平面任意力系的平衡条件和平衡方程

理论力学3-2平面任意力系平衡条件和平衡方程平面任意力系平衡条件和平衡方程5/11/20261第1页理论力学3-2平面任意力系平衡条件和平衡方程一、平面任意力系平衡必要和充分条件

二、关于平面任意力系例题

三、平面任意力系平衡方程其它形式

四、平面平行力系

5/11/20262第2页理论力学3-2平面任意力系平衡条件和平衡方程一、平面任意力系平衡必要和充分条件5/11/20263第3页理论力学3-2平面任意力系平衡条件和平衡方程1．平面任意力系充分条件现在讨论静力学中最主要情形，即平面任意力系主矢和主矩都等于零情形

（3-6）5/11/20264第4页理论力学3-2平面任意力系平衡条件和平衡方程显然，主矢等于零，表明作用于简化中心O汇交力系为平衡力系；主矩等于零，表明附加力偶系也是平衡力系，所以原力系必为平衡力系。所以，式（3-6）为平面任意力系充分条件。5/11/20265第5页理论力学3-2平面任意力系平衡条件和平衡方程2．平面任意力系平衡必要条件由上一节分析结果可见：若主矢和主矩有一个不等于零，则力系应简化为协力或合力偶；若主矢与主矩都不等于零时，可进一步简化为一个协力。上述情况下力系都不能平衡，只有当主矢和主矩都等于零时，力系才能平衡，所以，式（3-6）又是平面任意力系平衡必要条件。5/11/20266第6页理论力学3-2平面任意力系平衡条件和平衡方程3．平面任意力系平衡必要和充分条件于是，平面任意力系平衡必要和充分条件是：力系主矢和对于任一点主矩都等于零。这些平衡条件可用解析式表示。5/11/20267第7页理论力学3-2平面任意力系平衡条件和平衡方程将式（3-2）和（3-3）代入式（3-6），可得（3-7）

5/11/20268第8页理论力学3-2平面任意力系平衡条件和平衡方程

结论:平面任意力系平衡解析条件是：全部各力在两个任选坐标轴上投影代数和分别等于零，以及各力对于任意一点矩代数和也等于零。式（3-7）称为平面任意力系平衡方程

（为便于书写，下标i

可略去）。5/11/20269第9页理论力学3-2平面任意力系平衡条件和平衡方程二、关于平面任意力系例题5/11/202610第10页理论力学3-2平面任意力系平衡条件和平衡方程例3-2

起重机P1=10kN，可绕铅直轴AB转动；起重机挂钩上挂一重为P2=40kN重物，如图3-6所表示。起重机重心C到转动轴距离为1.5m，其它尺寸如图所表示。求在止推轴承A和轴承B处约束力。5/11/202611第11页理论力学3-2平面任意力系平衡条件和平衡方程图3-65/11/202612第12页理论力学3-2平面任意力系平衡条件和平衡方程解：（1）以起重机为研究对象以起重机为研究对象，它所受主动力有P1和P2。因为对称性，约束力和主动力都位于同一平面内。止推轴承A处有两个约束力FAx

，FAy

，轴承B处只有一个与转动轴垂直约束力FB

，约束力方向如图3-6所表示。5/11/202613第13页理论力学3-2平面任意力系平衡条件和平衡方程（2）列平衡方程取坐标系如图3-6所表示，列平面任意力系平衡方程，即5/11/202614第14页理论力学3-2平面任意力系平衡条件和平衡方程（3）求解方程求解以上方程，得

FB为负值，说明它方向与假设方向相反，即应指向左。5/11/202615第15页理论力学3-2平面任意力系平衡条件和平衡方程例3-3

图3-7所表示水平梁AB，A端为固定铰链支座，B端为一滚动支座。梁长为4a，梁重P，作用在梁中点C。在梁AC段上受均布载荷q作用，在梁BC段上受力偶作用，力偶矩M=Pa。试求A和B处支座约束力。5/11/202616第16页理论力学3-2平面任意力系平衡条件和平衡方程图3-75/11/202617第17页理论力学3-2平面任意力系平衡条件和平衡方程解：（1）选梁AB为研究对象梁AB所受主动力有：均布载荷q，重力P和矩为M力偶。梁AB所受约束力有：铰链A两个分力Fax和FAy

，滚动支座B处铅直向上约束力FB。5/11/202618第18页理论力学3-2平面任意力系平衡条件和平衡方程（2）列平衡方程取坐标系如图3-7所表示，列出平衡方程：5/11/202619第19页理论力学3-2平面任意力系平衡条件和平衡方程（3）解方程解上述方程，得5/11/202620第20页理论力学3-2平面任意力系平衡条件和平衡方程例3-4

自重为P=100kN

T字型刚架ABD，置于铅垂面内，载荷如图3-8a所表示。其中

M=20kN·m，F=400kN，q=20kN/m，

l=1m。试求固定端A约束力。5/11/202621第21页理论力学3-2平面任意力系平衡条件和平衡方程图3-8a5/11/202622第22页理论力学3-2平面任意力系平衡条件和平衡方程解：（1）取T字形钢架ABD

为研究对象钢架ABD上除主动力外，还受有固定端

A处约束力FAx

，Fay和约束力偶MA

。线性分布载荷可视为一组平行力系，将其简化为一个集中力F1

，其大小为

5/11/202623第23页理论力学3-2平面任意力系平衡条件和平衡方程

其作用线可利用协力矩定理确定：5/11/202624第24页理论力学3-2平面任意力系平衡条件和平衡方程式中，h是点A到集中力F1距离，由上式求得h=l，即集中力作用于三角形分布载荷几何中心。刚架受力图如图3-8b所表示。5/11/202625第25页理论力学3-2平面任意力系平衡条件和平衡方程图3-8b5/11/202626第26页理论力学3-2平面任意力系平衡条件和平衡方程（2）按图示坐标列平衡方程5/11/202627第27页理论力学3-2平面任意力系平衡条件和平衡方程（3）解方程解方程，求得负号说明图中所设方向与实际情况相反，即

MA为顺时针转向。5/11/202628第28页理论力学3-2平面任意力系平衡条件和平衡方程解题技巧：

（1）从上述例题可见，选取适当坐标轴和力矩中心，能够降低每个平衡方程中未知数数目。

（2）在平面任意力系情形下，矩心应取在多个未知力交点上，而坐标轴应该与尽可能多未知力相垂直。5/11/202629第29页理论力学3-2平面任意力系平衡条件和平衡方程三、平面任意力系平衡方程其它形式5/11/202630第30页理论力学3-2平面任意力系平衡条件和平衡方程在例3-3中，若以方程取代方程能够不解联立方程直接求得Fay值。所以在计算一些问题时，采取力矩方程往往比投影方程简便。下面介绍平面任意力系平衡方程其它两种形式。5/11/202631第31页理论力学3-2平面任意力系平衡条件和平衡方程1．二矩式平衡方程

（1）三个平衡方程中有两个力矩方程和一个投影方程，即（3-8）5/11/202632第32页理论力学3-2平面任意力系平衡条件和平衡方程其中x轴不垂直于A，B两点连线。

（2）为何上述形式平衡方程也能满足力系平衡必要和充分条件呢？

a．这是因为，假如力系对点A主矩等于零，则这个力系不可能简化为一个力偶；但可能有两种情形：这个力系或者是简化为经过点A一个力，或者平衡。5/11/202633第33页理论力学3-2平面任意力系平衡条件和平衡方程

b．假如力系对另一点B主矩也同时为零，则这个力系或一协力沿A，B两点连线，或者平衡（图3-9）。

c．假如再加上，那么力系如有协力，则此协力必与x轴垂直。5/11/202634第34页理论力学3-2平面任意力系平衡条件和平衡方程图3-95/11/202635第35页理论力学3-2平面任意力系平衡条件和平衡方程式（3-8）附加条件（x轴不得垂直于连线AB）完全排除了力系简化为一个合力可能性，故所研究力系必为平衡力系。5/11/202636第36页理论力学3-2平面任意力系平衡条件和平衡方程2．三矩式平衡方程

（1）同理，也可写出三个力矩式平衡方程，即，，

（3-9）其中A，B，C三点不得共线。5/11/202637第37页理论力学3-2平面任意力系平衡条件和平衡方程

（2）为何必须有

“A，B，C三点不得共线”这个附加条件？同学们可自行证实。5/11/202638第38页理论力学3-2平面任意力系平衡条件和平衡方程3．依据详细条件选择三组平衡方程

（1）上述三组方程（3-7）、（3-8）、（3-9），终究选取哪一组方程，须依据详细条件确定。

（2）对于受平面任意力系作用单个刚体平衡问题，只能够写出三个独立平衡方程，求解三个未知量。5/11/202639第39页理论力学3-2平面任意力系平衡条件和平衡方程

（3）任何第四个方程只是前三个方程线性组合，因而不是独立。我们能够