西建大材料力学课件04弯曲内力、应力

4弯曲内力、应力

4-1对称弯曲的概念及梁的计算简图4-2梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图4-3平面刚架和曲杆的内力图4-4梁横截面上的正应力正应力强度条件4-5梁横截面上的切应力切应力强度条件4-6梁的合理设计4.1.1弯曲的概念4.1对称弯曲的概念及梁的计算简图1）弯曲工程实例桥式起重机的主梁F火车轮轴FFFF各类横梁各类桥梁受风载的塔车削的工件2）弯曲的概念：受力特点：作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线；外力偶作用在杆轴线的某一平面内。变形特点：杆轴线由直线变为一条平面的曲线。垂直于轴线的横截面绕垂直于轴线的某一轴作相对转动

主要产生弯曲变形的杆---梁。3）梁的常见截面：4）平面弯曲：

纵向对称面包含对称轴的纵向平面

外力都作用在纵向对称面内

弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线4.1.2梁的计算简图不论截面形状，全部用轴线代替梁1）构件本身的简化：2）梁的载荷

集中载荷

分布载荷

集中力偶3）梁的支座固定铰支座活动铰支座固定端4）静定梁的分类（三种基本形式）简支梁外伸梁悬臂梁FAxFAyFBFAxFAyFBFAxFAyMA支座之间的长度称为梁的跨度4-2梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图4.2.1梁的剪力和弯矩弯曲内力的确定方法：截面法

已知：如图，F，a，l。

求：距A端x处截面上内力。FABalFABFAxFAyFB解：①求外力（支座反力）FABal将梁从Ⅰ－Ⅰ位置截开，若取左侧AFAyFs内力与外力平衡，内力简化为一力和一力偶。该力与截面平行，称为截面的剪力，记为Fs

；该力偶的力偶矩称为截面的弯矩，记为M

。②求内力ⅠⅠxM若取右侧FsMBFBF

为使左、右两段梁计算所得的同一截面上的剪力、弯矩在正负号相同，结合梁的变形，对梁的剪力和弯矩的正负符号作如下规定弯曲内力的正负号规定:①剪力Fs

:②弯矩M：Fs(+)Fs(+)Fs(–)Fs(–)M(+)M(+)M(–)M(–)解：（1）确定支座反力例4-1：梁1-1、2-2截面处的内力。1.2kN/m0.8kNAB1.5m1.5m3m2m1.5m1122FAFB(2)1-1截面左段FA2-2截面右段左侧截面：1.2kN/m0.8kNAB1.5m1.5m3m2m1.5m1122FAFBFA例4-2求图示梁1-1、2-2截面的剪力和弯矩。解：取整体1-1截面Fs1FAAABCD2m2m2mF=12kNq=2kN/m1122FAFBM1ABCD2m2m2mF=12kNq=2kN/m1122FAFBFs1FAAM1F=12kNFAA2-2截面Fs2M2结论：

集中力（包括支座反力）两侧截面的的弯矩相等；

集中力（包括支座反力）两侧截面的的剪力不等，突变值等于集中力的大小。例4-3求图示梁1-1、2-2截面的剪力和弯矩。解：取整体ABC2m2m1122Me

=12kN·mFAFBFs1FAA1-1截面M1ABC2m2m1122Me

=12kN·mFAFB2-2截面BFBFs1FAAM1M2Fs2结论：

集中力偶两侧截面的的剪力相等；

集中力偶两侧截面的的弯矩不等，突变值等于集中力偶的力偶矩。

横截面上的

剪力

在数值上等于此横截面的左侧或右侧

梁段上外力的代数和。

该梁段上与剪力方向相反的外力引起正值的剪力，与剪力方向相同的外力引起负值的剪力求剪力和弯矩的简便方法

通过以上求截面上剪力和弯矩可以看出，一般并不必用截面法，可直接从横截面的任一侧梁上的外力来求得该横截面上的剪力和弯矩。

横截面上的弯矩

在数值上等于此横截面的左侧或右侧梁段上的外力（包括外力偶）对该截面形心的力矩之代数和。

该梁段上与弯矩转向相反的外力之矩引起正值的弯矩，与弯矩转向相同的外力之矩引起负值的弯矩例4-4求指定截面上的内力FSA-，FSA+，FSD-

，FSD+

，MD-，

MD+，

FSB-，FSB+。M=3kN·m2m2m4mCADBFAFB解：求支座反力FA=14.5kNFB=3.5kN4.2.2剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图通常，梁截面上的剪力、弯矩是截面位置x

的函数，可表示为

以梁横截面沿轴线的位置x为横坐标，纵坐标表示梁横截面上的剪力和弯矩值绘制的图形分别称之为剪力图和弯矩图。FS=FS(x)M=M(x)——剪力方程——弯矩方程弯矩图（M

图）：正的弯矩画在横坐标（基线）下方，即受拉一侧；

负的弯矩画在横坐标上方，即受压一侧。剪力图（FS图）：正的剪力画在横坐标（基线）的上方；

负的剪力画在横坐标的下方。弯矩图（M

图）：正的弯矩画在横坐标（基线）上方，

负的弯矩画在横坐标下方。土类机类F解：①求支反力②写出内力方程③根据方程画内力图例4-5

列出梁内力方程并画出内力图。MAM图FLFABFAyFS图例4-6

图示简支梁受集度为q的分布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。解：1、求支反力2、列剪力方程和弯矩方程xlAqFAFB3、作剪力图和弯矩图

载荷对称、结构对称则剪力图反对称，弯矩图对称。剪力为零的截面弯矩有极值。FS图M

图l/2例4-7图示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪力图和弯矩图。解：1、求支反力2、列剪力方程和弯矩方程——需分两段列出x1BlAFabCFBFAAC段CB段x2AC段CB段3、作剪力图和弯矩图FS图

M图x1BlAFabCFBFAx2

在集中力

F

作用处，剪力图有突变，突变值为集中力的大小；弯矩图有转折。例4-8图示简支梁在C点受矩为Me

的集中力偶作用。试作梁的剪力图和弯矩图。解:1、求支反力Me

BlACabFA

FB2、列剪力方程和弯矩方程剪力方程无需分段：弯矩方程——两段：AC段：CB段：x3、作剪力图和弯矩图Fs图M

图

集中力偶作用点处剪力图无影响，弯矩图有突变，突变值的大小等于集中力偶的大小。Me

BlACabFA

FBx作业：习题4-2（a）、（c）、（d）4.2.3剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用1）剪力、弯矩与分布荷载间的微分关系讨论：xlAqFAFB？对dx段进行平衡分析，有：dxxq(x)q(x)M(x)+dM(x)Fs(x)+dFs(x)Fs(x)M(x)dx

剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。

弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。2）微分关系的应用——作Fs

图和M

图（用于定形）

分布力q(x)=常数时

分布力q(x)=0时（无分布载荷）Fs图：M图：——剪力图为一条水平线；

弯矩图为一条斜直线。——剪力图为一条斜直线；弯矩图为一条二次曲线。（1）当分布力q

的方向向上时——剪力图为斜向上的斜直线；弯矩图为上凸的二次曲线。（2）当分布力的方向向下时Fs图：M

图：——剪力图为斜向下的斜直线；弯矩图为下凸的二次曲线。Fs图：M图：3）剪力、弯矩与分布荷载间的积分关系在仅有q(x)作用时，两截面上的弯矩之差，等于两截面间剪力图的面积。x1q(x)x2

两截面上的剪力之差，等于两截面间分布载荷图的面积。

控制点:端点、分段点（外力变化点）和驻点（极值点）等。利用微分关系定形，利用特殊点的内力值来定值，利用积分关系定值基本步骤：1、确定梁上所有外力（求支座反力）；2、分段3、利用微分规律判断梁各段内力图的形状；4、确定控制点内力的数值大小及正负；5、作剪力图和弯矩图。4.2.4简易法作剪力图和弯矩图例4-9作图示梁的剪力图和弯矩图。解：1、确定支反力AB：BC：2、分段作剪力图和弯矩图q>0,qa2aaqaqABCFyMFS图M图qa–例4-10作图示梁的剪力图和弯矩图。AC2mM=12kN·mq=6kN/mFAFB4m解：1、求支反力Fs图M图B2、分段作剪力图和弯矩图AC：BC：q=0，FS图水平线，M图斜直线q<0，FS图斜直线，M图二次曲线3ma=3m，剪力等于零，弯矩有极值例4-11作图示梁的剪力图和弯矩图。AC2mF=6kNq=3kN/m2m解：1、求支反力2mFS图M图BDFAFB2、分段作剪力图和弯矩图AC：CD：q=0，FS图水平线，M图斜直线DB：5kN1kN7kN10kN·m8kN·mq<0，FS图斜直线，M图二次曲线q=0，FS图水平线，M图斜直线例4-12作图示梁的剪力图和弯矩图。AC3mM=10kN·mq=1kN/m4mBF1

=2kNF2

=2kN4m4mDE解：1、求支反力FAFB2、分段作剪力图和弯矩图FS图：M

图：

Fs解：1、确定约束力FBqa/2qa/2qaMqa2/2qa2/2BAaqaCaaDqMA例4-13作图示梁的剪力图和弯矩图。FAy2、分段作剪力图和弯矩图作业：习题4-3（a）、（b）、（c）、（d）、（e）、（g）习题4-4（b）4.2.5叠加法作弯矩图2、叠加原理：多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。1、前提条件：小变形、梁的跨长改变忽略不计；所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满足线性关系。即在弹性范围内满足虎克定律。3、步骤：梁上的几个荷载分解为单独的荷载作用；分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图；将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单拼凑）。BMABlqABlqMAl=+FA=M/lFB=M/lFA=ql/2FB=ql/2M图Mql2/8+=例4-14按叠加法作弯矩图。Mql2/8Mmax5l/8=+M图+=FMABl/2l/2BFB=M/lMAFA=M/ll/2l/2ABFA=F/2FB=F/2l/2l/2FFl/4M例4-15按叠加法作弯矩图。MFl/4q=2kN/mAF=4kN6m2mBCM

图例4-16按叠加法作弯矩图。q=2kN/mA6m2mBCAF=4kN6m2mBC+=9kN·m8kN·m8kN·m+=9kN·m4.3平面刚架和曲杆的内力图4.3.1平面刚架和曲杆的概念刚性连结处，相连杆件的夹角不会改变刚性连结不仅能传力、而且能传递力矩刚架截面上的内力包括：轴力、剪力、弯矩

平面刚架是由在同一平面内，不同取向的杆件，通过杆端相互刚性连结而组成的结构。ABC

轴线为平面曲线的构件称为平面曲杆。平面曲杆横截面上的内力有轴力、剪力和弯矩。平面刚架及曲杆的内力图轴力图和剪力图：

可画在刚架轴线的任一侧，必须标明正负号通常正值画在刚架（曲杆）的外侧弯矩图：画在杆件受拉一侧，可以不标明正负号4.3.2平面刚架和曲杆的内力图CBa解：将刚架分为CB，AB两段CB

段：FN(x)=0FS(x)=F1M(x)=-F1x

(0

x

a)xCFS(x)M(x)alF1F2ABC例4-17图示下端固定的刚架，在其轴线平面内受集中力F1

和F2

作用，作此刚架的内力图。xFN(x)BA

段：FN(x1)=-F1FS(x1)=F2M(x1)=-F1a-F2

x1

(0

x1

l)x1CB

段：FN(x)=0FS(x)=F1M(x)=-F1x(0

x

a)BA

段：FN(x1)=-F1FS(x1)=F2M(x1)=-F1a-F2

x1(0

x1

l)alF1F2ABCxx1F1FN图++F1F2FS

图F1aF1aF2lF1a+M图例4-18画出图示曲杆的内力图解：写出曲杆的内力方程作业：习题4-11（b）4.4.1纯弯曲和横力弯曲的概念4.4梁横截面的正应力和正应力强度条件

当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上既有弯矩M，又有剪力

FS。剪力Fs——切应力t；弯矩M——正应力sFFaaCDFFFaAB１.纯弯曲

梁的横截面上只有弯矩而无剪力的弯曲（横截面上只有正应力而无剪应力的弯曲）。2.横力弯曲（剪切弯曲）

梁的横截面上既有弯矩又有剪力的弯曲（横截面上既有正应力又有剪应力的弯曲）。4.4.2纯弯曲梁横截面上的正应力综合考虑:几何，物理和静力学三方面1变形几何关系：

由纯弯曲的变形规律→纵向线应变的变化规律。实验：aabbmmnnmmnnMMaabb变形规律：

横向线：仍为直线，只是相对转动了一个角度且仍与纵向线正交。

纵向线：由直线变为曲线，且靠近上部的纤维缩短，靠近下部的纤维伸长。假设：弯曲平面假设：

梁变形前原为平面的横截面变形后仍为平面，且仍垂直于变形后的轴线，只是各横截面绕其上的某轴转动了一个角度。凹入一侧纤维缩短突出一侧纤维伸长

根据变形的连续性，梁弯曲时从其凹入一侧的纵向线缩短区到其凸出一侧的纵向线伸长区，中间必有一层纵向无长度改变的过渡层——称为中性层。中性层与横截面的交线－－中性轴

纵向纤维假设：梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维之间无挤压。

梁的弯曲变形实际上是各截面绕各自的中性轴转动了一个角度，等高度的一层纤维的变形完全相同。中性层中性轴横截面横截面的对称轴BAabcd线应变的变化规律：dxyoo1B1A1OO1yrdqe

和y

成正比，而与z

无关。在弹性范围内，2物理关系：由纵向线应变的变化律→正应力的分布规律。

即对给定的横截面，其上任一点的正应力与该点到中性轴的距离成正比，在距中性轴为y的同一横线上各点处的正应力均相等。zysmaxsmax

欲求横截面上一点应力必须知道中性轴的位置和中性层的曲率半径。yxMz（中性轴z轴为形心轴）（y轴为对称轴，自然满足）yzAs——弯曲变形计算的基本公式3静力方面：

由横截面上的弯矩和正应力的关系→正应力的计算公式。纯弯曲正应力计算公式。EIz——梁的抗弯刚度。

横截面上各点正应力大小与各点到中性轴的距离成正比，中性轴上各点正应力为零，离中性轴最远点正应力最大。

应用公式时，一般将M，y

以绝对值代入。根据梁变形的情况直接判断s的正，负号。以中性轴为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力（s为正号）。凹入边的应力为压应力，（s为负号）。中性轴yzCyCzM拉压M拉压Wz——弯曲截面系数

截面关于中性轴对称

截面关于中性轴不对称几种常见截面的IZ和WZ圆截面矩形截面空心圆截面4.4.3正应力公式的推广工程中常见的平面弯曲是横力弯曲

实验和弹性力学理论的研究都表明：当跨度l与横截面高度h之比l/h>5（细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。弯曲正应力公式可推广应用于横力弯曲和小曲率梁截面关于中性轴对称截面关于中性轴不对称(最大拉应力、最大压应力可能发生在不同的截面内)横力弯曲梁上的最大正应力1m2mBA

弯曲正应力公式适用范围弯曲正应力分布

细长梁的纯弯曲或横力弯曲

横截面惯性积Iyz=0

弹性变形阶段BAl=3mq=60kN/mC1m30zy180120K1.C截面上K点正应力2.C截面上最大正应力3.全梁上最大正应力4.已知E=200GPa，C截面的曲率半径r（压应力）1.求支反力解：M2.C

截面上K点正应力例4-19简支梁，求FAyFBy3.C

截面最大正应力BAl=3mq=60kN/mC1m30zy180120KMFAyFBy4.全梁最大正应力最大弯矩5.C

截面曲率半径r例4-20求图示T形截面梁的最大拉应力和最大压应力。ABCD0.3m0.3m0.2mF=20kNF=50kN301103080画梁的弯矩图5.5kN.m4kN.mCzy2y1解：确定中性轴的位置。截面形心主惯性矩：D

截面下边受拉，上边受压；B截面上边受拉，下边受压。MD

y2>MB

y1，最大压应力在D

截面的上边缘；MD

y1<MB

y2，最大拉应力发生在B

截面的上边缘。ABCD0.3m0.3m0.2mF=20kNF=50kN3011030805.5kN.m4kN.mCzy2y1qDABCaaEl例4-21受均布荷载作用的等直外伸梁。试确定支座的合理位置。为最小，即解：只有当支座处截面与跨中截面之弯矩的绝对值相等时，才能使梁的最大弯矩的绝对值为最小。对于等截面梁，其最大正应力解得[s]——材料的许用弯曲正应力中性轴为横截面对称轴的等直梁拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁Czyytmaxycmax为充分发挥材料的强度，最合理的设计为4.4.4梁的正应力强度条件弯曲正应力强度条件1、强度校核——2、设计截面尺寸——3、确定外荷载——10m2.5m75kN75kN75kN2.5m2.5mABFAFB例4-22图示梁由工字钢制成。钢的许用弯曲正应力[s]=152MPa，试选择工字钢的型号。解：作弯矩图梁的最大弯矩为抗弯截面系数为281375查型钢表选56b号工字钢也不到1%，故可选用56b号工字钢。采用此工字钢时最大正应力不到1%例4-23T形截面的铸铁梁，铸铁的[

t]=30MPa，[

c]=60MPa。其截面形心位于C点，y1=38.2mm，y2=71.8mm，Iz=573cm4

，试校核此梁的强度。ABCD0.3m0.3m0.2mF=10kNF=25kN3011030802.75kN.m2kN.mCzy2y1解：画梁的弯矩图D

截面下边受拉，上边受压；B截面上边受拉，下边受压。MD

y2>MB

y1，最大压应力在D

截面的上边缘；MD

y1<MB

y2，最大拉应力发生在B

截面的上边缘。梁的强度符合要求例4-24跨长l=2m的铸铁梁如图所示。已知材料的拉，压许用应力分别为[st]=30MPa，[sc]=90MPa。试根据截面最为合理的要求确定T

字形截面梁横截面的一个尺寸d。AB1mF=80kNOz22060280zy1y2解：要使截面最合理，必须使同一截面的因为这样就可使材料的拉，压强度得到同等成度的利用。AB1mF=80kNOz22060280zy1y2即得例4-25安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦自重F1=6.7kN，起重量F2=50kN，跨度l=9.5m，材料的许用应力[s]=140MPa，试选择工字钢的型号。（4）选择工字钢型号（3）根据计算（2）绘弯矩图

（1）计算简图解：36c工字钢Fl/4F=F1+F2例4-26一槽形截面铸铁梁如图所示。以知：b=2m，Iz=5493×104mm4，铸铁的许用拉应力[st]=30MPa，许用压应力[sc]=90MPa

。试求梁的许可荷载[F]CbbDAFbBy202013486120180z40C解：作弯矩图最大负弯矩在B

截面上，最大正弯矩在C

上。C

截面

C

截面的强度条件由最大拉应力控制。CbbDAFbBy202013486120180z40CB

截面取其中较小者，得该梁的最小荷载为作业：习题4-23习题4-24习题4-25习题4-304.5梁横截面上的切应力切应力强度条件4.5.1矩形截面梁横截面上的切应力横力弯曲时，梁横截面即有弯矩，也有剪力，相应也必有切应力。F2F1q(x)mmnnxdxFSMFS+

dFSM+dMmmnndxzybhs2BAB'A'nmm1dx

假设：横截面上各点的切应力方向与剪力的方向相同。

切应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离的各点切应力大小相等）。zybhytFSmmnndxs2s1yzy

1

's2BAB'A'nmm1dxyzy

1

'由剪应力互等定理可知

注意：Fs为横截面的剪力；Iz为整个横截面对z轴的惯性矩；b为所求点对应位置截面的宽度；Sz*

为所求点对应位置以外的面积对z

轴的静矩。A*

公式推导

矩形截面切应力的分布：zyyObh/2h/2A*y0切应力沿截面高度按抛物线规律变化。（即在横截面上距中性轴最远处)y=0(即在中性轴上各点处），切应力达到最大值

max4.5.2工字型截面梁横截面上的切应力tyhbxdz假设:t//腹板侧边，并沿其厚度均匀分布仍按矩形截面的公式计算。——下侧部分截面对中性轴

z的静矩

腹板上的切应力yOzy最大剪应力也在中性轴上。这也是整个横截面上的最大剪应力。腹板上的剪应力沿腹板高度按二次抛物线规律变化。——中性轴任一边的半个横截面面积对中性轴的静矩。

翼缘上的切应力

计算表明，工字形截面梁的腹板承担的剪力(1)平行于y轴的切应力

翼缘上平行于y轴的切应力很小，工程上一般不考虑。截面上的剪力基本上由腹板承担。xythzOdbty(2)垂直于y轴的切应力tht1t1'xythOdbthz

t——

欲求切应力值的点所在位置的壁厚

——欲计算切应力的点到截面端部（t=0处)这部分截面的静矩

即翼缘上垂直于y轴的切应力随

按线性规律变化。

通过推导可以得知，薄壁工字钢梁上、下翼缘与腹板横截面上的切应力指向构成了“切应力流”。zyOtmaxtmaxtmint1max4.5.3薄壁环形截面梁横截面上的切应力

薄壁环形截面梁弯曲切应力的分布特征：(1)d

<<r0→沿壁厚切应力的大小不变；(2)内、外壁上无切应力→切应力的方向与圆周相切；(3)y轴是对称轴→切应力分布与y轴对称；与

y轴相交的各点处切应力为零。最大切应力tmax

仍发生在中性轴z上。zyOtmaxtdr0tmax4.5.4圆截面梁横截面上的切应力切应力的分布特征：边缘各点切应力的方向与圆周相切；切应力分布与y轴对称；与

y轴相交各点处的切应力其方向与y轴一致。关于其切应力分布的假设：1、离中性轴为任意距离y的水平直线段上各点处的切应力汇交于一点；2、这些切应力沿y方向的分量ty沿宽度相等。zyOtmaxkk'O'd最大切应力t

max

在中性轴处当l>>h时，smax>>tmax4.5.5弯曲正应力与弯曲切应力比较ABF=150kN5m10m例4-27

图示简支梁由56a

工字钢制成。求梁的最大切应力

tmax和同一截面腹板部分a

点处的切应力ta解：作剪力图75kN75kNa1665602112.5z查型钢表a点以外的截面面积对中性轴的静矩

为

a1665602112.5z例4-28

一槽钢制成的梁受方向平行于其腹板的横向荷载作用。（1）分析横截面上腹板，翼缘两部分切应力t和t1的变化规律；（2）确定横截面上剪力作用线的位置mmnnxdxq(x)tyOmmtyzdhb解：分析腹板上切应力的变化规律切应力沿腹板高度按二次抛物线规律变化。取梁段dx

，并沿翼缘厚度用纵向截面AC截出一体积元素Cm

。横截面翼缘上的剪应力DCmnOzydxuAmdAAuDmCdxtB在Cm

的两个截面Am,CD

上分别有由法向内力元素组成的拉力、DCmnOzydxuAmdAAuDmCdxtB由于翼缘很薄，故可认为s1,s11沿翼缘厚度保持不变，且其值与翼缘中线上的正应力相同。由于所以在AC

截面上一定存在着由切向内力元素AuDmCdxtB

因为翼缘横截面也是狭长矩形，故假设切应力沿壁厚不变及其方向平行于翼缘的长度。根据切应力互等定理，横截面上的切应力和AC上的切应力如图所示。t1

沿翼缘长度按线性规律变化。

翼缘上的最大切应力发生在横截面上翼缘与腹板的中线相接处。mm确定横截面上剪力作用线的位置HH

横截面上的剪力共有三部分组成，即一个FR

和两个H

。它们的合力的作用线位置，就是梁横截面上剪力的作用线位置。由力系合成原理可知，上述合力的大小和方向均与FR

相同，但作用线应与FR相隔一个距离e。mmOyze由此即确定了横截面上剪力作用线的位置。A

点称为弯曲中心或剪切中心

。A

几种常见薄壁截面弯曲中心的位置：zyCACAzyCAyzyzCA⑴具有两个以上对称轴的截面，弯曲中心与形心重合；⑵开口圆环截面，弯曲中心在圆外对称轴上；⑶具有两个狭窄矩形的截面，弯曲中心位于狭窄矩形中线的交点。zyACF

当外力的作用线过弯曲中心时，梁只发生弯曲；当外力的作用线不过弯曲中心时，梁不仅发生弯曲，还发生扭转。

当外力的作用线既过弯曲中心，又与形心主轴平行时，梁发生平面弯曲；

若外力的作用线只过弯曲中心，但不与形心主轴平行时，梁发生斜弯曲。zyACFzyACFzyACF平面弯曲斜弯曲平面弯曲＋扭转斜弯曲＋扭转zzzzyyyyPPPPCCCC矩形截面方形截面T形截面等边角钢斜弯曲平面弯曲斜弯曲＋扭转斜弯曲＋扭转AA4.5.6梁的切应力强度条件梁除满足正应力强度外，还需满足切应力强度。

对于横力弯曲下的等直梁，其横截面上一般既有弯矩又有剪力。梁上最大正应力发生在弯矩最大的横截面上距中性轴最远的各点处。而梁上最大的切应力发生在剪力最大的横截面上中性轴的各点处。

等直梁的最大切应力一般在最大剪力所在横截面的中性轴上各点处，这些点的正应力s=0，略去纵截面上的挤压力后，最大切应力所在的各点均可看作是处于纯剪切应力状态。

讨论全梁承受均布荷载的矩形截面简支梁C,D,E,F,G,H

各点的应力状态。FS

图

在最大弯矩截面上，距中性轴最远的C

和D

点处于单轴应力状态；在最大剪力截面上，中性轴上的E,F

点处于纯剪切应力状态;而G,H

点处于一般应力状态。M

图EGHCDFmqlmC

,D

为单轴应力状态CDFS

图M

图EGHCDFmqlmFS

图M

图EGHCDFmqlmE

,F

为纯剪切应力状态EFFS

图M

图EGHCDFmqlmG

,H

为一般应力状态GH仿照纯剪切应力状态下的强度条件公式在选择梁的截面时，通常先按正应力选出截面，再按剪应力进行强度校核。[t]为材料在横力弯曲时的许用剪应力。梁的切应力强度条件为对等直梁，有1、校核强度2、设计截面尺寸3、确定外荷载。

需要校核切应力的几种特殊情况：铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核切应力。梁的跨度较短，M

较小，而

FS

较大时，要校核切应力。各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核切应力。梁的切应力强度条件为例4-29

简支梁受均布荷载作用，其荷载集度q=3.6kN/m，梁的跨长l=3m

，横截面为b×h=120×180mm2，许用弯曲正应力[s]=7MPa，许用切应力[t]=0.9MPa

，校核梁的强度。梁的正应力强度校核由弯矩图知，跨中截面为危险截面，最大弯矩值为解：作梁的剪力图和弯矩图ABqFS

图M

图梁横截面的的抗弯截面系数为横截面上的最大正应力ABqFS

图M

图梁的切应力强度校核矩形截面的面积为梁横截面上的最大切应力由剪力图知，危险截面为A、B截面，最大的剪力为

以上两方面的强度条件均满足，所以此梁是安全的。例4-30简支梁由两根槽钢组成，受四个集中力作用，已知F1=120kN，F2=30kN，F3=40kN，F4=12kN，梁的许用应力

=170MPa，

=100MPa。试选择槽钢型号。zyO0.6单位：m0.40.40.32.4A位：kN55.262.45438.4单位：kN.m解：作剪力图和弯矩图由正应力强度条件选择槽钢型号由弯矩图知，最大弯矩为梁的抗弯截面系数为每一根槽钢的抗弯截面系数为查型钢表，选20a号槽钢，其抗弯截面系数为超过许用正应力约3%，在工