新乡学院材料力学课件第11章 能量法

材料力学第11章能量法§11-1概述§11-2杆件变形能的计算§11-3

莫尔定理§11-4图形互乘法§11-5

卡氏定理§11-6

功的互等定理和位移互等定理本章主要内容工程实例工程实例工程实例工程实例工程实例§11-1概述.上册总结：二.本节课所要学习的主要内容及中心内容：1.能量法的概念2.杆件变形能的计算3.莫尔定理——一种具体的能量方法（本节课的中心内容）能量

变形

1.功能原理——W=U物理意义：弹性体在变形的过程中，外力所做的功全部转化为储存于弹性体内部的变形能。

2.能量法——从能量的角度出发，利用功能原理来求解弹性体变形的方法，即：三.基本概念：目录(2)

在阐述功能原理的过程中，必须强调：在功能的转化过程中，还会有动能的损失，还会产生热能等其它形式的能量，但由于这些能量同变形能相比，是很小的，故在一般情况下可以忽略不计，而近似地认为W全部地转化成了U。

(3)在分析了功能原理和能量法的概念之后，应该指出能

量法的实质，并合乎情理的引出下节内容。

(1)

由于本课位于第二册之首，因此在学习之前对上册进行简单总结，同时，在总结过程中可自然地引出该章内容。§11-2杆件变形能的计算.轴向拉压变形能的计算：N=常量（图一）——复习内容轴向拉压变形方法：微元法：微量

相对于

的影响。而言很小，忽略微段

近似的被看成N=常量的等直杆，从而可用公式

——计算微段内的变形能微元法图二2．

（图二）令微段内的变形能为du，则：

——重点学习内容

二.扭转变形能的计算：1．

（图三）

——复习内容2．

（变量）（图四）

方法：微元法。——学习内容

图三扭转变形图四三．弯曲变形能的计算：

2．

（图六）

方法：微元法——学习内容〈注：其中

的角标可略〉

1.

（图五）

——复习内容图六图五受力作用3.在讨论变形能的计算问题之前，应首先强调：杆件的变

形能

可以分为两种情况：

内力=常量

内力=变量

对于内力=常量的情况在第2，3，7三章已经分别研究过。在本节课上只做简单复习，而着重的讨论内力=变量的情况。4.由于

变形能的计算方法都是一样的，故在此只需对

三种情况下的情况做细致的讨论。目录§11-3莫尔定理——计算线弹性结构变形的一种非常有效的工具——计算挠度的莫尔定理一．定理：f——线位移——在原始载荷P1、P2、P3作用下，X截面弯矩。——在预加单位载荷P0=1作用下，X截面的弯矩。其中：图七图八

在研究莫尔定理之前，首先应明确：在这一章中，我们将学习两种能量方法：1，莫尔定理。2，卡氏定理。其中莫尔定理是今天这节课的内容。并且，在变形能概念的基础上来研究莫尔定理。

对于图六的情况：由于该梁是一横力弯曲梁，即在横截面上不仅有弯矩，而且还有剪力，因此在梁的变形中，弯矩不仅要产生影响，剪力也要产生影响，但当

变形都是由于

于弯矩的影响来说是很小的，的影响而产生的。

时，剪力的影响相对故可略而不计，而近似地认为梁的二.定理证明：1．在原始载荷P1、P2、P3……单独作用下，梁内变形能U

——<a>

2．在P0=1单独作用下，梁内变形能U0

——<b>

图七图八

3.采用先加P0

=1，然后再加P1、P2、P3…..的加载方式时，梁内的变形能P0作用下：

——<b>

P1、P2、P3……作用下：

——<c>图七图七图八图九在产生f变形过程中，P0做功：

——转变成变形能储存于弹性体中，从而可求出梁内最终所储存的总变形能

——<d>

4.

采用将P0、（P1、P2、P3……）同时作用于梁上的加载方式时X截面弯矩:——根据叠加原理在求U之前，应将图六和图七进行比较，即可发现图七实质上是图六的计算简图，因此，此时梁内的变形能仍应为：

在进行第二步计算之前应明确：弹性体内所储存的变形能只与外力和位移的最终数值有关，而与加载方式无关；基于这个道理，在此分别研究梁在不同的加载方式作用情况下，变形能的情况。此时应强调P1、P2、P3…对梁的作用效果并不因预先在C点作用了单位载荷而有所改变，因此得出：由于P1、P2、P3…的作用，C点产生的位移况下梁内的变形能。即<c>式。应等于f；产生的变形能也应等于图七情4.根据变形能与加载方式无关的道理得：——计算挠度的莫尔定理

5.推论：同样的道理，如果我们要求截面的转角，也只需在C截面上施加一个单位力偶，用上述同样的方法可求出：——计算转角的莫尔定理三.总结：1.莫尔定理——单位力法2.适用范围——线弹性结构四.应用举例：例1：如图所示：简支梁AB，跨长为L，抗弯刚度为。其上受均布载荷作用，载荷集度为q，试求出梁跨中点C的挠度及端面B的转角

图九解：〈一〉求支反力RA，RB由对称性：

〈二〉求

及

在材料力学中，由于每一个具体的问题都要涉及到一定结构的具体图形，因此，在接到问题，了解了已知条件和要求解的问题之后，紧接着应该来分析图形的结构性质。很显然，图十为一对称结构。对于对称结构，在求其某一具体物理量的数值时，只需取其一个对称部分来进行计算，其结果再乘以对称部分的个数即可。如图十，可沿梁中截面将梁分为两个对称部分，因此

及

可写成左边的形式。§11-4图形互乘法在应用莫尔定理求位移时，需计算下列形式的积分：

对于等直杆，EI=const，可以提到积分号外，故只需计算积分。

直杆的M0(x)图必定是直线或折线。顶点顶点二次抛物线例2：试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。解：例3：试用图乘法求所示简支梁的最大挠度和最大转角。解：例4：试用图乘法求所示简支梁C截面的挠度和A、B截面的转角。解：

例5：试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。解：§11-5

卡氏定理式中：

U

——弹性体内的变形能（在P2…作用下）——作用在弹性体上一组外力P1、P2…中，作用在n点处的外力.

——对应于所发生的n点沿方向的位移。

一．定理：的偏导数，作用点沿位移，即：

方向的对于线弹性结构，变形能对任一外力等于二.定理证明：1.在原始载荷作用下（

P1、P2…作用下）的变形能。令此两种情况下的变形能为

相同。

如图所示：

P1、P2…为作用于弹性体上的一组载荷，在此称为原始载荷。

为我们为了求解问题的需要，地施加于弹性体上的一微小增量，其作用方向及作用位置与而假想2.在原始载荷作用的基础上，在n点沿

方向施加弹性体的变形能，由于处施加了一增量能U也应产生一增量

故此时弹性体内的变形能应

<a>后，，则变形为：卡氏定理增加载荷原始载荷弹性体<b>

由<a>=<b>可得：，而总的变形能应为：

3.先作用

而后作用

P1、P2…。由于

的作用，

弹性体内所产生的变形能为：在的作用过程中，由

不因先前作用了

而有所改变，同时由于在这一过程中始终作用在弹性体上，因此该过程中，弹性体内再次产生的变形能应为：对弹性体的作用效果并P1、P2…P1、P2…略去二阶微量：

，求得：

——卡氏定理横力弯曲梁：变形能：

三.卡氏定理的应用2.平面曲杆（截面高度远小于轴线曲率半径）变形能：

3.桁架：变形能：

§11-6功的互等定理和位移互等定理二.定理证明：1．

和

<c>所示，在线弹性范围之内的情况下，梁内的变形能应为：缓慢地按相同的比例增加地作用在梁上，如图——<1>.定理：——功的互等定理——位移互等定理图a图b图c图d——作用下，1点沿方向的位移

——作用下，2点沿方向的位移

2.按照先作用

后作用证明莫尔定理同样地道理，可得；梁内的变形能应为：的方式施加载荷，根据——<2>——功的互等定理

4.在

时：——位移互等定理

3.由于梁内的变形能与加载方式是无关的，故即：

例6：试求图示梁的变形能，并利用功