2025年全国高中数学联赛（四川预赛）试题(含答案)

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.3O的切线与椭圆Γ交于A、B两点.则△ABF的周长为.合Y中的元素个数为.过B、C分别作抛物线Γ的切线交于点P，求点P的轨迹方程.10.（本题满分20分）设四面体ABCD满足:AD、BD、CD两两垂直，点O、H分别是△ABC的外心和垂心.11.（本题满分20分）给定奇质数p，设数列{fn}满足：2025年全国高中数学联赛（四川预赛）试题1、本试卷满分120，其中填空题64分，解答题56分.2、评阅试卷时，请依据评分标准.填空题只设8分和0分两档次、第10题和第11题均为5分一个档次.请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次.考本评分标准评分.得x2_kx_m=0，x2∴y1+y2=k2+2m，y1y2=m2.┈┈4分∴(x1_1)(x2_1)+(y1_1)(y2_1)=0，.即m2_3m_k2_k+2=0.∴m=k+2或m=_k+1.┈┈8分∴m=k+2.此时直线BC的方程为：y=k(x+1)+2，过定点(_1,2).┈┈12分参考答案及评分标准（第2页，共∵过点B的切线方程为：y_y1=2x1(x_x1)①过点C的切线方程为：y_y2=2x2(x_x1)②结合m=k+2知，点P的轨迹方程为2x+y分别是△ABC的外心和垂心.求证是定值...2.则A,F,H,E四点共圆；B,F,E,C四点共圆.于是，LAHF=LAEF=LB.故|AHR.|cosA|.接下来证明:|OH|2=R2(1_8cosAcosBcosC).熟知：H,O为一对等角共轭点，即LBAO=LCAH，参考答案及评分标准（第3页，共6|BH|222(1_8cosAcosBcosC)┈┈10分2222.因此，HD//OQ，进而HD丄平面ABC.┈┈15分2222222，2222_|OQ|2)2_|OQ|2)22.参考答案及评分标准（第4页，共6页）证法二：由于DA,DB,DC两两垂直，以D为原点，DA,DB,DC分别为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系.则D(0,0,0)，设A(a,0,0)，B(0,b,0)，C(0,0,c).则平面ABC的方程为：.得H点的坐标为：┈┈5分设O点坐标为(x0,y0,z0)，则0c)2，┈┈10分22=a2a6b4+a6c4+2a6b2c24(a2b2)24(a2b2)24a2.(a4b4+2a4b2c2)+a6b4+a6c4+2a6b2c24(a2b2)2参考答案及评分标准（第5页，共6┈┈15分Σa6(b2+c2)2+2Σa4b4c2Σ(a3b2+a3c2_2ab2c2)2=cyccyccyc(a2b2)24(a2b2)24(a2b2)24a6b4+8a6b2c2+4a6c4+8a4b4c24(a2b2)2a6b4+a6c4+4a4b4c2+2a6b2c2_4a4b4c2_4a4b2c44(a2b2)23Σa6b4+3Σa6c4+6Σa6b2c2+12Σa4b4c2.4(ab).4(ab)┈┈20分5证明：先证一个引理.n=a(xn_yn)均为整数，则对任意奇