高二数学矩阵与变换1

选修4-2“矩阵与变换”教材解析江苏省海安高级中学冯俊1/78内容解析教学提议2/78内容解析3/78

经过几何变换讨论二阶矩阵乘法及性质、逆矩阵和矩阵特征向量，并以变换和映射观点了解解线性方程组意义，初步展示矩阵应用广泛性。主要内容4/782.1二阶矩阵与平面向量2.2几个常见平面变换2.3变换复合与矩阵乘法2.4逆矩阵与逆变换2.5特征值与特征向量2.6矩阵简单应用学习总结汇报详细内容5/78

定位

低起点——以初中数学知识为基础；低维度——以二阶矩阵为研究对象；形→数——以(几何图形)变换研究二阶矩阵。

意图

在基本思想上对矩阵、变换等有一个初步了解，对深入学习和工作打下基础。

本专题定位和意图6/78

主要数学思想（1）数学化思想；（2）数学建模；（3）数形结合思想；（4）算法思想。

重点

经过几何图形变换，学习二阶矩阵基本概念、性质和思想。

难点

切变变换，逆变换(矩阵)，特征值与特征向量。本专题重点、难点及主要数学思想7/78

根本

经过几何变换对几何图形作用，直观认识矩阵意义和作用。

技术与内容整合

（1）几何变换；（2）变换与矩阵乘法；（3）逆矩阵。

几何画板、Excel

教学关键点

从详细实例入手，突出矩阵几何意义，遵照从详细到普通，从直观到抽象教学标准。本专题教学思绪8/782.1二阶矩阵与平面向量2.2几个常见平面变换2.3变换复合与矩阵乘法2.4逆矩阵与逆变换2.5特征值与特征向量2.6矩阵简单应用详细内容解析9/782.1二阶矩阵与平面向量提议课时:2课时教育目标:1.了解矩阵产生背景,并会用矩阵形式表示一些实际问题.2.了解矩阵相关知识.3.掌握二阶矩阵与平面列向量乘法规则.4.了解矩阵对应着向量集合到向量集合映射.10/782.1二阶矩阵与平面向量2.在本章中点和向量不加区分.如:1.本专题研究矩阵是二阶矩阵,对高阶矩阵只是要求学生初步了解.二阶矩阵如:两行两列11/782.1二阶矩阵与平面向量3.矩阵概念——从表、网络图、坐标平面上点（向量）、生活实例等引出.即在大量举例基础上引出矩阵概念和表示方法.如:某企业负责从两个矿区向三个城市送煤：从甲矿区向城市A,B,C送煤量分别是200万吨、240万吨、160万吨；从乙矿区向城市A,B,C送煤量分别是400万吨、360万吨、820万吨。

城市A城市B城市C甲矿区

乙矿区12/782.1二阶矩阵与平面向量4.矩阵通惯用大写黑体字母表示.如;矩阵A,行矩阵和列矩阵通惯用希腊字母α、β等表示.5.两个矩阵行数与列数分别相等,而且对应位置元素也分别相等时两矩阵相等.6.二阶矩阵与列向量乘法法则为:13/782.1二阶矩阵与平面向量7.强化学生对二阶矩阵与平面列向量乘法几何意义了解.使他们认识并了解矩阵是向量集合到向量集合映射,为后面学习几个常见几何变换打下基础.表示几何变换为:纵坐标不变,横坐标变为原来2倍.8.二元一次方程组能够表示为系数矩阵14/782.1二阶矩阵与平面向量2.2几个常见平面变换2.3变换复合与矩阵乘法2.4逆矩阵与逆变换2.5特征值与特征向量2.6矩阵简单应用详细内容解析15/782.2几个常见平面变换提议课时:6课时教育目标:1.了解能够用矩阵表示平面中常见几何变换.2.掌握恒等伸压反射旋转投影切变变换矩阵表示及其几何意义.3.从几何上了解二阶矩阵对应几何变换是线性变换,并证实二阶矩阵对应变换往往将直线变成直线.16/782.2几个常见平面变换1.恒等变换矩阵(单位矩阵)为E:2.恒等变换是指对平面上任何一点(向量)或图形施以矩阵对应变换,都把自己变为自己.17/782.2几个常见平面变换3.伸压变换矩阵是指将图形作沿x轴方向伸长或压缩,或沿y轴方向伸长或压缩变换矩阵.伸压变换不是简单地把平面上点(向量)“向下”压,而是向x轴或y轴方向压缩.18/782.2几个常见平面变换4.反射变换矩阵是指将平面图形变为关于定直线或定点对称平面图形变换矩阵.19/782.2几个常见平面变换5.普通地,二阶非零矩阵对应变换把直线变成直线.这种把直线变为直线变换叫做线性变换.或点20/782.2几个常见平面变换6.旋转变换矩阵是指将平面图形围绕原点逆时针旋转θ变换矩阵.其中θ称为旋转角,点O为旋转中心.21/782.2几个常见平面变换22/782.2几个常见平面变换7.投影变换矩阵是指将平面图形投影到某条直线(或某个点)上矩阵,对应变换为投影变换.7.投影变换矩阵是映射,但不是一一映射.23/782.2几个常见平面变换8.切变变换矩阵是指类似于对纸牌实施变换矩阵.24/782.2几个常见平面变换9.切变变换矩阵把平面上点P(x,y)沿x轴方向平移个单位.10.研究平面上多边形或直线在矩阵变换作用后形成图形时,只需考查顶(端)点改变结果即可.25/7826/78旋转矩阵27/7828/782.1二阶矩阵与平面向量2.2几个常见平面变换2.3变换复合与矩阵乘法2.4逆矩阵与逆变换2.5特征值与特征向量2.6矩阵简单应用详细内容解析29/782.3变换复合与矩阵乘法提议课时:2课时教育目标:1.熟练掌握二阶矩阵与二阶矩阵乘法.2.了解两个二阶矩阵相乘结果依然是一个二阶矩阵,从几何变换角度看,它表示原来两个矩阵对应连续两次变换.3.经过几何变换,使学生了解普通情况下,矩阵乘法不满足交换率.4.会验证矩阵乘法满足结合率.5.从几何变换角度了解矩阵乘法不满足消去率.30/782.3变换复合与矩阵乘法1.矩阵乘法法则是:2.矩阵乘法MN几何意义为对向量连续实施两次几何变换(先TN,后TM)复合变换.3.矩阵乘法不满足交换率,这可能是学生第一次碰到乘法不满足交换率情况.此时,我们能够从几何变换角度深入明确乘法普通不满足交换率,在适当初候,有些特殊几何变换(如两次连续旋转变换)满足交换率.31/7832/7833/7834/782.3变换复合与矩阵乘法4.要求学生从几何变换角度了解AB.5.要求学生从几何变换角度了解矩阵乘法不满足销去率.35/7836/7837/782.3变换复合与矩阵乘法6.相关转移矩阵.假设某市天气分为晴和阴两种状态,若今天晴,则明天晴概率为,阴概率为,若今天阴则明天晴概率为,阴概率为,这些概率能够经过观察某市以往几年天天天气改变趋势来确定,通常将用矩阵来表示这种概率叫做转移矩阵概率,对应矩阵为转移矩阵,而将这种以当前状态来预测下一时段不一样状态概率模型叫做马尔可夫链,假如清晨天气预报汇报今天阴概率为,那么明天天气预报会是什么?后天呢?38/782.3变换复合与矩阵乘法39/782.3变换复合与矩阵乘法40/782.3变换复合与矩阵乘法7.转移矩阵每列元素和应该为1,不然做乘法时,轻易出问题.41/782.1二阶矩阵与平面向量2.2几个常见平面变换2.3变换复合与矩阵乘法2.4逆矩阵与逆变换2.5特征值与特征向量2.6矩阵简单应用详细内容解析42/782.4逆变换与逆矩阵提议课时:2课时教育目标:1.经过详细图形变换,了解逆矩阵意义并掌握二阶矩阵存在逆矩阵条件,经过详细投影变换,说明它所对应矩阵逆矩阵不存在.2.会证实逆矩阵惟一性和(AB)-1=B-1A-1等简单性质.3.会从几何变换角度求出AB逆矩阵.4.会用逆矩阵知识解释二阶矩阵乘法何时满足消去率.5.了解二阶行列式定义,会用二阶行列式求逆矩阵和解方程组.43/782.4逆变换与逆矩阵教育目标:6.能用变换与映射观点认识解线性方程组解含义.7.会用系数矩阵逆矩阵求解方程组.8.会经过详细系数矩阵,从几何上说明线性方程组解存在性和惟一性.44/782.4逆变换与逆矩阵2．课文从“走过去”、“走回来”生动形象话语中引入了逆矩阵和逆变换．这么安排让学生在轻松气氛中掌握“找到回家路”本质是已知矩阵A，能否找到一个矩阵B，使得连续进行两次变换结果与恒等变换结果相同．也便于学生更加好了解逆矩阵，从而为例1顺利处理打下基础．3．例1设计起着承上启下作用，所举几个例子也是学生熟知，学生能够从几何变换角度借助直观找到答案．所以，例1目标在于帮助学生从几何角度了解逆矩阵意义，并为后续学习积累丰富感性认识．1.对于二阶矩阵A,B,若有AB=BA=E,则称A是可逆,B称为A逆矩阵.45/782.4逆变换与逆矩阵4．既然有些矩阵存在逆矩阵，那么，什么样矩阵存在逆矩阵呢？书本从映射角度给出解释，让抽象问题更贴近学生实际．5．矩阵行列式为,则假如则矩阵存在逆矩阵.6.矩阵是否可逆判断

46/782.4逆变换与逆矩阵7.逆矩阵求解．

8.矩阵逆矩阵为

47/782.4逆变换与逆矩阵9.“先穿袜子后穿鞋”“先脱鞋子后脱袜子”处理了学生可能会出现认知障碍．学生能够借助于此更加好地了解公式（AB）-1=B-1A-1．

10．新教材螺旋上升体系随地可见，书本在本节中就通过证实命题“已知A，B，C为二阶矩阵，且AB=AC，若矩阵A存在逆矩阵，则B=C．”而既做到前后章节间呼应，又要求学生会用逆矩阵知识解释二阶矩阵乘法何时满足消去率．11.逆矩阵与二元一次方程组亲密相关，用逆矩阵知识了解二元一次方程组求解过程是为了让学生更加好认识二者，了解它们间相互为用、相辅相成.48/782.4逆变换与逆矩阵12.49/782.4逆变换与逆矩阵12.AX=B

X=A-1B13.AXC=B

X=A-1BC-1

14.50/782.4逆变换与逆矩阵15.用二阶矩阵和行列式研究二元一次方程组解情况并不比消元法优越多少.不过,当方程组中未知元很多时,矩阵就变成了研究它一个强有力工具.51/782.1二阶矩阵与平面向量2.2几个常见平面变换2.3变换复合与矩阵乘法2.4逆矩阵与逆变换2.5特征值与特征向量2.6矩阵简单应用详细内容解析52/782.5特征值与特征向量提议课时:2课时教育目标:1.掌握矩阵特征值与特征向量定义,能从几何变换角度说明特征向量意义.2.会求二阶矩阵特征值与特征向量.3.利用矩阵A特征值,特征向量给出Anα简单表示.53/782.5特征值与特征向量1.在本节开始部分，书本安排了两个学生熟知伸压变换，并给出了变换前后图形，其目标在于让学生借助于感性了解在矩阵作用下一些向量“不变性”，从而为学生学习特征值和特征向量打下坚实基础．2.3.将矩阵特征值与特征向量概念转换成矩阵与列向量乘法表示来了解，其目标在于引出矩阵特征多项式．课本没有对特征多项式作展开讨论，其意图是仅仅让学生将之作为一个工具．54/782.5特征值与特征向量4.5.55/782.5特征值与特征向量56/782.5特征值与特征向量6.一个特征值对应着多个特征向量.7.有了特征值和特征向量知识,我们就能够方便地计算屡次变换结果.57/782.5特征值与特征向量58/782.5特征值与特征向量投影变换59/782.1二阶矩阵与平面向量2.2几个常见平面变换2.3变换复合与矩阵乘法2.4逆矩阵与逆变换2.5特征值与特征向量2.6矩阵简单应用详细内容解析60/782.6矩阵简单应用提议课时:2课时教育目标:1.初步了解高阶矩阵.2.了解矩阵简单应用.61/782.6矩阵简单应用1.只要求学生对高阶矩阵有一个感性认识.2.经过本节学习,让学生了解到矩阵起源于实际生活需要.3.书本介绍了矩阵在数学领域内应用,也介绍了它在经济学领域、密码学领域、生物学领域应用.62/782.6矩阵简单应用5.书本介绍了“七桥问题”,这个问题处理既符合学生实际,又能够引导学生了解更多数学史内容(选修3-1)4.书本介绍了网络图、一级路矩阵和二级路矩阵,意图在于介绍高阶矩阵和激发学生学习图论兴趣,为其它选修专题开设打下基础.63/782.6矩阵简单应用6.本节难点在于种群问题处理.(例6)64/782.6矩阵简单应用65/782.6矩阵简单应用66/782.6矩阵简单应用67/782.1二阶矩阵与平面向量2.2几个常见平面变换2.3变换复合与矩阵乘法2.4逆矩阵与逆变换2.5特征值与特征向量2.6矩阵简单应用

学习总结汇报主要内容68/78学习总结汇报汇报分三个方面内容:1.知识总结.了解本专题整体思绪、结构和内容.深入认识变换思想.2.拓展.经过查阅资料、调查汇报、访问讨教、独立思索,对矩阵及其应用作深入探讨.3.学习本专题感受和体会.69/78教学提议70/781.本专题只对详细二阶方阵加以讨论,而不讨论普通m×n阶矩阵以及(aij)形式矩阵.教学提议2.矩阵引入要从详细实例开始,经过详细实例让学生认识到,一些几何变换能够用矩阵表示,丰富学生对矩阵几何意义了解,并引导学生用映射观点来认识矩阵,解线性方程组.不提倡先讲矩阵,后讲变换.3.要求从图形变换直观地了解矩阵乘法,并经过详细实例让学生了解矩阵乘法运算率.71/784.在新课讲解过程中适当地复习映射和一一映射.教学提议5.应经过大量实例,借助立体几何图形三视图来研究平面图形几何变换,这么会让学生感到生动,单纯平面几何变换比较抽象.6.能够将伸压变换与数学4中三角变换结合起来,表达知识螺旋上升.7.注意伸压变换和伸缩变换异同.72/788.在证实二阶非零矩阵对应变换把直线变为直线(或点)时,学生可