第十一章　第60课时　专题强化：用“动态圆”思想分析临界问题-2026版一轮复习

第60课时专题强化：用“动态圆”思想分析临界问题目标要求1.理解“平移圆”、“旋转圆”、“放缩圆”的适用条件。2.会用“平移圆”法、“旋转圆”法、“放缩圆”法分析临界问题。考点一“平移圆”适用条件粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝mv轨迹圆圆心共线带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行界定方法将半径为R＝mv0qB的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“例1如图所示，三角形ABC内有垂直于三角形平面向外的匀强磁场，AB边长为L，∠A＝30°，∠B＝90°，D是AB边的中点。现在DB段上向磁场内射入速度大小相同、方向平行于BC边的同种粒子(不考虑粒子间的相互作用和粒子重力)，若从D点射入的粒子恰好能垂直AC边射出磁场，则AC边上有粒子射出的区域长度为()A.14L B.1C.3-12L D.答案C解析由题意可知，粒子均向上偏转，从D点射入和从B点射入的粒子的运动轨迹如图所示，设两个粒子在AC边上的出射点分别为E、F点，由于从D点射入的粒子恰好能垂直AC边射出磁场，所以A点为该粒子做圆周运动的圆心，则粒子做圆周运动的半径为R＝12L，则有AE＝12L，因为D点是AB的中点，所以D点是从B点射出的粒子做圆周运动的圆心，所以有AD＝DF，则根据几何知识有AF＝2×12L·cos30°＝3L2，所以有粒子射出的区域长度为EF＝AF－AE＝3-12L，故A考点二“旋转圆”适用条件粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度大小为v0，则圆周运动轨迹半径为R＝mv轨迹圆圆心共圆如图，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝mv界定方法将一半径为R＝mv0qB的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件，这种方法称为“例2(多选)(2024·山东日照市模拟)如图所示，挡板MQ左侧区域存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，挡板中间空隙NP长度为L，纸面上O点到N、P的距离相等，均为L。O处有一粒子源，可向纸面所在平面的各个方向随机发射速率相同的带正电的粒子，粒子电荷量为q，质量为m，打到挡板上的粒子均被吸收。不计粒子重力和粒子间的相互作用。下列说法正确的是()我用夸克网盘分享了「与您分享-国家、地方、行业、团体标准」，点击链接即可保存。打开「夸克APP」，无需下载在线播放视频，畅享原画5倍速，支持电视投屏。链接：/s/45a9f612fe59提取码：t9EX联系qq:1328313560我的道客巴巴：/634cd7bd0a3f5a7311db139533c20794

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A.若粒子速率v＝qBLm，粒子能从空隙NP“逃出”的概率为B.若粒子速率v＝qBLm，NPC.若粒子速率v＝qBL2m，粒子能从空隙NP“逃出”D.若粒子速率v＝qBL2m，答案AB解析若粒子速率为v＝qBLm则轨迹半径r＝mvqB＝粒子运动情况如图甲所示从P点飞出的粒子，轨迹的圆心在N点，该粒子从O点发射时的速度方向与ON垂直斜向右下，与水平方向成60°角。从N点飞出的粒子，轨迹的圆心在S点，该粒子从O点发射时的速度方向与OS垂直，水平向右，两粒子发射速度间的夹角θ＝60°，发射方向在这两个方向之间的粒子都可从空隙NP“逃出”，粒子“逃出”的概率为θ360°＝16，由图甲可知，NP线段上各处都可能有粒子通过，故A、B正确；若粒子速率为v＝qBL粒子运动情况如图乙所示，粒子轨迹与P点相交时，圆心为A，粒子轨迹与PN相切时，切点为D，圆心为C，两发射速度间的夹角θ＝∠AOC，由几何关系知θ>60°，则粒子“逃出”的概率为θ360°>由图乙可知OD<ON＝L则D在N点下方，故线段DN间不可能有粒子通过，故C、D错误。拓展如图所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小为B，磁场内有一块足够大的平面挡板，板面与磁场方向平行，在距挡板的距离为L处有一粒子源，可向纸面所在平面的各个方向随机发射速率相同的带正电的粒子，粒子电荷量为q，质量为m，打到挡板上的粒子均被吸收，若粒子速率v＝qBLm，则挡板上被粒子打中区域的长度是(不计粒子的重力和粒子间的相互作用)答案(3＋1)L解析若粒子速率为v＝qBLm，则轨迹半径R＝mvqB粒子运动情况如图所示根据几何关系可得AB＝L，AC＝3L所求长度为BC＝AB＋AC＝(3＋1)L。考点三“放缩圆”适用条件粒子源发射速度方向一定，大小不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化轨迹圆圆心共线如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP'上界定方法以入射点P为定点，圆心位于PP'直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法例3(2024·山东泰安市检测)一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，ab为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子的重力和粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为()A.7πm6qB B.5πm4qB答案C解析粒子在磁场中运动的时间与速度大小无关，由在磁场中的运动轨迹对应的圆心角决定。设轨迹交半圆ab于e点，ce中垂线交bc于O点，则O点为轨迹圆心，如图所示。圆心角θ＝π＋2β，当β最大时，θ有最大值，由几何知识分析可知，当ce与ab相切时，β最大，此时轨迹过ab中点，β＝30°，可得θ＝43π，则t＝θ2πT＝4πm例4如图所示，正方形区域abcd内(含边界)有垂直纸面向里的匀强磁场，ab＝l，Oa＝0.4l，大量带正电的粒子从O点沿与ab边成37°角的方向以不同的速度v0射入磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用，已知带电粒子的质量为m、电荷量为q，磁场的磁感应强度大小为B，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。(1)求带电粒子在磁场中运动的最长时间；(2)若带电粒子从ad边离开磁场，求v0的取值范围。答案(1)143πm90qB(2)qBl4m解析(1)粒子从ab边离开磁场时，在磁场中运动的时间最长，如图甲所示，有qBv0＝mv02R，又解得T＝2π又由几何关系得θ＝74°，则粒子在磁场中运动的最长时间t＝360°-74°360°T＝(2)当粒子轨迹与ad边相切时，如图乙所示，设此时速度为v01，轨道半径为R1，由几何关系可得R1＋R1sin37°＝0.4l又qBv01＝mv012R1当粒子运动轨迹与cd边相切时，如图丙所示，设此时速度为v02，轨道半径为R2，由几何关系可得R2＋R2cos37°＝l，又qBv02＝mv022R2综上可得qBl4m<v0≤1.临界问题的分析重点是临界状态临界状态就是指物理现象从一种状态变化成另一种状态的中间过程，这时存在着一个过渡的转折点，此转折点即为临界状态点。与临界状态相关的物理条件则称为临界条件，临界条件是解决临界问题的突破点。2.极值问题所谓极值问题就是对题中所求的某个物理量最大值或最小值的分析或计算，求解的思路一般有以下两种：一是根据题给条件列出函数关系式进行分析、讨论；二是借助几何图形进行直观分析。课时精练(分值：60分)1~5题每小题4分，共20分1.(多选)如图所示，在矩形GHIJ区域内分布着垂直纸面向里的匀强磁场，P点是GH边的中点，四个完全相同的带电粒子仅在洛伦兹力的作用下，以大小不同的速率从P点射入匀强磁场，它们轨迹在同一平面(纸面)内，忽略粒子重力及相互作用，下列说法正确的是()A.①、②、③、④这四个粒子在矩形GHIJ磁场区域的运动周期相同B.④粒子的速率最大C.③粒子的向心加速度最大D.②粒子在矩形GHIJ磁场区域运动的时间最长答案AB解析对于完全相同的粒子，其qm相同，又T＝2πmqB，则在同一匀强磁场中，周期都相同，由题图知③粒子在磁场中转过的圆心角最大，所以③粒子在矩形GHIJ磁场区域运动的时间最长，故A正确，D错误；根据qvB＝mv2由于④粒子的半径最大，则④粒子的速率最大，因为a＝v2r，T得粒子的向心加速度a＝2πT可知④粒子的向心加速度最大，故B正确，C错误。2.一线状粒子源垂直于匀强磁场边界不断地发射速度相同的同种粒子，不考虑粒子的重力和粒子间的相互作用，则粒子经过磁场的区域(阴影部分)可能是()答案C解析粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，如图所示，粒子源最左端发射的粒子落在A点，最右端发射的粒子落在B点，故选C。3.(2025·山东省名校期中联考)如图所示，直角三角形ABC区域中存在一匀强磁场，磁感应强度为B，已知AB边长为L，∠C＝30°，相同带正电粒子(不计重力及粒子间相互作用)以不同的速率从A点沿AB方向射入磁场，则()A.粒子速度越大，在磁场中运动的时间越短B.粒子在磁场中运动的时间最长时，是从C点射出的C.粒子速度越大，在磁场中运动的路程越长D.粒子在磁场中运动的最长路程为23π答案D解析当粒子能够从AC边射出时，由几何关系可知，粒子在磁场中的圆心角都为120°，因此运动时间为t＝120°360°T＝2πm3Bq，当粒子速度增大，半径增大，直到不能从AC边射出，圆心角变小，时间变短，故选项A、B错误；粒子速度越大，粒子在磁场中运动的轨迹半径越大，当粒子运动轨迹与BC边相切时运动轨迹最长，粒子速度再增大，粒子运动轨迹变短，并不是速度越大，粒子运动轨迹越长，故选项C错误；当粒子和BC边相切时路程最大，此时有R＝AB＝L，由选项A分析知运动的路程为s＝θR＝234.(多选)如图，空间存在着垂直于纸面、磁感应强度为B的匀强磁场(图中未画出)，M是垂直于x轴的荧光屏，O点到屏M的距离为R。O点为一粒子源，从O点沿Oy方向发射出一束速度不同、比荷相同的带正电粒子，经磁场偏转后均能水平向右垂直打在屏M上，已知粒子以最大速度v0在磁场中运动轨迹如图中所示，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，则()A.磁场方向垂直于纸面向里B.带电粒子的比荷为vC.磁场区域最小面积为πD.磁场区域最小面积为(π-2)答案BD解析根据左手定则可知，磁场方向垂直于纸面向外，故A错误；根据R＝mv0qB，可知比荷为qm＝v0BR，故B正确；速度小于v0的粒子也能水平向右垂直打在屏M上，所以磁场边界是过O点与x轴夹角为45°斜线，如图，则磁场区域最小面积为阴影部分面积Smin＝πR5.(多选)如图所示，平面直角坐标系中，A点的坐标为(3d，0)，在y轴和直线AD之间存在垂直纸面向里的匀强磁场Ⅰ，在AD和AC之间存在垂直纸面向外的匀强磁场Ⅱ，磁感应强度大小均为B，AD与y轴平行，AD、AC边界的夹角∠DAC＝30°。质量为m、电荷量为＋q的粒子可在边界AC上的不同点射入，入射速度垂直AC且垂直磁场，若入射速度大小为qBdm，不计粒子重力，则(A.粒子在磁场中的运动半径为dB.粒子距A点0.5d处射入，不会进入Ⅰ区C.若粒子能进入区域Ⅰ，则粒子在区域Ⅰ中运动的最短时间为2πD.若粒子能进入区域Ⅰ，则粒子从距A点(3－1)d处射入，在区域Ⅰ内运动的时间最短答案ACD解析根据Bqv＝mv2r可得r＝mvBq＝mBq·qBdm＝d，A正确；如图甲所示，设粒子从P点入射时，轨迹和AD相切，由几何关系知O1A＝2d，AP＝d，因此粒子距A点0.粒子在区域Ⅰ运动时间最短时，轨迹如图乙所示，此时MN平行于x轴，又MN＝3d，由几何关系可知，轨迹对应的圆心角为120°，运动时间为t＝T3＝13·2πmqB＝2πm3qB，C正确；由几何关系可知∠AO2N＝30°，又r＝d，则6~8题每小题6分，9题15分，共33分6.(2024·山东省实验中学月考)如图，半径R＝2m的圆形区域内有一垂直纸面向里的匀强磁场，P为磁场边界上的一点，大量相同的带正电粒子，在纸面内沿各个方向以相同的速率从P点射入磁场，这些粒子射出磁场时的位置均位于PQ圆弧上且Q点为最远点。已知PQ圆弧长等于磁场边界周长的四分之一，不计粒子重力和粒子间的相互作用，则该圆形磁场中有粒子经过的区域面积为()A.(3π－2)m2 B.(2π－2)m2C.3πm2 D.2πm2答案A解析设轨迹圆的半径为r，由几何关系∠POQ＝90°，则粒子做圆周运动的半径为r＝2R圆形磁场中有粒子经过的区域如图中阴影所示，圆形磁场中有粒子经过的区域面积为S＝(πR24－R22)＋π(2r)287.(2024·山东淄博市检测)一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，其中虚线bc足够长，∠abc＝135°。其他地方磁场的范围足够大。一束质量为m、电荷量为q的带正电粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用及粒子重力。以下说法正确的是()A.从bc边射出的粒子在磁场中运动的时间都相等B.若从a点入射的速度越大，则在磁场中运动的时间越长C.粒子在磁场中最长运动时间不大于5πD.粒子在磁场中最长运动时间不大于3π答案D解析画出带电粒子在磁场中运动的动态分析图，如图甲所示。粒子入射的速度越大，其做圆周运动的半径越大，当粒子都从ab边射出，所用时间均为半个周期，用时相等；当粒子从bc边射出时，速度越大，轨迹半径越大，圆心角越大，运动时间越长，故A、B错误；当粒子的速度足够大，半径足够大时，忽略ab段长度，运动情况可简化为如图乙所示，在直线边界磁场问题中，根据粒子运动轨迹的对称性，结合几何关系可知此时圆心角为α＝270°，可得粒子在磁场中运动的最长时间为t＝270°360°T＝3πm2qB，故8.(2024·山东省名校联盟联考)如图所示，PQ为磁感应强度为B＝1×10－2T、方向垂直纸面向里的匀强磁场的边界，磁场中的O点有一粒子源，它均匀地向纸面内各个方向同时发射速率为v＝1×104m/s、比荷为qm＝1×107C/kg的带正电的粒子。已知O点与PQ的距离为10cm，不计带电粒子的重力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是(A.飞出磁场的粒子数占所有粒子数的三分之一B.飞出磁场的粒子数占所有粒子数的四分之一C.PQ上有粒子飞出的区域长度为20cmD.飞出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间是最短时间的4.5倍答案D解析粒子在磁场中，由牛顿第二定律有qvB＝mv2r，运动半径为r＝mvqB＝0.1m＝10cm，等于O到PQ的距离，各个方向发射的粒子的轨迹如图甲所示，水平向右和水平向左射出的粒子恰经过边界PQ，过O点作垂直于PQ的水平线，则从O点射向水平线上方的粒子都不能射出磁场，射向水平线下方的粒子都可以射出磁场，故飞出磁场的粒子数占所有粒子数的一半，故A粒子从边界飞出的临界点如图乙所示，其中打到最下面的位置距离O点为2r，故PQ上有粒子飞出的区域长度为s＝(2×0.1)2-0.12m＋0.1m＝0.13m＋0.1m＝(103如图丙所示，水平向左发射的粒子运动时间最长，所对圆心角为270°，故在磁场中运动时间为tmax＝34T，如图丁所示，粒子轨迹对应的弦长最短，粒子运动时间最短，所对圆心角为60°，故在磁场中运动时间为tmin＝T6，所以tmax＝4.5tmin，故9.(15分)如图所示，虚线所示的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场区域圆的半径为R。质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子在纸面内从圆周上的M点射入磁场。不计粒子重力。(1)(4分)如果一个带电粒子沿直径MON方向射入磁场，速度v1＝qBRm(2)(5分)如果