2026高中选修2-3《排列组合》同步练习

202XLOGO一、前言演讲人2026-03-07目录01.前言07.作业03.新知识讲授05.互动02.教学目标04.练习06.小结08.致谢2026高中选修2-3《排列组合》同步练习01前言前言站在这间教室里，看着窗外的阳光洒在课桌上，我常常会想，数学这门学科，到底给学生们带来了什么？是枯燥的公式，还是令人头疼的计算？对于选修2-3的学生们来说，尤其是面对《排列组合》这一章节时，这种感觉尤为强烈。这门课，不仅仅是数字的排列与组合，它更像是一场关于逻辑的精密舞蹈，是思维的极限博弈。作为一名在讲台上站了十几年的老师，我见过太多学生在面对“排列”与“组合”时手足无措的眼神。那种明明知道在做什么，却怎么也算不对，或者算出来却觉得哪里不对劲的纠结，是我最想帮他们化解的痛点。2026年的教材体系，相较于过去，更加注重思维的深度与广度，也更加贴近现代生活的实际应用。这本同步练习，不是冰冷的习题集，而是我为你量身打造的一把钥匙，一把能打开逻辑之门、让你在排列组合的迷宫中找到出口的钥匙。我希望通过这份练习，能带你走进那个由有限与无限构成的奇妙世界，让你明白，每一个数字背后，都藏着一种独特的秩序与美感。02教学目标教学目标我们为什么要学习排列组合？这不仅仅是为了应付高考，更是为了培养一种处理复杂问题的核心能力。在接下来的学习中，我希望大家能达到以下几个维度的目标：首先，知识的内化是基础。你必须深刻理解“分类加法原理”与“分步乘法原理”的本质区别。前者是“做一件事，有几种不同的方法”，后者是“做一件事，需要分几个步骤”。这种区分，是我们解题的基石。其次，技能的掌握是关键。你需要熟练掌握排列数公式与组合数公式的计算，更重要的是，要能灵活运用它们解决实际问题。我们要学会从纷繁复杂的文字描述中剥离出数学模型，把生活中的实际问题转化为数学语言。更深一层的目标是思维方式的转变。排列组合的核心难点在于“有序”与“无序”的判断，以及“不重不漏”的原则。我希望大家能通过练习，养成严谨、缜密的逻辑思维习惯。学会在遇到复杂问题时，能够冷静地拆解它，将大问题化为小问题，将难问题化为易问题。这种思维方式，无论你将来从事什么行业，都将是你的核心竞争力。我们要追求的，不仅仅是“算出答案”，而是“算得有理有据”。03新知识讲授新知识讲授让我们把目光聚焦到具体的知识内容上。排列组合的世界，看似简单，实则暗藏玄机。两个基本原理：逻辑的起点万事开头难，但也是最有趣的。在正式进入排列组合之前，我们必须先理解两个基本原理。这是整个数学大厦的承重墙。分类加法原理，听起来很拗口，其实很简单。想象一下，你要去一个目的地，有两条路可以走：一条是坐火车，一条是坐飞机。你只能选其中一条路，选择火车还是飞机，取决于你的心情或者预算。这就是“分类”。如果你有A、B、C三种方法都能独立完成这件事，那么完成这件事的总方法数就是A+B+C。记住，这里的重点是“独立完成”，互不干扰。而分步乘法原理呢？这就好比你要组装一个复杂的乐高模型。你得先装好底座，再装好车身，最后装好轮子。缺一不可。装好底座只是第一步，装好车身是第二步，只有当这两步都完成了，这个模型才算完工。如果你做第一步有m种方法，做第二步有n种方法，那么完成这件事的总方法数就是m乘以n。这里的重点是“顺序”和“完成”，步步相连，环环相扣。两个基本原理：逻辑的起点在实际应用中，很多同学容易混淆这两者。我的经验是，问自己一个问题：这件事能不能一次性做完？如果能，就用加法；如果必须分步骤，就用乘法。比如，吃饭这件事，你可以先点菜，再吃饭。点菜是第一步，吃饭是第二步，所以是乘法。但如果你在点菜时，不知道吃什么，先考虑吃中餐，再考虑吃西餐，那么中餐和西餐是两种独立的选择，所以是加法。搞清楚这个，你就迈出了最坚实的一步。排列与组合：有序与无序的较量接下来，我们要面对排列与组合的抉择。这是很多同学噩梦开始的地方，也是逻辑思维提升的关键点。排列，顾名思义，是有顺序的。比如，从A、B、C三个字母中取出两个，排成一列。AB和BA，虽然选的都是A和B，但顺序不同，结果就不同。这就好比我们穿衣服，先穿袜子再穿鞋，和先穿鞋再穿袜子，虽然都是穿了一双袜子和一双鞋，但过程和结果截然不同。排列数公式$A_n^m$（或者记作$P_n^m$）就是用来计算这种有顺序的选法数量的。而组合，则是无序的。还是从A、B、C中取出两个，组成一组。AB和BA，本质上是同一组人。这就像是我们组建篮球队，选A和B上场，和选B和A上场，没有任何区别。组合数公式$C_n^m$，就是计算这种无顺序组合的数量。这里有一个非常经典的判别口诀：“看顺序”。如果交换位置后，结果发生了变化，就是排列；如果结果不变，就是组合。捆绑法与插空法：排列组合的“独门绝技”光有基础还不够，考试和实际应用中，问题总是复杂多变。这就需要我们掌握一些高级技巧。捆绑法，顾名思义，就是把几个必须在一起的元素“捆绑”在一起，作为一个整体来处理。比如，有5个人，其中甲和乙必须坐在一起，那么我们可以先把甲和乙看作一个人（一个“捆绑包”），这样我们就有了4个“人”要排座位。排好这4个“人”的顺序后，别忘了甲和乙在“包”里面也是可以互换位置的，所以还要乘以2。这种方法，在解决相邻问题、排座位问题时，简直是神兵利器。插空法，则是用来解决不相邻问题的。比如，有5个人，要求甲不能和乙相邻。这听起来有点绕，但用插空法就简单了。我们可以先把除了甲和乙以外的其他3个人排好队，形成3个空隙（包括两端）。然后，把甲和乙分别插入这些空隙中。甲可以插在第一个空隙，乙插在第二个空隙……这样，甲和乙就绝对不相邻了。这种方法，灵活多变，是解决限制条件的利器。间接计数法：从反面思考有时候，直接计算会非常复杂，甚至无从下手。这时候，我们不妨换个思路，用间接计数法。也就是先算出所有可能的情况，再减去不符合条件的情况。比如，算出所有排列数，然后减去甲和乙相邻的情况，剩下的就是甲和乙不相邻的情况。这种方法虽然简单，但在处理“至少”、“至多”这类问题时，往往能起到四两拨千斤的作用。04练习练习光说不练假把式。现在，让我们把刚才学到的知识，运用到具体的题目中去。请拿出纸笔，跟随我的思路，一步步解开这些谜题。例题一：基本原理的应用有5本不同的数学书，3本不同的语文书，2本不同的英语书。要从这些书中选取3本，且每科至少有一本，有多少种选法？解题思路：这道题看似简单，但条件“每科至少有一本”限制了我们的选择。我们不能随便选3本就完事，必须保证三科都有。如果我们用分类加法原理，该怎么分呢？第一种情况：选1本数学，1本语文，1本英语。数学有5种选法，语文有3种，英语有2种。因为这三步是独立的，所以这种情况有$5\times3\times2=30$种选法。第二种情况：选2本数学，1本语文，0本英语。（注意，这里英语是0本，不是不选，而例题一：基本原理的应用是不满足“每科至少一本”的条件，所以这种不能算，我们只算满足条件的。）所以，我们只需要计算第一种情况。但是，这里有一个陷阱。题目说的是“选取3本”，如果选2本数学，1本语文，那就不满足“每科至少一本”的条件了。所以，我们只能选1本数学，1本语文，1本英语。计算：$C_5^1\timesC_3^1\timesC_2^1=5\times3\times2=30$种。例题二：排列与组合的辨析从4个不同的小球放入3个不同的盒子中，每个盒子中至少放1个球，有多少种放法？解题思路：例题一：基本原理的应用这是一道经典的排列组合题。首先，我们要判断是排列还是组合。这里的关键在于“放入盒子”，盒子的顺序（比如盒子A和盒子B）是不同的，所以这是一个排列问题。每个盒子至少放1个球，那么4个球放入3个盒子，必然有一个盒子放2个球，其他两个盒子各放1个球。我们可以先选出哪2个球放在一起。从4个球中选2个，有$C_4^2=6$种选法。然后，将这2个球看作一个整体，与剩下的2个球一起，放入3个盒子中。把3个“东西”（2个单球和1个双球组合）放入3个盒子，每个盒子放1个，有$A_3^3=6$种放法。所以，总共有$6\times6=36$种放法。例题一：基本原理的应用例题三：捆绑法与插空法的综合运用6个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人必须站在一起，且甲必须在乙的右边（不要求相邻），有多少种排法？解题思路：这道题稍微复杂一点。甲必须在乙的右边，这是一个顺序限制。首先，我们要处理“甲、乙、丙三人必须站在一起”这个条件。我们可以用捆绑法，把甲、乙、丙三人看作一个整体。这样，我们就有了5个“人”要排：这个“整体”加上另外3个人。排法有$A_5^5=120$种。接下来，我们要处理“甲必须在乙的右边”这个条件。例题一：基本原理的应用在甲、乙、丙这个整体内部，他们三个人有3!=6种排列方式。在这6种排列中，甲在乙的左边和甲在乙的右边是各占一半的，所以满足“甲在乙右边”的情况有$6\div2=3$种。所以，总共有$120\times3=360$种排法。例题四：间接计数法的威力把4个不同的小球放入3个不同的盒子中，每个盒子可以放任意个球（可以为空），有多少种放法？解题思路：这道题如果直接计算，会比较麻烦。我们可以用间接计数法。例题一：基本原理的应用先算出总的放法。每个球有3种选择，4个球就是$3\times3\times3\times3=3^4=81$种。然后，减去不满足条件的放法。不满足条件的情况就是“有一个盒子是空的”。但是，这里有一个问题。如果减去所有“有一个盒子是空的”的情况，那么“有两个盒子是空的”的情况就会被减去两次，需要加回来。“有一个盒子是空的”的情况：选一个盒子为空，有$C_3^1=3$种选法。剩下的4个球放入剩下的2个盒子，每个球有2种选择，所以有$2^4=16$种。“有两个盒子是空的”的情况：选两个盒子为空，有$C_3^2=3$种选法。剩下的4个球全部放入剩下的1个盒子，有1种放法。例题一：基本原理的应用所以，不满足条件的放法有$3\times16-3\times1=48-3=45$种。最终，满足条件的放法有$81-45=36$种。05互动互动1好了，理论讲得差不多了，现在我们来玩点互动的。想象一下，我们现在就在课堂上，我抛出一个问题，请你来回答。2“同学们，假设我们要举办一场联欢会，需要从10个人中选3个人当主持人，另外从剩下的7个人中选2个人当表演嘉宾。请问，一共有多少种选法？”3这个问题，看起来是不是有点眼熟？没错，它其实就是我们刚才讲的分类加法原理的变种。4我听到有同学说：“老师，这不就是先把10个人分成两组吗？一组3个主持人，一组2个表演嘉宾，剩下5个不参与。”5“没错，你的思路非常清晰！”我笑着点头，“那么，具体怎么算呢？”6“选主持人，从10个人里选3个，是组合，对吧？所以是$C_{10}^3$。”一位同学站起来回答。互动“很好。那表演嘉宾呢？”“表演嘉宾是从剩下的7个人里选2个，也是组合，是$C_7^2$。”“那最后怎么乘起来呢？”我追问。“因为这两个步骤是独立的，先选主持人，再选表演嘉宾，所以是乘法。”同学自信地说。“完全正确！答案就是$C_{10}^3\timesC_7^2$。这其实就是先从10个人里挑出3个作为主持人，剩下的7个自然就是表演嘉宾的候选池。这种‘先分类，后分步’的思想，在解决复杂问题时非常有效。”“但是，同学们，大家要注意，有时候分类和分步是可以互换的。比如，如果题目说‘从10个人中选3个人当主持人，从10个人中选2个人当表演嘉宾，这两组人不能重合’，那么答案是不是一样的呢？”互动“不一样！”有同学大声回答，“因为这次选主持人是从10个人里选，选表演嘉宾也是从10个人里选，但是不能重合，所以要先选主持人，再从剩下的9个人里选表演嘉宾。答案应该是$C_{10}^3\timesC_7^2$。”“非常棒！看来大家对‘分类’和‘分步’的理解已经很透彻了。现在，我再抛出一个更有挑战性的问题：6个人排成一排照相，要求甲不能站在两端，乙和丙必须相邻，有多少种排法？”这个问题一出，教室里安静了一瞬，随即响起了激烈的讨论声。“我们可以先把乙和丙看作一个整体，用捆绑法。”“然后，甲不能站在两端，这怎么处理呢？是不是先排好其他人，再插空？”互动“思路对了！但要注意，甲不能站在两端，所以我们在排其他人的时候，要把甲排除在外。我们可以先排除甲以外的4个人，把他们排成一排，有$A_4^4=24$种排法。这4个人会形成5个空隙（包括两端）。然后，把甲插入到中间的3个空隙中，有$C_3^1=3$种方法。最后，乙和丙在‘捆绑包’里有$A_2^2=2$种排法。”“所以，总共有$24\times3\times2=144$种排法。”“回答得非常完美！看来大家已经掌握了排列组合的精髓。逻辑思维，就是这样在一次次思考和讨论中磨练出来的。”06小结小结今天我们一同探索了排列组合的奥秘。从最基础的两个原理，到排列与组合的区分，再到捆绑法、插空法这些高级技巧，每一步都充满了逻辑的跳跃与智慧的火花。回顾一下，我们学到了什么？分类加法原理告诉我们，当一件事有多个独立的方法时，要相加；分步乘法原理告诉我们，当一件事需要分多个步骤完成时，要相乘。排列是有序的，组合是无序的。遇到相邻问题，用捆绑法；遇到不相邻问题，用插空法；遇到直接计算困难时，不妨试试间接计数法。数学之美，在于其严谨的逻辑和普适的规律。排列组合虽然只是数学海洋中的一朵浪花，但它所蕴含的思维力量，却能照亮我们解决问题的道路。希望同学们不要仅仅满足于记住几个公式，更要理解公式背后的逻辑。逻辑是骨架，公式是血肉，只有结合起来，才能构成一个完整的数学思维体系。小结在未来的学习中，无论是面对更复杂的函数，还是更抽象的几何，这种“化繁为简”、“分类讨论”、“逆向思维”的能力，都将是你们最宝贵的财富。保持好奇心，保持思考，你会发现，数学其实是一门充满乐趣的艺术。07作业作业为了巩固今天所学的内容，请完成以下练习题。这些题目涵盖了今天讲的所有知识点，难度适中，希望能帮助大家查漏补缺。1.基础巩固：计算$A_6^3$和$C_{10}^5$的值。2.原理应用：某班有50名学生，其中男生30人，女生20人。现要选出3名代表，分别担任班长、学习委员和文体委员，要求男生和女生都要有代表，共