工程信号与系统（第2版）课件 第5-8章 离散傅里叶变换 -系统的状态空间分析

第五章离散傅里叶变换第五章离散傅里叶变换问题：上述傅里叶变换式中，在时域和频域，信号都是连续的。但数字处理系统只能存储和处理有限长度的离散数字信号，且无法直接进行连续积分运算，因此需要对信号离散化。

由采样定理知，序列可以看作在满足采样定理的条件下对连续信号进行采样得到，则有：Z5.1傅里叶变换中连续到离散的演化1.由CTFT演化出DTFT5.1连续变换到离散变换的演化将时域间隔单位归一化后，得到：上式是将连续傅里叶变换中的时域信号进行离散化后得到，称离散时间傅里叶变换（DTFT－Discrete-timeFourierTransform）。

分析：DTFT仍未达到便于数字系统处理的目的。（1）时域序列的长度仍然是无限长的。（2）信号在频域仍然是连续的。因此，还需要对频域信号进行离散化。第五章离散傅里叶变换5.1连续变换到离散变换的演化实际上，对DTFT而言，其频域变换结果是以2π

为周期的连续周期函数。为此，对时限信号在频域内以为间隔对DFTF的变换结果进行频域取样，有：显然上式在频域内也是离散且有限的，这非常适合于计算机等数字信号处理系统来进行处理。该式实际上给出的是非周期离散序列的离散傅里叶变换(DFT-DiscreteFourierTransform)。第五章离散傅里叶变换2.演化出DFT5.1连续变换到离散变换的演化3.演化出DFS第五章离散傅里叶变换而言，其傅里叶级数为:对周期为的连续信号其中，它也是频域中两条相邻谱线的间隔。

若要将周期信号在时域内进行离散化，只需以恰当的采样率进行采样，即可得到对应的周期序列。

演变为离散求和，因此有

对周期为的周期离散序列而言，时域积分上式即离散傅里叶级数（DFS-DiscreteFourierSeries）。5.1连续变换到离散变换的演化若离散周期序列的一个周期取出来，记作并且将DFS变换结果中的一个周期取出来，记作则有：上式本质上与离散傅里叶变换(DFT)相同。由此可见，离散傅里叶变换(DFT)可以从DTFT延伸而来，也可以认为是从DFS演变得到。需要说明的是，在常见的信号处理应用中，离散傅里叶变换占据主导地位。第五章离散傅里叶变换5.1连续变换到离散变换的演化知识点Z5.2五种傅里叶变换的比较主要内容：1.五种傅里叶变换的含义2.五种傅里叶变换之间的关系基本要求：1.掌握五种傅里叶变换的差异2.理解各种傅里叶变换的波形特点第五章离散傅里叶变换5.1连续变换到离散变换的演化第五章离散傅里叶变换5.1连续变换到离散变换的演化连续时间傅里叶变换（CTFT）连续傅里叶级数（CFS）离散时间傅里叶变换（DTFT）

离散傅里叶级数（DFS）离散傅里叶变换（DFT）

5.1连续变换到离散变换的演化第五章离散傅里叶变换结合前述特性图示可知，除离散傅里叶变换外，若某个信号在时域（或频域）内是周期的，则经变换（或反变换）后其变换结果在频域（或时域）内是离散的；若信号在时域（或频域）内是离散的，则其变换（或反变换）结果在频域（或时域）内是周期的。周期性和离散性呈现出对偶关系。离散傅里叶变换则提供了一种在时域和频域内均是离散的信号变换方法。第五章离散傅里叶变换5.1连续变换到离散变换的演化第六章拉普拉斯变换与复频域分析6.1拉普拉斯变换基本理论Z6.1双边拉普拉斯变换的定义Z6.2收敛域Z6.3单边拉氏变换的定义Z6.4单边拉氏变换与傅里叶变换的关系Z6.5常见信号的拉普拉斯变换Z6.6拉普拉斯变换的性质-线性、尺度变换Z6.7拉普拉斯变换的性质-时移、复频移特性Z6.8拉普拉斯变换的性质-时域和复频域的微积分特性Z6.9拉普拉斯变换的性质-卷积定理Z6.10拉普拉斯变换的性质-初值、终值定理Z6.11拉普拉斯反变换Z6.12拉普拉斯变换的计算机仿真求解6.2拉普拉斯变换应用于电路分析Z6.13电路元件和定理的s域模型Z6.14电路系统的s域分析方法6.3连续系统的复频域分析法Z6.15微分方程的变换解Z6.16连续系统函数H(s)的定义和求解Z6.17连续系统函数的零极点分布与时域特性Z6.18连续系统稳定性判据Z6.19计算机仿真绘制零极点图和判稳Z6.20系统函数与系统的频率特性Z6.21计算机仿真求频响和判稳6.5零极点配置在模拟滤波器的应用分析*Z6.28零极点配置的作用Z6.29低通、带通和带阻滤波器中零极点的配置Z6.30应用案例：一阶RC电路实现低通滤波器6.6控制系统分析和应用*Z6.31自动位置闭环反馈控制系统的特性Z6.32根轨迹的仿真绘制Z6.33

奈奎斯特曲线的仿真绘制Z6.34应用案例：音响反馈系统的模型Z6.35应用案例：反馈降低闭环噪声信号的扰动6.4连续系统的信号流图与系统模拟Z6.22连续系统的s域框图Z6.23连续系统的信号流图Z6.24梅森公式Z6.25连续系统的模拟：直接形式Z6.26连续系统的模拟：级联形式Z6.27连续系统的模拟：并联形式第六章拉普拉斯变换与复频域分析知识点Z6.1

双边拉普拉斯变换的定义6.1拉普拉斯变换基本理论第六章拉普拉斯变换与复频域分析

主要内容：1.双边拉普拉斯变换的定义2.双边拉普拉斯反变换的定义基本要求：1.掌握双边拉普拉斯变换2.掌握从傅里叶变换到拉普拉斯变换Z6.1双边拉普拉斯变换的定义6.1拉普拉斯变换基本理论第六章拉普拉斯变换与复频域分析

有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。为此，可用一衰减因子e-t（

为实常数）乘信号f(t)，适当选取

的值，使乘积信号f(t)e-t当t

∞时信号幅度趋近于0，从而使f(t)e-t的傅里叶变换存在。Fb(+j

)=ℱ[f(t)e-t]=相应的傅里叶逆变换为f(t)e-t=6.1拉普拉斯变换基本理论第六章拉普拉斯变换与复频域分析

令s=+j

，d=ds/j，有双边拉普拉斯变换对Fb(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数），f(t)称为Fb(s)的双边拉氏逆变换（或原函数）。

6.1拉普拉斯变换基本理论第六章拉普拉斯变换与复频域分析

知识点Z6.2

收敛域主要内容：1.收敛域的确定2.收敛域的分类基本要求：1.熟练计算指数信号的双边拉普拉斯变换2.掌握收敛边界和收敛域6.1拉普拉斯变换基本理论第六章拉普拉斯变换与复频域分析

只有选择适当的

值才能使积分收敛，信号f(t)的双边拉普拉斯变换存在。收敛域：使f(t)拉氏变换存在的

取值范围。Z6.2收敛域例1因果信号f1(t)=e

t

(t)，求其拉普拉斯变换。

解：可见，对于因果信号，仅当Re[s]=

>

时，其拉氏变换存在。收敛域如图所示。收敛边界6.1拉普拉斯变换基本理论第六章拉普拉斯变换与复频域分析

收敛域例2

反因果信号f2(t)=et

(-t)，求其拉普拉斯变换。解：

可见，对于反因果信号，仅当Re[s]=

<

时，其拉氏变换存在。收敛域如图所示。6.1拉普拉斯变换基本理论第六章拉普拉斯变换与复频域分析

收敛域收敛边界例3

双边信号求其拉普拉斯变换。解：其双边拉普拉斯变换Fb(s)=F1b(s)+F2b(s)6.1拉普拉斯变换基本理论第六章拉普拉斯变换与复频域分析

仅当

>

时，其收敛域为

<Re[s]<

的一个带状区域，如图所示。6.1拉普拉斯变换基本理论第六章拉普拉斯变换与复频域分析

例4

求下列信号的双边拉氏变换。

f1(t)=e-3t

(t)+e-2t

(t)，

f2(t)=–e-3t

(–t)–e-2t

(–t)，

f3(t)=e-3t

(t)–e-2t

(–t)解：

Re[s]=

>–2Re[s]=

<–3–3<

<–2可见，原函数不同，象函数却相同；但收敛域不同。双边拉氏变换必须标出收敛域。6.1拉普拉斯变换基本理论第六章拉普拉斯变换与复频域分析

结论：1、对于双边拉普拉斯变换而言，Fb(s)和收敛域一起，可以唯一地确定f(t)。即：2、不同的信号可以有相同的Fb(s)，但收敛域不同。6.1拉普拉斯变换基本理论第六章拉普拉斯变换与复频域分析

知识点Z6.3单边拉氏变换的定义

主要内容：单边拉普拉斯变换的定义基本要求：熟练计算单边拉氏变换6.1拉普拉斯变换基本理论第六章拉普拉斯变换与复频域分析

Z6.3单边拉氏变换的定义通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为坐标原点，t<0时，f(t)=0。从而拉氏变换式写为称为单边拉氏变换。简称拉氏变换。其收敛域一定是Re[s]>

，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。简记为F(s)=L[f(t)]

f(t)=L

-1[F(s)]或

f(t)←→F(s)6.1拉普拉斯变换基本理论第六章拉普拉斯变换与复频域分析

知识点Z6.4

单边拉氏变换与傅里叶变换的关系主要内容：单边拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系基本要求：掌握单边拉氏变换与傅里叶变换的关系6.1拉普拉斯变换基本理论第六章拉普拉斯变换与复频域分析

Z6.4单边拉氏变换与傅里叶变换的关系Re[s]>

0

要讨论其关系，f(t)必须为因果信号。根据收敛坐标

0的值可分为以下三种情况：（1）

0<0，即F(s)的收敛域包含j

轴，则f(t)的傅里叶变换存在，并且

F(j

)=F(s)

s=j

如f(t)=e-2t

(t)←→F(s)=1/(s+2),

>-2；则F(j

)=1/(j

+2)。（2）

0=0，即F(s)的收敛边界为j

轴，

如f(t)=(t)←→F(s)=1/s(验证一下)=

(

)+1/j

（3）

0>0，F(j

)不存在。如f(t)=e2t

(t)←→F(s)=1/(s–2),>2；其傅里叶变换不存在。6.1拉普拉斯变换基本理论第六章拉普拉斯变换与复频域分析

6.1拉普拉斯变换基本理论第六章拉普拉斯变换与复频域分析

知识点Z6.5常见信号的拉普拉斯变换

主要内容：常见信号的拉普拉斯变换基本要求：熟记常用函数的拉普拉斯变换公式6.1拉普拉斯变换基本理论第六章拉普拉斯变换与复频域分析

Z6.5常见信号的拉普拉斯变换1.

(t)←→1，

>-∞2.

(t)或1←→1/s

，

>03.指数函数es0t←→

>Re[s0]cos

0t=(ej

0t+e-j

0t

)/2←→sin

0t=(ej

0t–e-j

0t

)/2j←→6.1拉普拉斯变换基本理论第六章拉普拉斯变换与复频域分析

4.周期信号fT(t)特例：

T(t)←→1/(1–e-sT)6.1拉普拉斯变换基本理论第六章拉普拉斯变换与复频域分析

知识点Z6.6拉普拉斯变换的性质—线性、尺度变换

主要内容：1.拉普拉斯变换的线性性质2.拉普拉斯变换的尺度变换性质基本要求：1.熟练掌握线性、尺度变换性质2.结合性质计算信号的拉氏变换6.1拉普拉斯变换基本理论第六章拉普拉斯变换与复频域分析

Z6.6拉普拉斯变换的性质—线性、尺度变换一、线性性质若f1(t)←→F1(s)Re[s]>

1,f2(t)←→F2(s)Re[s]>

2则a1f1(t)+a2f2(t)←→a1F1(s)+a2F2(s)Re[s]>max(

1,

2)如f(t)=

(t)+

(t)←→1+1/s，

>0二、尺度变换若f(t)←→F(s),Re[s]>

0，且有实数a>0则f(at)←→Re[s]>a0

例如图信号f(t)的拉氏变换F(s)=求图中信号y(t)的拉氏变换Y(s)。解：y(t)=4f(0.5t)Y(s)=4×2F(2s)6.1拉普拉斯变换基本理论第六章拉普拉斯变换与复频域分析

6.1拉普拉斯变换基本理论第六章拉普拉斯变换与复频域分析

知识点Z6.7拉普拉斯变换的性质—时移、复频移特性

主要内容：1.拉普拉斯变换的时移性质2.拉普拉斯变换的复频移性质基本要求：1.熟练掌握时移、复频移特性2.结合性质计算信号的拉氏变换Z6.7拉普拉斯变换的性质—时移、复频移特性若f(t)

↔F(s),Re[s]>

0,且有实常数t0>0,则f(t-t0)

(t-t0)↔e-st0F(s),Re[s]>

0

f(at-t0)

(at-t0)↔例1求如图信号的单边拉氏变换。解：f1(t)=

(t)–

(t-1)F1(s)=F2(s)=F1(s)一、时移性质6.1拉普拉斯变换基本理论第六章拉普拉斯变换与复频域分析

若f(t)为因果信号，则

f(t-t0)

↔e-st0F(s)6.1拉普拉斯变换基本理论第六章拉普拉斯变换与复频域分析

例2已知f1(t)←→F1(s)，求f2(t)←→F2(s)解：

f2(t)=f1(0.5t)–f1[0.5(t-2)]f1(0.5t)←→2F1(2s)f1[0.5(t-2)]←→2F1(2s)e-2sf2(t)←→2F1(2s)(1–e-2s)例3求f(t)=e-2(t-1)ε(t)←→F

(s)=?解：f(t)=e2e-2tε(t)二、复频移特性若f(t)←→F(s),Re[s]>

0,且有复常数sa=

a+j

a,则f(t)esat

←→F(s-sa),Re[s]>

0+

a

例4已知因果信号f(t)的象函数F(s)=求e-tf(3t-2)的象函数。解：e-tf(3t-2)←→例5f(t)=cos(2t–π/4)←→

F(s)=?解：cos(2t–π/4)=cos(2t)cos(π/4)+sin(2t)sin(π/4)6.1拉普拉斯变换基本理论第六章拉普拉斯变换与复频域分析6.1拉普拉斯变换基本理论第六章拉普拉斯变换与复频域分析

知识点Z6.8拉普拉斯变换的性质—时域和复频域的微积分特性

主要内容：1.时域微积分性质2.s域的微积分性质基本要求：1.掌握时域和复频域的微积分特性2.结合性质计算信号的拉氏变换6.1拉普拉斯变换基本理论第六章拉普拉斯变换与复频域分析

Z6.8拉普拉斯变换的性质—时域和复频域的微积分特性一、时域微分特性若f(t)←→F(s),Re[s]>

0,则f'(t)←→sF(s)–f(0-)

f''(t)←→s2F(s)–sf(0-)–f'(0-)若f(t)为因果信号，则f(n)(t)←→snF(s)例1

(n)(t)←→?例2

例36.1拉普拉斯变换基本理论第六章拉普拉斯变换与复频域分析

二、时域积分特性若f(t)←→F(s),Re[s]>

0,则例4t2

(t)

←→?6.1拉普拉斯变换基本理论第六章拉普拉斯变换与复频域分析

例5已知因果信号f(t)如图,求F(s)。解：对f(t)求导得f'(t)，如图由于f(t)为因果信号，故f(0-)=0由于f'(t)=ε(t)–ε(t–2)–2δ(t–2)←→F1(s)若f(t)为因果信号，已知f(n)(t)↔Fn(s)则f(t)↔Fn(s)/sn6.1拉普拉斯变换基本理论第六章拉普拉斯变换与复频域分析

三、s域微分和积分若f(t)←→F(s),Re[s]>

0,则例6

t2e-2t

(t)←→?e-2t

(t)←→

1/(s+2)t2e-2t

(t)←→解：6.1拉普拉斯变换基本理论第六章拉普拉斯变换与复频域分析

例7

例8

解：解：6.1拉普拉斯变换基本理论第六章拉普拉斯变换与复频域分析

知识点Z6.9拉普拉斯变换的性质—卷积定理

主要内容：1.拉普拉斯变换的时域卷积定理2.拉普拉斯变换的复频域卷积定理基本要求：1.掌握时域卷积定理公式2.了解复频域卷积定理公式6.1拉普拉斯变换基本理论第六章拉普拉斯变换与复频域分析

时域卷积定理

若因果函数f1(t)←→F1(s),Re[s]>

1

f2(t)

←→F2(s),Re[s]>

2则f1(t)*f2(t)←→F1(s)F2(s)复频域卷积定理例1

tε(t)←→?例2

已知F(s)=Z6.9拉普拉斯变换的性质—卷积定理6.1拉普拉斯变换基本理论第六章拉普拉斯变换与复频域分析

知识点Z6.10

拉普拉斯变换的性质—初值、终值定理

主要内容：1.拉普拉斯变换的初值定理2.拉普拉斯变换的终值定理基本要求：1.掌握拉普拉斯变换的初值、终值定理2.熟练计算初始值和终止值初值定理和终值定理常用于由F(s)直接求f(0+)和f(∞),而不必求出原函数f(t)。6.1拉普拉斯变换基本理论第六章拉普拉斯变换与复频域分析

初值定理设函数f(t)不含

(t)及其各阶导数（即F(s)为真分式，若F(s)为假分式化为真分式），则终值定理若f(t)当t→∞时存在，并且f(t)↔F(s),Re[s]>

0,

0<0，则Z6.10拉普拉斯变换的性质—初值、终值定理6.1拉普拉斯变换基本理论第六章拉普拉斯变换与复频域分析

例1

例2

，计算原信号的初值为和终值。6.1拉普拉斯变换基本理论第六章拉普拉斯变换与复频域分析

知识点Z6.11拉普拉斯反变换

主要内容：1.拉普拉斯反变换2.拉普拉斯反变换求解方法基本要求：1.了解拉普拉斯反变换的定义2.掌握性质、部分分式法3.了解部分分式分解法的极点特点6.1拉普拉斯变换基本理论第六章拉普拉斯变换与复频域分析

Z6.11拉普拉斯反变换直接利用定义式求反变换---复变函数积分，比较困难。通常的方法（1）查表（2）利用性质（3）部分分式展开-----结合若象函数F(s)是s的有理分式，可写为若m≥n

（假分式）,可用多项式除法将象函数F(s)分解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。6.1拉普拉斯变换基本理论第六章拉普拉斯变换与复频域分析

P(s)的拉普拉斯逆变换由冲激函数及其各阶导数构成。下面主要讨论有理真分式的情形。部分分式展开法若F(s)是s的实系数有理真分式（m<n)，则可写为式中A(s)称为F(s)的特征多项式，方程A(s)=0称为特征方程，它的根称为特征根，也称为F(s)的固有频率（或自然频率）。n个特征根pi称为F(s)的极点。（1）F(s)为单极点（单根）特例：F(s)包含共轭复根时(p1,2=–

±j

)K2=K1*6.1拉普拉斯变换基本理论第六章拉普拉斯变换与复频域分析

6.1拉普拉斯变换基本理论第六章拉普拉斯变换与复频域分析

f1(t)=2|K1|e-

tcos(

t+

)

(t)若K1,2=A±jB，f1(t)=2e-

t[Acos(

t)–Bsin(

t)]

(t)例1已知，求其逆变换。解：部分分式展开法：6.1拉普拉斯变换基本理论第六章拉普拉斯变换与复频域分析

6.1拉普拉斯变换基本理论第六章拉普拉斯变换与复频域分析

例2已知，求其逆变换。解：假分式通过长除法整理为多项式+真分式6.1拉普拉斯变换基本理论第六章拉普拉斯变换与复频域分析

6.1拉普拉斯变换基本理论第六章拉普拉斯变换与复频域分析

例3解：已知，求其逆变换。6.1拉普拉斯变换基本理论第六章拉普拉斯变换与复频域分析

6.1拉普拉斯变换基本理论第六章拉普拉斯变换与复频域分析

例4

求象函数F(s)的原函数f(t)。解：极点是s1=0，s2=–1，s3,4=

j1，s5,6=–1

j1，故

K1=sF(s)|s=0=2，K2=(s+1)F(s)|s=-1=–1

K3=(s–j)F(s)|s=j=j/2=(1/2)ej(

/2),K4=K3*=(1/2)e-j(

/2)

K5=(s+1–j)F(s)|s=-1+j=，K6=K5*6.1拉普拉斯变换基本理论第六章拉普拉斯变换与复频域分析

（2）F(s)有重极点（重根）若A(s)=0在s=p1处有r重根，

K11=[(s–p1)rF(s)]|s=p1

K12=d[(s–p1)rF(s)]/ds|s=p16.1拉普拉斯变换基本理论第六章拉普拉斯变换与复频域分析

例5已知，求其逆变换。解：6.1拉普拉斯变换基本理论第六章拉普拉斯变换与复频域分析

6.1拉普拉斯变换基本理论第六章拉普拉斯变换与复频域分析

知识点Z6.12

拉普拉斯变换的计算机仿真求解

主要内容：拉普拉斯变换的计算机仿真求解基本要求：掌握拉普拉斯变换的仿真求解函数6.1拉普拉斯变换基本理论第六章拉普拉斯变换与复频域分析

Z6.12拉普拉斯变换的计算机仿真求解计算机仿真内置了符号函数laplace和ilaplace函数，分别对应拉普拉斯变换与反变换。例

计算的卷积。解：%Laplace变换求符号卷积symst;t=sym('t','positive');%t定义为正的“符号”变量fs1=laplace(exp(-t));%f1(t)的Laplace变换fs2=laplace(t*exp(-t/2));%f2(t)的Laplace变换yt=simple(ilaplace(fs1*fs2))%利用Laplace反变换求时域解%simple获得简化表达式知识点Z6.13

电路元件和定理的s域模型

6.2拉普拉斯变换应用于电路分析第六章拉普拉斯变换与复频域分析

主要内容：电路元件的s域模型

基本要求：掌握电路元件的s域模型6.2拉普拉斯变换应用于电路分析第六章拉普拉斯变换与复频域分析

Z6.13电路元件和定理的s域模型1.电路元件的s域模型对时域电路取拉氏变换电阻u(t)=R

i(t)电感U(s)=sLIL(s)–LiL(0-)U(s)=R

I(s)6.2拉普拉斯变换应用于电路分析第六章拉普拉斯变换与复频域分析

电容I(s)=sCUC(s)–CuC(0-)6.2拉普拉斯变换应用于电路分析第六章拉普拉斯变换与复频域分析

2.基尔霍夫定理的s域模型

节点回路知识点Z6.14

电路系统的s域分析方法

6.2拉普拉斯变换应用于电路分析第六章拉普拉斯变换与复频域分析

主要内容：电路的s域分析基本要求：掌握电路s域分析方法6.2拉普拉斯变换应用于电路分析第六章拉普拉斯变换与复频域分析

Z6.14电路系统的s域分析方法解：画出电路的s域模型Us(s)=1/s，Is(s)=1例

如图所示电路，已知uS(t)=

(t)V，iS(t)=δ(t)A，

初始状态uC(0-)=1V，iL(0-)=2A，求电压u(t)。6.2拉普拉斯变换应用于电路分析第六章拉普拉斯变换与复频域分析

u(t)=e–t(t)–3te–t(t)V知识点Z6.15

微分方程的变换解

6.3连续系统的复频域分析法第六章拉普拉斯变换与复频域分析

主要内容：微分方程的变换解基本要求：1.掌握微分方程的s域求解方法2.熟练求解零输入和零状态响应6.3连续系统的复频域分析法第六章拉普拉斯变换与复频域分析

Z6.15微分方程的变换解描述n阶系统的微分方程的一般形式为系统的初始状态为y(0-),y′(0-),…，y(n-1)(0-)。思路：用拉普拉斯变换微分特性若f(t)在t=0时接入系统，则f(n)(t)←→snF(s)6.3连续系统的复频域分析法第六章拉普拉斯变换与复频域分析

例

描述某LTI系统的微分方程为

y″(t)+5y′(t)+6y(t)=2f′(t)+6f(t)已知y(0-)=1，y′(0-)=-1，f(t)=5cost

(t)，求全响应y(t)。解：方程取拉氏变换，并整理得y(t)=

yzi(t)+

yzs(t)Yzi(s)Yzs(s)6.3连续系统的复频域分析法第六章拉普拉斯变换与复频域分析

y(t)=2e–2t

(t)

–e–3t

(t)

–4e–2t

(t)

+yzi(t)yzs(t)暂态分量ytc(t)稳态分量yss(t)Yzi(s)Yzs(s)知识点Z6.16

连续系统函数H(s)的定义和求解

6.3连续系统的复频域分析法第六章拉普拉斯变换与复频域分析

主要内容：1.连续系统函数H(s)的定义2.求解连续系统的概念导图基本要求：1.掌握连续系统函数H(s)的定义2.熟练系统函数H(s)的求解6.3连续系统的复频域分析法第六章拉普拉斯变换与复频域分析

Z6.16连续系统函数H(s)的定义和求解系统函数H(s)定义为它只与系统的结构、元件参数有关，而与激励、初始状态无关。yzs(t)=h(t)*f(t)H(s)=L

[h(t)]Yzs(s)=L[h(t)]∙F(s)6.3连续系统的复频域分析法第六章拉普拉斯变换与复频域分析

例

已知当输入f(t)=e-t

(t)时，某LTI因果系统的零状态响应yzs(t)=(3e-t

-4e-2t

+e-3t)

(t)，求该系统的冲激响应和描述该系统的微分方程。解：h(t)=(4e-2t

-2e-3t)

(t)s2Yzs(s)+5sYzs(s)+6Yzs(s)=2sF(s)+8F(s)微分方程为y"(t)+5y'(t)+6y(t)=2f'(t)+8f(t)取逆变换yzs"(t)+5yzs'(t)+6yzs(t)=2f'(t)+8f(t)知识点Z6.17

连续系统函数的零极点分布与时域特性

6.3连续系统的复频域分析法第六章拉普拉斯变换与复频域分析

主要内容：1.连续系统函数的零极点分布2.连续系统函数的时域特性基本要求：1.掌握系统函数的零点与极点2.熟练求解系统函数H(s)与时域响应h(t)6.3连续系统的复频域分析法第六章拉普拉斯变换与复频域分析

Z6.17连续系统函数的零极点分布与时域特性1.系统函数的零点与极点LTI连续系统的系统函数是复变量s的有理分式，即A(s)=0的根p1，p2，…，pn称为系统函数H(s)的极点；B(s)=0的根

1，

2，…，

m称为系统函数H(s)的零点。将零极点画在复平面上得零、极点分布图。

例16.3连续系统的复频域分析法第六章拉普拉斯变换与复频域分析

例2

已知H(s)的零、极点分布图如示，并且h(0+)=2。求H(s)的表达式。解：由分布图可得根据初值定理，有6.3连续系统的复频域分析法第六章拉普拉斯变换与复频域分析

2.系统函数H(s)与时域响应h(t)冲激响应的函数形式由H(s)的极点确定。所讨论系统均为连续因果系统。H(s)按其极点在s平面上的位置可分为:在左半开平面、虚轴和右半开平面三类。

（1）在左半平面若系统函数有负实单极点p=–α(α>0)，则A(s)中有因子(s+α)，其对应的响应函数为Ke-αtε(t)6.3连续系统的复频域分析法第六章拉普拉斯变换与复频域分析

(b)若有一对共轭复极点p12=-α±jβ，则A(s)中有因子[(s+α)2+β2]↔Ke-αtcos(βt+θ)ε(t)

(c)若有r重极点，则A(s)中有因子(s+α)r或[(s+α)2+β2]r，其响应为Kitie-αtε(t)或Kitie-αtcos(βt+θ)ε(t)(i=0,1,2,…,r-1)以上三种情况：当t→∞时，响应均趋于0。暂态分量。（2）在虚轴上(a)单极点p=0或p12=±jβ，则响应为Kε(t)或Kcos(βt+θ)ε(t)—稳态分量(b)

r重极点，相应A(s)中有sr或(s2+β2)r，其响应函数为

tiε(t)或Kiticos(βt+θ)ε(t)(i=0,1,2,…,r-1)—递增函数6.3连续系统的复频域分析法第六章拉普拉斯变换与复频域分析

（3）在右半开平面：均为递增函数。

结论：LTI连续因果系统的h(t)的函数形式由H(s)的极点确定，零点影响h(t)的幅度、相位。①H(s)在左半平面的极点所对应的响应函数为衰减的。即当t→∞时，响应均趋于0。②H(s)在虚轴上的一阶极点所对应的响应函数为阶跃函数或者正弦函数。③H(s)在虚轴上的高阶极点或右半平面上的极点，其所对应的响应函数都是递增的。知识点Z6.18连续系统稳定性判据

6.3连续系统的复频域分析法第六章拉普拉斯变换与复频域分析

主要内容：连续系统的稳定性判据基本要求：1.掌握连续系统稳定的时域条件

2.掌握连续系统的稳定性s域判据6.3连续系统的复频域分析法第六章拉普拉斯变换与复频域分析

Z6.18连续系统稳定性判据1.连续系统稳定的充分必要条件是若H(s)的收敛域包含虚轴，则该系统必是稳定系统。2.连续因果系统稳定的充分必要条件是因果系统左半开平面的极点对应的响应为衰减函数。故，若H(s)的极点均在左半开平面，则该系统必是稳定的因果系统。知识点Z6.19计算机仿真绘制零极点图和判稳

主要内容：1.计算机仿真绘制零极点图2.根据零极点判断系统的稳定性基本要求：1.学会利用仿真软件绘制零极点图2.掌握零极点判稳的方法6.3连续系统的复频域分析法第六章拉普拉斯变换与复频域分析

Z6.19计算机仿真绘制零极点图和判稳例

利用计算机仿真画出系统的零极点图，并判断系统的稳定性。解：b=[143];%分子系数，按降幂顺序排列a=[13464];%分母系数，按降幂顺序排列sys=tf(b,a)pzmap(sys);sgrid;azp=roots(a);%求出极点azp，在左半平面即为稳定6.3连续系统的复频域分析法第六章拉普拉斯变换与复频域分析

6.3连续系统的复频域分析法第六章拉普拉斯变换与复频域分析

%根据参量wd的值判断稳定：1表示稳定，0表示不稳定wd=1;fork=1:length(azp)%所有极点逐个进行判断ifreal(azp(k))>-0.000001wd=0;endifwd==0title('不稳定系统');elseifwd==1title('稳定系统');end6.3连续系统的复频域分析法第六章拉普拉斯变换与复频域分析

结果：Transferfunction:s^2+4s+3-----------------------------s^4+3s^3+4s^2+6s+4azp=0.0000+1.4142i0.0000-1.4142i-2.0000-1.00006.3连续系统的复频域分析法第六章拉普拉斯变换与复频域分析

系统的零极图，如图所示，可见系统有4个极点，2个零点，其中在虚轴上有一对共轭极点，故该系统是不稳定的。知识点Z6.20系统函数与系统的频率特性

6.3连续系统的复频域分析法第六章拉普拉斯变换与复频域分析

主要内容：1.H(s)与H(jω)关系2.频响的基本概念基本要求：1.掌握系统函数与系统的频率特性2.掌握因果稳定系统和频率响应函数6.3连续系统的复频域分析法第六章拉普拉斯变换与复频域分析

Z6.20系统函数与系统的频率特性1.H(s)与H(jω)关系

设h(t)为因果信号当且时（H(s)极点在左半平面）这种情况下，h(t)对应的系统称为因果稳定系统。6.3连续系统的复频域分析法第六章拉普拉斯变换与复频域分析

2.H(s)零、极点与连续系统频率特性设：H(jω)又称系统频率响应。若系统函数H(s)的极点均在左半平面，H(jω)=H(s)|s=jω。6.3连续系统的复频域分析法第六章拉普拉斯变换与复频域分析

设则：幅频响应相频响应知识点Z6.21计算机仿真求频响和判稳

主要内容：1.计算机仿真求频率响应函数2.根据零极点分布判断系统的稳定性基本要求：1.掌握频率响应函数的仿真求解法2.掌握系统判稳的仿真分析法6.3连续系统的复频域分析法第六章拉普拉斯变换与复频域分析

6.3连续系统的复频域分析法第六章拉普拉斯变换与复频域分析

Z6.21计算机仿真求频响和判稳例

已知系统函数画出其零极点分布，求系统的单位冲激响应，和频率响应，并判断系统是否稳定。，试用计算机仿真解：num=[1];

%分子系数den=[1231];

%分母系数sys=tf(num,den);

%构造系统函数poles=roots(den);6.3连续系统的复频域分析法第六章拉普拉斯变换与复频域分析

figure(1);pzmap(sys);%绘制零极点分布图t=0:0.02:10;h=impulse(num,den,t);figure(2);plot(t,h)%绘制冲激响应title('ImpulseRespone')[H,w]=freqs(num,den);figure(3);plot(w,abs(H))%绘制幅频图运行结果为：poles=-0.4302-0.7849+1.3071i-0.7849-1.3071i6.3连续系统的复频域分析法第六章拉普拉斯变换与复频域分析

-0.8-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10-1.5-1-0.500.511.5Pole-ZeroMapRealAxisImaginaryAxis(a)零极点分布图(b)单位冲激响应(c)频率响应第六章拉普拉斯变换与复频域分析6.1拉普拉斯变换基本理论Z6.1双边拉普拉斯变换的定义Z6.2收敛域Z6.3单边拉氏变换的定义Z6.4单边拉氏变换与傅里叶变换的关系Z6.5常见信号的拉普拉斯变换Z6.6拉普拉斯变换的性质-线性、尺度变换Z6.7拉普拉斯变换的性质-时移、复频移特性Z6.8拉普拉斯变换的性质-时域和复频域的微积分特性Z6.9拉普拉斯变换的性质-卷积定理Z6.10拉普拉斯变换的性质-初值、终值定理Z6.11拉普拉斯反变换Z6.12拉普拉斯变换的计算机仿真求解6.2拉普拉斯变换应用于电路分析Z6.13电路元件和定理的s域模型Z6.14电路系统的s域分析方法6.3连续系统的复频域分析法Z6.15微分方程的变换解Z6.16连续系统函数H(s)的定义和求解Z6.17连续系统函数的零极点分布与时域特性Z6.18连续系统稳定性判据Z6.19计算机仿真绘制零极点图和判稳Z6.20系统函数与系统的频率特性Z6.21计算机仿真求频响和判稳6.5零极点配置在模拟滤波器的应用分析*Z6.28零极点配置的作用Z6.29低通、带通和带阻滤波器中零极点的配置Z6.30应用案例：一阶RC电路实现低通滤波器6.6控制系统分析和应用*Z6.31自动位置闭环反馈控制系统的特性Z6.32根轨迹的仿真绘制Z6.33

奈奎斯特曲线的仿真绘制Z6.34应用案例：音响反馈系统的模型Z6.35应用案例：反馈降低闭环噪声信号的扰动6.4连续系统的信号流图与系统模拟Z6.22连续系统的s域框图Z6.23连续系统的信号流图Z6.24梅森公式Z6.25连续系统的模拟：直接形式Z6.26连续系统的模拟：级联形式Z6.27连续系统的模拟：并联形式第六章拉普拉斯变换与复频域分析知识点Z6.22连续系统的s域框图

6.4连续系统的信号流图与系统模拟第六章拉普拉斯变换与复频域分析主要内容：1.连续系统的s域框图2.s域框图基本单元

基本要求：1.掌握连续系统的s域框图2.熟练根据框图列出系统的微分方程6.4连续系统的信号流图与系统模拟第六章拉普拉斯变换与复频域分析Z6.22连续系统的s域框图时域框图基本单元∫f(t)af(t)y(t)=a

f

(t)s域框图基本单元s–1F(s)Y(s)=s–1F(s)aF(s)Y(s)=aF(s)∑f1(t)f2(t)y(t)=f1(t)+f2(t)++∑F1(s)Y(s)=F1(s)+F2(s)F2(s)++6.4连续系统的信号流图与系统模拟第六章拉普拉斯变换与复频域分析

X(s)s-1X(s)s-2X(s)例

列出微分方程。解：画出s域框图,s-1s-1F(s)Y(s)设左边加法器输出为X(s)，如图X(s)=F(s)–3s-1X(s)–2s-2X(s)s域的代数方程Y(s)=X(s)+4s-2X(s)微分方程为y″(t)+3y′(t)+2y(t)=f″(t)+4f(t)知识点Z6.23连续系统的信号流图

6.4连续系统的信号流图与系统模拟第六章拉普拉斯变换与复频域分析主要内容：1.信号流图的定义及常用术语2.框图和流图基本要求：1.掌握连续系统的信号流图2.熟练画出系统的信号流图6.4连续系统的信号流图与系统模拟第六章拉普拉斯变换与复频域分析

Z6.23连续系统的信号流图用方框图描述系统的功能比较直观。信号流图是用有向的线图描述方程变量之间因果关系的一种图，用它描述系统比方框图更加简便。信号流图首先由Mason于1953年提出的，应用非常广泛。信号流图就是用一些点和有向线段来描述系统，与框图本质是一样的，但简便多了。1.定义：信号流图是由结点和有向线段组成的几何图形。它可以简化系统的表示，并便于计算系统函数。

2.信号流图中常用术语6.4连续系统的信号流图与系统模拟第六章拉普拉斯变换与复频域分析

(1)结点：信号流图中的每个结点表示一个变量或信号。(2)支路和支路增益：连接两个结点之间的有向线段称为支路。每条支路上的权值（支路增益）就是该两结点间的系统函数（转移函数）。F(s)H(s)Y(s)即用一条有向线段表示一个子系统。

(3)源点与汇点，混合结点：

仅有出支路的结点称为源点（或输入结点）。

仅有入支路的结点称为汇点（或输出结点）。

有入有出的结点为混合结点。6.4连续系统的信号流图与系统模拟第六章拉普拉斯变换与复频域分析

.沿箭头指向从一个结点到其他结点的路径称为通路。.如果通路与任一结点相遇不多于一次，则称为开通路。.若通路的终点就是通路的起点（与其余结点相遇不多于一次），则称为闭通路。.相互没有公共结点的回路，称为不接触回路。.只有一个结点和一条支路的回路称为自回路。(5)前向通路：从源点到汇点的开通路称为前向通路。

(6)前向通路增益，回路增益：.前向通路中各支路增益的乘积称为前向通路增益。.回路中各支路增益的乘积称为回路增益。(4)通路、开通路、闭通路、不接触回路、自回路：6.4连续系统的信号流图与系统模拟第六章拉普拉斯变换与复频域分析

3.信号流图的基本性质（1）信号只能沿支路箭头方向传输。支路的输出=该支路的输入与支路增益的乘积。（2）当结点有多个输入时，该结点将所有输入支路的信号相加，并将和信号传输给所有与该结点相连的输出支路。x4=ax1+bx2+dx5

x3=cx4x6=ex46.4连续系统的信号流图与系统模拟第六章拉普拉斯变换与复频域分析

4.方框图

流图注意：加法器前引入增益为1的支路5.流图的基本规则（1）支路串联：支路增益相乘。X2=H2X3=H2H1X1（2）支路并联：支路增益相加。X2=H1X1+H2X1=(H1+H2)X16.4连续系统的信号流图与系统模拟第六章拉普拉斯变换与复频域分析

（3）混联：X4=H3X3=H3(H1X1+H2X2)=H1H3X1+H2H3X2知识点Z6.24梅森公式

6.4连续系统的信号流图与系统模拟第六章拉普拉斯变换与复频域分析

主要内容：1.梅森公式及其各符号含义2.梅森公式求解系统函数步骤基本要求：1.掌握梅森公式的含义2.熟练掌握由梅森公式求系统函数6.4连续系统的信号流图与系统模拟第六章拉普拉斯变换与复频域分析

Z6.24梅森公式系统函数H(s)记为H。梅森公式为：流图的特征行列式为所有不同回路的增益之和；

为所有两两不接触回路的增益乘积之和；

为所有三三不接触回路的增益乘积之和；…i

表示由源点到汇点的第i条前向通路的标号；Pi

是由源点到汇点的第i条前向通路增益；△i

为第i条前向通路特征行列式的余因子。消去接触回路6.4连续系统的信号流图与系统模拟第六章拉普拉斯变换与复频域分析

例

求下列信号流图的系统函数。解：

(1)首先找出所有回路：L1=H3G

L2=2H1H2H3H5

L3=H1H4H5

(2)求特征行列式△=1-(H3G+2H1H2H3H5+H1H4H5)+H3G

H1H4H5△2=1-GH3

(3)然后找出所有前向通路及余因子：

p1=2H1H2H3△1=1p2=H1H4

知识点Z6.25连续系统的模拟：直接形式

6.4连续系统的信号流图与系统模拟第六章拉普拉斯变换与复频域分析

主要内容：梅森公式直接模拟系统基本要求：掌握梅森公式实现直接形式1的系统模拟6.4连续系统的信号流图与系统模拟第六章拉普拉斯变换与复频域分析

Z6.25连续系统的模拟：直接形式利用Mason公式来实现例1分子中每项看成是一条前向通路。分母中，除1之外，其余每项看成一个回路。画流图时，所有前向通路与全部回路相接触；所有回路均相接触。画出系统的信号流图。解：6.4连续系统的信号流图与系统模拟第六章拉普拉斯变换与复频域分析

由梅森公式：流图包含两条开路，一个环。（形式1）（形式2）6.4连续系统的信号流图与系统模拟第六章拉普拉斯变换与复频域分析

例2画出系统信号流图。解：由梅森公式：流图包含3条开路和两个相接触环。6.4连续系统的信号流图与系统模拟第六章拉普拉斯变换与复频域分析

（形式1）（形式2）知识点Z6.26连续系统的模拟：级联形式

6.4连续系统的信号流图与系统模拟第六章拉普拉斯变换与复频域分析

主要内容：级联形式的系统模拟基本要求：掌握级联形式的系统函数6.4连续系统的信号流图与系统模拟第六章拉普拉斯变换与复频域分析

例Z6.26连续系统的模拟：级联形式6.4连续系统的信号流图与系统模拟第六章拉普拉斯变换与复频域分析

知识点Z6.27连续系统的模拟：并联形式

6.4连续系统的信号流图与系统模拟第六章拉普拉斯变换与复频域分析

主要内容：连续系统的并联模拟方法基本要求：掌握并联形式的系统函数6.4连续系统的信号流图与系统模拟第六章拉普拉斯变换与复频域分析

例Z6.27连续系统的模拟：并联形式6.4连续系统的信号流图与系统模拟第六章拉普拉斯变换与复频域分析

知识点Z6.28零极点配置的作用

主要内容：1.极点增强效益2.零点抑制效益基本要求：掌握零极点配置的作用6.5零极点配置在模拟滤波器的应用分析第六章拉普拉斯变换与复频域分析

6.5零极点配置在模拟滤波器的应用分析第六章拉普拉斯变换与复频域分析

Z6.28零极点配置的作用1.极点增强效益假定系统函数只有一个极点，，如图(a)所示。值求其幅度

，

将该极点连到虚轴上的点，假定该线段的长度是

，那么为了对某正比于：应画出其幅频和相频图如图(b)(c)所示。6.5零极点配置在模拟滤波器的应用分析第六章拉普拉斯变换与复频域分析

(a)(b)(c)6.5零极点配置在模拟滤波器的应用分析第六章拉普拉斯变换与复频域分析

2.零点抑制效益图(e)显示零点对幅频特性的抑制效果。适当配置零极点对，可互相抵消在频率响应上的影响。利用这些不同的频率选择特性，来设计低通、高通、带通和带阻（陷波）滤波器。(d)(e)(f)假定零点知识点Z6.29低通、

带通和带阻滤波器中零极点的配置

主要内容：多种滤波器中零极点的配置基本要求：掌握零极点配置的原理6.5零极点配置在模拟滤波器的应用分析第六章拉普拉斯变换与复频域分析

6.5零极点配置在模拟滤波器的应用分析第六章拉普拉斯变换与复频域分析

Z6.29低通、带通和带阻滤波器中零极点的配置1.低通滤波器显然一个典型的低通滤波器在个极点在它的邻近频率上能使增益增强，所以需要在左半实轴上配置一个（或多个）极点，如图(a)所示。该系统的系统函数是：处有最大增益。由于一是极点到虚轴上点的距离，且有。(a)单极点6.5零极点配置在模拟滤波器的应用分析第六章拉普拉斯变换与复频域分析

当增加，也增大，单调减少，如图(c)中的的曲线所示，其在附近增益被增强。

(c)幅度响应

(b)极点墙可以证明，为了实现在频带0~ɷc上所有频率都要增强增益，就需要在左半平面配置无穷多个极点，这些极点位于图(b)所示的半圆形墙上，也称极点墙。对于不同极点个数N的幅度响应如图(c)所示，随着极点个数，滤波器接近于理想的。这一类理想滤波器即为巴特沃茨(Butterworth)滤波器

。6.5零极点配置在模拟滤波器的应用分析第六章拉普拉斯变换与复频域分析

(c)幅度响应6.5零极点配置在模拟滤波器的应用分析第六章拉普拉斯变换与复频域分析

2.带通滤波器图(b)阴影表示理想带通滤波器的增益，在通带内被增强。实现方法为：如图(a)在左半平面内面对虚轴，以jɷ0和-jɷ0分别为中心配置一堵极点墙，极点墙上所有极点均为共轭极点。(a)极点组成(b)幅度响应6.5零极点配置在模拟滤波器的应用分析第六章拉普拉斯变换与复频域分析

3.带阻滤波器一种带阻滤波器的极点组成和幅度响应(a)零极点组成(b)幅度响应

一个理想陷波滤波器的幅度响应(图(b)的阴影部分)，与理想带通滤波器的幅度响应刚好相反。以一个二阶陷波滤波器为例，（1）要求在处得到零增益，为此，必须在

处有零点。（2）要求在增益为1，就需要极点个数等于零点个数，这就保证了对于

，极点到

的距离乘积一定等于零点到

的距离乘积。6.5零极点配置在模拟滤波器的应用分析第六章拉普拉斯变换与复频域分析

（3）要求ω=0的增益为1，就需要配置与原点等距离的零点和相应极点，如果采用一对共轭零点，就必须有两个相应极点，并且极点、零点到原点的距离是相同的。此时，只要将两个共轭极点配置在以ω0为半径的半圆上就能满足这个要求，如图(a)所示。极点可以位于这个半圆上的任意位置处，均能满足等距离的条件，假定与负实轴成。（4）由于邻近的极点和零点有相互抵消影响的倾向，故将极点尽可能放置在靠近零点处（θ接近π/2），这样保证当频率从

ω

=ω0向两边稍有变化时，增益能从0到1有一个急剧的恢复，图