；

力偶－角位移；

均匀分布载荷－？；

均匀分布压力－？；一般的力和位移关系－

基本概念功和余功功(work)－以位移作为积分变量dW=FPd

W=

dW=

FPd

dW

基本概念功和余功余功(complementarywork)

－以力作为积分变量dWc=

dFPdWc=

dFPFPWc=

dWc

应变能和余应变能

基本概念

基本概念

应变能和余应变能广义的应力－应变关系

＝(

),

=

()

－可以是正应力也可以是切应力

－可以是正应变也可以是切应变

基本概念

应变能和余应变能应变能(strainenergy)－

以

为积分变量

=

d

－应变比能V

＝

dV－应变能

基本概念

应变能和余应变能

余应变能(complementary

strainenergy)－以

为积分变量vc

=

d

－余应变比能Vc＝

vc

dV

－余应变能

杆件应变能和余应变能的计算

基本概念

基本概念

杆件应变能和余应变能的计算几个前提：

杆件变形后横截面保持平面；

静力学方程成立；

FNx=

A

dA

Mz=-Ay

dAMy=Az

dAMx=A

dA

细长杆忽略剪力影响。

基本概念

杆件应变能和余应变能的计算对于线性问题由v

=

d

V

＝

v

dV以及

＝E

和

＝G

得到

基本概念

杆件应变能和余应变能的计算这一公式也可以由微段上内力作功累加得到dxdx+

dxFNxFNx

基本概念

杆件应变能和余应变能的计算对于非线性问题以及非线性应力－应变关系得到V

和Vc的表达式。由vc

=

dVc＝

vc

dV(参阅：工程力学教程(II)

第3章中的例题

)

互等定理

互等定理功的互等定理

功的互等定理

位移互等定理

应用能量守恒原理和叠加原理可以得到两个互等定理

功的互等定理

互等定理FP－系统FS－系统功的互等定理

功的互等定理(reciprocaltheoremofwork)

互等定理mmm

互等定理功的互等定理定理：一个力系的力在另一个力系引起的相应的位移上所作之功等于另一个力系的力在这一个力系引起的相应的位移上所作之功。mm

PnS

P2S

P1SFP－系统FS－系统

互等定理FP－系统FS－系统

S1P

S2P

SnP

互等定理m

PnS

P2S

P1S

S1P

S2P

SnP

互等定理

互等定理功的互等定理

互等定理功的互等定理特殊情形iFi

iij

jiji

jj

ijFjFi

ij=Fj

ji

互等定理

位移互等定理

互等定理

互等定理iFi

iij

jiji

jj

ijFj位移互等定理Fi

ij=Fj

ji

ij=

ji＝Fi

互等定理i1

iij

jiji

jj

ij1iFi

iij

jiji

jj

ijFj位移互等定理Fi

ij=Fj

ji

ij=

ij

互等定理位移互等定理位移互等定理

一个力(广义的)与另一个力(广义的)若数值相等，则一个力(广义的)在另一个力(广义的)作用处引起的位移，数值上等于另一个力(广义的)在这一个力(广义的)作用处引起的位移。

互等定理

应用于弹性体的虚位移原理

应用于弹性体的虚位移原理

原理表述

弹性体平衡必要性的简单证明

虚位移模式的多样性

虚位移原理的应用条件

原理表述

应用于弹性体的虚位移原理原理表述弹性体平衡的必要条件

对于处于平衡状态的弹性体，令其自平衡位置起有一微小虚位移，则作用在弹性体上的外力在相应的虚位移上所作之功与弹性体内力在相应的虚位移上所作之功之和等于零。弹性体平衡

We＋

Wi＝0

应用于弹性体的虚位移原理原理表述弹性体平衡的充分条件

对于处于某一位置的弹性体，令其自这一位置起有一微小虚位移，若作用在弹性体上的外力在相应的虚位移上所作之功与弹性体内力在相应的虚位移上所作之功之和等于零，则弹性体在这一位置保持平衡。弹性体平衡

We＋

Wi＝0

应用于弹性体的虚位移原理原理表述虚位移原理

弹性体平衡的充分和必要条件是，作用在弹性体上的外力在相应的虚位移上所作之功与弹性体内力在相应的虚位移上所作之功之和等于零。弹性体平衡

We＋

Wi＝0

应用于弹性体的虚位移原理

弹性体平衡必要条件的简单证明

应用于弹性体的虚位移原理弹性体平衡必要性的简单证明以承受分布载荷的简单支承梁为例平衡时，有

应用于弹性体的虚位移原理平衡位置虚位移弹性体平衡必要性的简单证明令梁自变形后的平衡位置起，有一虚位移

w平衡位置

应用于弹性体的虚位移原理平衡位置虚位移弹性体平衡必要性的简单证明

微段dx上的外力qdx在虚位移

w上所作虚功为(qdx)wxdx

全部外力在虚位移

w上所作之总虚功为

应用于弹性体的虚位移原理弹性体平衡必要性的简单证明00

应用于弹性体的虚位移原理弹性体平衡必要性的简单证明

全部外力在虚位移

w上所作之总虚功为

应用于弹性体的虚位移原理弹性体平衡必要性的简单证明考察微段的变形和虚位移，计算内力虚功平衡位置虚位移xdx

应用于弹性体的虚位移原理弹性体平衡必要性的简单证明考察微段的变形和虚位移，计算内力虚功平衡位置虚位移

应用于弹性体的虚位移原理弹性体平衡必要性的简单证明考察微段的变形和虚位移，计算内力虚功其中

应用于弹性体的虚位移原理弹性体平衡必要性的简单证明弹性体平衡

应用于弹性体的虚位移原理

虚位移模式的多样性

应用于弹性体的虚位移原理虚位移模式的多样性虚位移必须微小的、满足变形协调条件（包括约束条件)

可以是与真实位移有关的位移，也可以与真实位移无关

可以是真实位移的增量，这时外力的虚功全部转变为应变能的增量。虚位移原理变为弹性体平衡

We＝

V

应用于弹性体的虚位移原理虚位移模式的多样性虚位移必须微小的、满足变形协调条件（包括约束条件)

可以是某一(或某几个)真实位移的增量

应用于弹性体的虚位移原理虚位移模式的多样性虚位移必须微小的、满足变形协调条件（包括约束条件)

可以是另外一个与之相关的系统的真实位移

应用于弹性体的虚位移原理虚位移模式的多样性虚位移必须微小的、满足变形协调条件（包括约束条件)

可以是另外一个与之相关的系统的真实位移

可以是某一(或某几个)真实位移的增量

可以是与真实位移有关的位移，也可以与真实位移无关

可以是真实位移的增量，这时外力的虚功全部转变为应变能的增量。虚位移原理变为弹性体平衡

We＝

V

应用于弹性体的虚位移原理

虚位移原理的应用条件

应用于弹性体的虚位移原理虚位移原理的应用条件

所有推证过程，只涉及小变形条件下的平衡方程，而与物性关系无关。

虚位移原理的应用条件仅为小变形。

虚位移原理既适用于线性物性关系也适用于非线性物性关系。

应用于弹性体的虚位移原理

虚位移原理在弹性杆件上的应用

虚位移原理的应用

求解位移曲线的近似方程

由虚位移原理导出卡氏第一定理

虚位移原理在弹性杆件上的应用

求解位移曲线的近似方程

虚位移原理的应用求解位移曲线的近似方程

先假设一含有一个或几个待定常数的位移函数，这一函数必须满足连续条件和约束条件。

然后，以真实位移的增量作为虚位移。

We＝

V

分别计算外力虚功

We和应变能增量

V

代入虚位移原理的表达式，得到待定常数，从而求得位移函数。

虚位移原理的应用求解位移曲线的近似方程例题1已知：F、EI、l求：梁的位移曲线以及梁中点的挠度

虚位移原理的应用求解位移曲线的近似方程1，假设位移函数2,计算应变能3,由虚位移计算外力虚功和应变能增量例题1

虚位移原理的应用求解位移曲线的近似方程2,计算应变能3,由虚位移计算外力虚功和应变能增量虚位移：外力虚功：应变能增量：例题1

虚位移原理的应用求解位移曲线的近似方程3,由虚位移计算外力虚功和应变能增量虚位移：外力虚功：应变能增量：4，应用虚位移原理确定待定常数

We＝

V

例题1

虚位移原理的应用求解位移曲线的近似方程4，应用虚位移原理确定待定常数

We＝

V

5，确定位移曲线方程以及梁中点的挠度位移曲线方程例题1

虚位移原理的应用求解位移曲线的近似方程5，确定位移曲线方程以及梁中点的挠度梁中点的挠度精确值误差1.4%例题1

虚位移原理的应用位移曲线方程

由虚位移原理导出卡氏第一定理

虚位移原理的应用卡氏第一定理(Castiglianofirsttheorem)

载荷系统：F1、F2、...、Fi、...、Fn

加力点位移：

1、

2

、...、

i、...、

n

虚位移模式

1＝

2＝...

n＝0

i＝0/卡氏第一定理

虚位移原理的应用卡氏第一定理(Castiglianofirsttheorem)外力虚功：应变能增量：应变能：000

虚位移模式

1＝

2＝...

n＝0

i＝0/卡氏第一定理

虚位移原理的应用卡氏第一定理(Castiglianofirsttheorem)外力虚功：应变能增量：应变能应用虚位移原理

We＝

V

卡氏第一定理

虚位移原理的应用000卡氏第一定理(Castiglianofirsttheorem)

系统的总应变能对于某个力作用点沿加力方向位移的一阶偏导数等于这个力。卡氏第一定理

虚位移原理的应用卡氏第一定理例题2已知：图示结构中，A、B、C三处均为铰链，

AB杆和BC杆的拉压刚度均为EI。FP

、

l、EI

等均为已知。求：加力点B处的位移。

虚位移原理的应用卡氏第一定理

一般情形下，都是先由变形前的平衡位置求得杆的受力，再由受力计算变形或位移。

现在必须考察变形以后的平衡位置才能求得杆的受力，然后求得位移。问题的性质例题2

虚位移原理的应用卡氏第一定理解决问题的思路

先将系统的应变能V

表示成位移

B函数:V

＝V

(

B)；

再应用卡氏第一定理建立力FP与位移

B的关系。例题2

虚位移原理的应用卡氏第一定理1，建立位移

B与变形

l

之间的关系例题2

虚位移原理的应用卡氏第一定理1，建立位移

B与变形

l

之间的关系2,建立应变能表达式V

＝V

(

B)例题2

虚位移原理的应用卡氏第一定理1，建立位移

B与变形

l

之间的关系2,建立应变能表达式V

＝V

(

B)例题3,应用卡氏第一定理建立力FP与位移

B之间的关系

虚位移原理的应用

势能原理在弹性稳定分析中的应用

势能原理在弹性稳定分析中的应用

应用于弹性体的势能驻值定理与最小势能原理

铁摩辛柯方法

瑞利－里兹法

应用于弹性体的势能驻值定理与最小势能原理

势能原理在弹性稳定分析中的应用应用于弹性体的势能驻值定理与最小势能原理弹性体的总势能V＝V

＋VPV

－弹性势能，即应变能；

VP－载荷的位置势能。

势能原理在弹性稳定分析中的应用应用于弹性体的势能驻值定理与最小势能原理

应用于弹性体的势能驻值定理：弹性体平衡构形的充要条件是系统的总势能取驻值。

V＝

V

＋

VP＝0

V

－弹性势能增量；

VP－载荷的位置势能增量。

势能原理在弹性稳定分析中的应用

应用于弹性体的最小势能原理：弹性体平衡构形稳定的充要条件是系统的总势能取最小值。应用于弹性体的势能驻值定理与最小势能原理

V＝

V

＋

VP

0

势能原理在弹性稳定分析中的应用

铁摩辛柯方法

势能原理在弹性稳定分析中的应用F=FPcr时，令其从直线平衡构形转变到邻近的微弯屈曲构形这时系统总势能改变量为

V＝

V

＋

VP铁摩辛柯方法

势能原理在弹性稳定分析中的应用

V＝

V

＋

VP铁摩辛柯方法

势能原理在弹性稳定分析中的应用铁摩辛柯方法

势能原理在弹性稳定分析中的应用铁摩辛柯方法

势能原理在弹性稳定分析中的应用例题(1)

对于一端固定、另一端自由的压杆，假定屈曲位移函数：铁摩辛柯方法

势能原理在弹性稳定分析中的应用例题(2)

对于两端铰链的压杆，假定屈曲位移函数：铁摩辛柯方法

势能原理在弹性稳定分析中的应用例题(3)

对于一端固定、另一端自由，承受轴向均布载荷的压杆，假定屈曲位移函数：则应变能的改变量为载荷位置势能的改变量为铁摩辛柯方法

势能原理在弹性稳定分析中的应用例题(3)则应变能的改变量为载荷位置势能的改变量为铁摩辛柯方法

势能原理在弹性稳定分析中的应用例题(3)则应变能的改变量为载荷位置势能的改变量为

V

＋

VP＝0铁摩辛柯方法

势能原理在弹性稳定分析中的应用例题(3)近似解精确解铁摩辛柯方法

势能原理在弹性稳定分析中的应用

瑞利－里兹法

势能原理在弹性稳定分析中的应用

首先假设包含未知参数(例如an,n=1,2,...)的屈曲构形级数解，这一级数必须满足几何边界条件；

其次根据所假设的解，计算以未知参数(例如an,n=1,2,...)表示的系统总势能；根据势能驻值定理

V＝0，由瑞利－里兹法

势能原理在弹性稳定分析中的应用根据势能驻值定理

V＝0，由于其中都是任意的，于是得到据此即可确定未知参数a1,a2,...,an等等。瑞利－里兹法

势能原理在弹性稳定分析中的应用例题

两端铰支的变截面压杆，截面的惯性矩按下列公式变化：求：临界力。瑞利－里兹法

势能原理在弹性稳定分析中的应用例题

假设包含未知参数a1

的屈曲构形为：系统的总势能为瑞利－里兹法

势能原理在弹性稳定分析中的应用例题系统的总势能为由瑞利－里兹法

势能原理在弹性稳定分析中的应用

结论与讨论

(1)

结论与讨论

关于应变能的计算

关于互等定理

应用于刚体和变形体的虚位移原理之比较

关于虚位移模式的多样性

能否通过虚位移原理确定弹性杆件的内力和应力

怎样减小近似解的误差

关于泛函和变分的概念

结论与讨论

关于应变能的计算

结论与讨论关于应变能的计算计算应变能时能不能应用叠加原理

不能；

能；

有时能，有时不能；什么时候能，什么时候不能？

－请读者结合具体问题加以分析研究

结论与讨论关于应变能的计算计算应变能时能不能应用叠加原理

M

和F

引起的应变能是不是等于二者引起的应变能之和？

如果将

M

换为扭转力偶Mx

,Mx

和F引起的应变能是不是等于二者引起的应变能之和？

关于互等定理

结论与讨论关于互等定理?=?

结论与讨论关于互等定理?=?

结论与讨论关于互等定理?=?

结论与讨论关于互等定理?

结论与讨论关于互等定理百分表

悬臂梁受力如图示。现用百分表测量梁在各处的挠度，请设计一实验方案。移动百分表；固定百分表？

结论与讨论关于互等定理均布载荷q－广义力广义位移－？

结论与讨论关于互等定理

能不能应用互等定理确定挠度曲线与梁的原轴线之间的面积？“互等

”必须有两个相应的系统，另一个系统是什么？

与所要求的面积相对应的量又是什么？

结论与讨论关于互等定理

实心圆柱体承受轴向拉伸，请分析有几种方法可以确定其体积改变量？

应用于刚体和变形体的虚位移原理之比较

结论与讨论应用于刚体和变形体的虚位移原理之比较

结论与讨论

都是讨论平衡(位形或构形)的充分和必要条件；

都是自平衡位置起令其有一虚位移；

都可以表达成所有力的虚功之和等于零。相同点应用于刚体和变形体的虚位移原理之比较

结论与讨论不同点

应用于刚体时，虚位移是相对于广义坐标的，而应用于弹性体时，虚位移是相对于广义位移的；广义坐标和广义位移都是描述物体初始平衡位形或平衡构形的参数。

应用于刚体时，对于理想约束，只涉及外力功而应用于弹性体时，不仅涉及外力功，而且涉及内力功。

关于虚位移模式的多样性

结论与讨论

结论与讨论关于虚位移模式的多样性

虚位移必须微小的、满足变形协调条件（包括约束件)

可以是与真实位移有关的位移，也可以与真实位移无关

可以是真实位移的增量，这时外力的虚功全部转变为应变能的增量。虚位移原理变为弹性体平衡

We＝

V

可以是另外一个与之相关的系统的真实位移

可以是某一(或某几个)真实位移的增量

关于泛函和变分的概念

结论与讨论

结论与讨论关于泛函和变分的概念变量函数函数泛函

泛函－函数的函数（functional,functionoffunction)当虚位移是真实位移的增量时，虚位移原理

We＝

V

中的

V

就是泛函V

的变分。w(x)是x函数V

(w(x))是w(x)的泛函

能否通过虚位移原理确定弹性杆件的内力和应力

结论与讨论

结论与讨论能否通过虚位移原理确定弹性杆件的内力和应力通过假设位移函数应用虚位移原理求得进而求得应力

怎样减小近似解的误差

结论与讨论

结论与讨论怎样减小近似解的误差假设位移函数误差1.4%如果假设位移函数误差0.2%请分析：由w(x)求得的弯矩，其误差为多大？为什么不同于位移的误差？怎样减小弯矩的误差？本章作业(1)10－2，10－4,10－6，10－10,10－15(a)。清华大学范钦珊

2026年5月7日

第10章能量原理在杆件位移和稳定性分析中的应用

(2)

虚力原理

卡氏第二定理

莫尔法

图乘法

能量原理在求解超静定问题上的应用

结论与讨论

虚力原理

虚力原理

原理表述

必要性的证明方法

虚力模式的多样性

虚力原理直接应用举例

原理表述

虚力原理

对于变形协调的弹性体，自变形后的状态始，保持变形不变，令其上的力有一改变，这一改变，称为“虚力”（VirtualForce）,则外力虚余功与内力虚余功之和等于零:原理表述

虚力原理变形协调变形协调弹性体变形协调的充分和必要条件是：变形协调原理表述

虚力原理

必要性的证明方法

虚力原理

虚力原理

总体变形满足约束条件和连续条件（微段平面保持平面）；

数学上：分部积分法；

作为学习研究问题自己去研究。

必要性的证明方法

虚力原理

虚力模式的多样性

虚力可以是全部真实力的增量，也可以是某个或某几个真实力的增量。

虚力原理虚力模式的多样性

虚力可以是任意的，但必须满足平衡条件;

虚力可以与真实力有关，也可以与真实力无关;

虚力为作用在弹性体上的真实力的增量时，则虚力原理可改写为

虚力原理

虚力原理直接应用举例

虚力原理的应用只有小变形的限制；既适用于线性问题又适用于非线性问题。

虚力原理虚力原理的应用条件例题2求：自由端的铅垂位移.已知：悬臂梁的EI、q、l假设自由端有一虚力则外力虚余功为：则内力虚余功为：其中(由q引起)引起)(由

虚力原理虚力原理直接应用举例

卡氏第二定理

对线性和非线性问题

卡氏第二定理

对于线性问题

卡氏第二定理的应用

对线性和非线性问题

卡氏第二定理

卡氏第二定理卡氏第二定理(CastiglianoSecondTheorem)1.对线性和非线性问题－恩格塞定理令外力虚余功为：余应变能增量为：由余应变能为000对线性和非线性问题

对线性问题

卡氏第二定理

卡氏第二定理卡氏第二定理(CastiglianoSecondTheorem)2.对于线性问题：恩格塞定理卡氏第二定理对于线性问题

卡氏第二定理对于线性问题卡氏第二定理

杆件或杆件系统对于某个力的一阶偏导数，等于这个力作用点处、沿着这个力方向的位移。

卡氏第二定理

卡氏第二定理的应用

卡氏第二定理

线弹性材料悬臂梁，受力如图所示，若FP、EI、l等均为已知，试用卡氏第二定理求：

1.加力点A处的挠度；

2.梁中点B处的挠度。卡氏第二定理的应用1.加力点A处的挠度对于线性问题，梁内的应变能为：例题3

卡氏第二定理2.梁中点(非加力点)B处的挠度

在B处施加与所求挠度方向相同的假设力F

梁内的应变能为：卡氏第二定理的应用例题3

莫尔法

问题

方法

结论

结论的证明莫尔法（莫尔积分）－虚力等于1单位的虚力原理

应用举例

关于单位力1与位移的讨论莫尔法（莫尔积分）求任意点沿任意方向的位移（例如B点的）ABCD问题莫尔法（莫尔积分）设原系统的内力分别为单位载荷系统的内力分别为ABCDABCD1方法

建立单位载荷系统（在所要求位移点沿所要求位移方向，施加1单位的力）莫尔法（莫尔积分）结论

对于轴向拉伸或压缩

对于扭转

对于弯曲

对于双向弯曲莫尔法（莫尔积分）

对于这组合受力与变形为什么可以叠加？结论莫尔法（莫尔积分）结论的证明

将1单位的力，作为原载荷系统在所要求位移的那一点、沿着所要求的位移方向的虚力，于是外力虚余余功为内力虚余功为莫尔法（莫尔积分）结论的证明外力虚余余功为内力虚余功为其中莫尔法（莫尔积分）关于单位力1与位移的讨论

单位力1与位移都是广义的，但是必须是相互对应的：

位移单位力线位移单位集中力角位移单位集中力偶相对线位移一对单位集中力相对角位移一对单位集中力偶莫尔法（莫尔积分）关于单位力1与位移的讨论

所要求的位移不限于加力点、沿加力方向的位移，可以是任意点、任意方向的位移。

单位力必须加在所要求位移的那一点、并且沿着所要求位移的方向。？莫尔法（莫尔积分）

莫尔积分的应用条件线性非线性小变形关于单位力1与位移的讨论?莫尔法（莫尔积分）

对于多段杆或多根杆组成的系统，

莫尔积分形式为：关于单位力1与位移的讨论莫尔法（莫尔积分）例题4

图示结构中，杆的弯曲刚度均为EI，FP、EI均已知。求：A、B两点的相对位移(不考虑轴向力和剪力的影响)

应用举例莫尔法（莫尔积分）例题41.确立单位载荷系统：加什么单位力？加在哪里？加在什么方向？2.建立载荷与单位力引起的内力表达式：要不要分段？怎样分段？建立坐标系？充分利用对称性？应用举例莫尔法（莫尔积分)例题41.确立单位载荷系统：2.建立载荷与单位力引起的内力表达式：应用举例莫尔法（莫尔积分）例题41.确立单位载荷系统：2.建立载荷与单位力引起的内力表达式：应用举例莫尔法（莫尔积分）例题5

平面结构，空间受力，已知：F、R、d、E、G，求：加力点沿加力方向的位移。加什么单位力？加在哪里？加在什么方向？怎样建立坐标系？？应用举例

图乘法

图乘法

前提

方法与结论

应用举例

应用条件

图乘法

前提图乘法－莫尔法应用于直杆时的图解解析法前提：等截面直杆(EA、GIP、EI=const.);

前提

图乘法等为线性函数。当EI＝const.时当等为线性函数时以弯曲问题为例

图乘法当EI＝const.时当等为线性函数时以弯曲问题为例是什么？又是什么？前提

图乘法

方法与结论方法与结论

图乘法

图乘法－载荷内力图－载荷内力图形心坐标下，单位力内力图上的数值方法与结论

应用条件

图乘法应用条件

图乘法前提：等截面直杆(EA、GIP、EI=const.);

等为线性函数。应用条件

对载荷内力图的要求：

直线？曲线？要不要分段？

对单位载荷内力图的要求：直线？曲线？要不要分段？

图乘法

应用举例

图乘法例题6

刚架受力如图示，已知：横杆弯曲刚度为2EI，竖杆弯曲刚度为EI、拉伸刚度为EA、载荷集度q、长度l。求：B点的水平位移采用图乘法：怎样加单位力？哪些图形可以相乘？要画哪些内力图？怎样相乘？应用举例

图乘法求：B点的水平位移载荷系统单位力系统应用举例例题6

图乘法例题6载荷系统内力图应用举例例题6单位力系统内力图

图乘法应用举例例题6图形互乘

图乘法应用举例例题6

载荷系统内力图与单位力系统相同的内力图互乘图形互乘

图乘法应用举例例题6结果与比较轴力与弯矩引起的位移比较对于矩形截面：

图乘法应用举例例题7

平面结构空间受力，AB和BC两杆具有相同的刚度，且EI、GIP、l、F等均为已知。

求：1.A端的铅垂位移；

2.A端绕BC

轴线的转角。采用图乘法：怎样加单位力？哪些图形可以相乘？要画哪些内力图？怎样相乘？

图乘法应用举例例题7求：1.A端的铅垂位移；

2.A端绕BC

轴线的转角。求A端铅垂位移求A端绕BC

轴线的转角单位力系统

图乘法应用举例例题7载荷系统内力图

图乘法应用举例例题7单位力系统内力图

图乘法应用举例例题7单位力偶系统内力图

图乘法应用举例图形互乘例题7

载荷系统内力图与单位力系统相同的内力图互乘弯矩图互乘求A端的铅垂位移

图乘法应用举例例题2图形互乘例题7扭矩图互乘求A端的铅垂位移

图乘法应用举例

例题7A端的铅垂位移

图乘法应用举例图形互乘例题7弯矩图互乘求A端绕BC

轴线的转角

图乘法应用举例图形互乘

例题7扭矩图互乘

图乘法求A端绕BC

轴线的转角应用举例

例题7A端绕BC

轴线的转角

图乘法应用举例图乘法计算过程要点

根据所要求的位移，建立相应的单位力系统，要注意：在哪里加单位力？加什么样的单位力？

分别画出载荷系统内力图单位力偶系统内力图；

只有同一杆上的同一种内力图才能互乘；

图形互乘－载荷系统内力图与单位力系统相同的内力图互乘，需要特别注意：内力图互乘后要除以与同一内力相对应的刚度。

图乘法应用举例

能量原理在求解超静定问题上的应用

能量原理在求解超静定问题上的应用

概述

对称性与反对称性的应用

卡氏第二定理在超静定问题上的应用

图乘法在超静定梁或框架上的应用

能量原理在求解超静定问题上的应用

概述

能量原理在求解超静定问题上的应用概述已有的基础：

什么是超静定；求解超静定问题的基本方法；超静定结构的性质。现在的问题是：

怎样利用对称性和反对称性减少未知力的个数？能量原理如何应用（用于写变形协调方程，求方程中的位移量）？

能量原理在求解超静定问题上的应用

对称性与反对称性的应用对称性与反对称性的应用

能量原理在求解超静定问题上的应用对称结构－几何形状、尺寸、材料、约束等对称于某一对称轴。对称结构－几何形状、尺寸、材料、约束等对称于某一对称轴。对称性与反对称性的应用

能量原理在求解超静定问题上的应用对称结构－几何形状、尺寸、材料、约束等对称于某一对称轴。对称性与反对称性的应用

能量原理在求解超静定问题上的应用

对称结构的对称变形－对称结构在对称载荷作用下:对称性与反对称性的应用

能量原理在求解超静定问题上的应用

约束力、内力分量以及变形和位移都是对称的;

反对称的内力分量必为零;

某些对称分量也可等于零或变为已知。对称性与反对称性的应用

能量原理在求解超静定问题上的应用

对称结构的对称变形

对称结构的对称变形对称性与反对称性的应用

能量原理在求解超静定问题上的应用

对称结构的对称变形对称性与反对称性的应用

能量原理在求解超静定问题上的应用对称性与反对称性的应用

能量原理在求解超静定问题上的应用

对称结构的对称变形

怎样判断什么样的载荷是反对称的将对称面（轴）一侧的载荷反向，若变为对称的，则原来的载荷便是反对称的。对称性与反对称性的应用

能量原理在求解超静定问题上的应用

对称结构的反对称变形－对称结构在反对称载荷作用下:

其约束力、内力分量、变形和位移等必须是反对称的；

对称的内力分量、约束力必为零；

某些反对称约束力和反对称的内力分量也可能为零。对称性与反对称性的应用

能量原理在求解超静定问题上的应用对称性与反对称性的应用

能量原理在求解超静定问题上的应用对称结构的反对称变形FF/2F/2F对称性与反对称性的应用

能量原理在求解超静定问题上的应用

对称结构的反对称变形M对称还是反对称？

对于扭转问题：根据扭转力偶矢量或扭矩矢量，若矢量对称则为反对称问题，若矢量反对称则为对称问题（所有力偶都如此)。对称性与反对称性的应用

能量原理在求解超静定问题上的应用

对称结构的反对称变形对称还是反对称？对称性与反对称性的应用

能量原理在求解超静定问题上的应用

对称结构的反对称变形对称性与反对称性的应用

能量原理在求解超静定问题上的应用

对称结构的一般变形一般变形对称变形反对称变形

能量原理在求解超静定问题上的应用

卡氏第二定理在超静定问题上的应用

以未知力作为已知数，写作出结构的应变能表达式，例如：

根据多余约束处的约束条件，应用卡氏第二定理写出多余约束力必须满足的变形协调方程

能量原理在求解超静定问题上的应用卡氏第二定理在超静定问题上的应用对于直杆：对于曲杆：(i=1,2,…,n)(i=1,2,…,n)

能量原理在求解超静定问题上的应用卡氏第二定理在超静定问题上的应用例题8

根据约束性质分析约束力

A、B二处均为铰链，各有两个约束力。

确定超静定次数4－3＝1

对称性分析

A、B二处的约束力大小相等、分析相反。

建立变形协调方程A、B二处的水平相对位移等于零

能量原理在求解超静定问题上的应用卡氏第二定理在超静定问题上的应用

根据约束性质分析约束力

确定超静定次数

对称性分析

建立变形协调方程

应用卡氏第二定理例题8

能量原理在求解超静定问题上的应用卡氏第二定理在超静定问题上的应用例题8

根据约束性质分析约束力

确定超静定次数：3

对称性分析

建立变形协调方程

应用卡氏第二定理内约束，通过截开使其变为静定的。对称面上反对称内力分量等于零

能量原理在求解超静定问题上的应用卡氏第二定理在超静定问题上的应用例题8

根据约束性质分析约束力

确定超静定次数：3

对称性分析

建立变形协调方程

解除内约束，通过截开使其变为静定的。对称面上反对称内力分量等于零另一种解法

能量原理在求解超静定问题上的应用卡氏第二定理在超静定问题上的应用例题8

建立变形协调方程另一种解法

计算总应变能其中

能量原理在求解超静定问题上的应用卡氏第二定理在超静定问题上的应用例题8另一种解法

计算总应变能

应用卡氏第二定理

能量原理在求解超静定问题上的应用

图乘法在超静定梁或框架上的应用图乘法在超静定梁或框架上的应用

能量原理在求解超静定问题上的应用

应用图乘法求解超静定问题，只是应用图乘法确定变形协调方程中载荷和未知约束力引起的位移其余过程与一般求解超静定问题完全相同。图乘法在超静定梁或框架上的应用

能量原理在求解超静定问题上的应用例题9ll2l2lEIEIEI

静定还是超静定？

超静定的次数？

对称还是反对称？

怎样使结构变成静定的？

变形协调方程怎样写？图乘法在超静定梁或框架上的应用

能量原理在求解超静定问题上的应用例题9ll2l2l11图乘法在超静定梁或框架上的应用

能量原理在求解超静定问题上的应用例题911图乘法在超静定梁或框架上的应用

能量原理在求解超静定问题上的应用例题911图乘