随机变量的数字特征

第四章随机变量的数字特性数学盼望方差协方差及有关系数矩、协方差矩阵在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果懂得了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特性也就懂得了.p(x)xoxP(x)o然而，在实际问题中，首先概率分布普通是较难拟定的.另首先在某些实际应用中，人们并不需要懂得随机变量的一切概率性质，只要懂得它的某些数字特性就够了.再者，某些数字特性能给让我们对分布有更加直观的认识。

因此，在对随机变量的研究中，拟定某些数字特性是重要的.我们先介绍随机变量的数学盼望.在这些数字特性中，最惯用的是盼望和方差§1数学盼望设某班40名学生的概率统计成绩及得分人数以下表所示：分数4060708090100人数1691572一、数学盼望的定义EX则学生的平均成绩是总分÷总人数(分)。即定义1若X~P{X=xk}=pk,k=1,2,…,且，则称

为随机变量X的数学盼望。数学盼望——描述随机变量取值的平均特性练习掷一颗均匀的骰子，以X表达掷得的点数，求X的数学盼望。定义2

若X~f(x),-<x<,

为X的数学盼望。则称例1

若随机变量X服从拉普拉斯分布，其密度函数为试求E(X)。解：1、0-1分布B(1,p)EX=1×p+0×(1-p)=p；2、二项分布B(n,p)二、几个重要的随机变量的数学盼望3、泊松分布π(λ)4、均匀分布U(a,b)5、指数分布e(

)6、正态分布N(

,

2)#

设随机变量是概率分布。因此，该随机变量的数学盼望不存在。?设随机变量X的分布律为解:Y的分布律为求随机变量Y=X2的数学盼望。XPk-101YPk10三、随机变量函数的盼望EX定理1若X~P{X=xk}=pk,k=1,2,…,则Y=g(X)的盼望若X~f(x),-<x<,则Y=g(X)的盼望注解：在上述定理中，我们普通规定右端的求和与积分是绝对收敛的。否则称对应的Y的数学盼望不存在。定理2若(X,Y)~P{X=xi,Y=yj,}=pij,i,j=1,2,…,则Z=g(X，Y)的盼望若(X,Y)~f(x,y),-<x<,-<y<,则Z=g(X,Y)的盼望例4

设随机变量(X,Y)的概率密度求数学盼望。例3设随机变量(X,Y)的分布律以下，求E(XY)。1、E(C)=C,C为常数;四、数学盼望的性质2、E(cX)=cE(X),c为常数；3、E(X+Y)=E(X)+E(Y)；4、若X与Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y).（证明见黑板）例6

设随机变量均服从求随机变量的数学盼望解:分布，例5

若X~B(n,p),求E(X)解:设则因此押宝一种赌博形式，规则以下：由庄家摸出一只棋子放在密封的盒中，这只棋子能够是红或黑的将、士、象、车、马、炮之一。赌客把钱押在赌台上的这12个字上。押定开盒，凡押中者(字和颜色都对)。以一比十的得到奖金。不中者押金归庄家。看看你得钱的分布列：因此其数学盼望为11/12。支出（1元）和盼望收入（11/12）明显“吃亏”。五、数学盼望的应用举例设某种疾病的发病率为p，在N个人中普查这种疾病,为此要化验每个人的血。办法是，每k个人一组，把从k个人抽来的血混在一起化验，如果混合血样呈阴性，则通过，如果混合血样呈阳性，则再分别化验该组每个人的血样。假设每个人的化验反映互相独立。(1)试阐明：当p较小时，相比一种个地验血，选用适宜的k能够减少化验次数；(2)求k的最佳值。EX2、在医疗化验方面某公司计划开发一种新产品市场，并试图拟定该产品的产量。他们预计出售一件产品可获利m元，而积压一件产品造成元n的损失。再者,他们预测销售量Y（件）服从参数为θ>0的指数分布，其概率密度为：问若要获得利润的数学盼望最大，应生产多少件产品（m,n,θ均已知）？EX3、市场方略方面§2方差我们已经介绍了随机变量的数学盼望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一种重要的数字特性.但是在某些场合，仅仅懂得平均值是不够的.击中环数8910概率0.10.80.1击中环数8910概率0.40.20.4丙射手丁射手考察下面两位射手的射击技术例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量成果X用坐标上的点表达如图：若让你就上述成果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好某些呢？

甲仪器测量结果乙仪器测量结果较好测量成果的均值都是a由于乙仪器的测量成果集中在均值附近又如,甲、乙两门炮同时向一目的射击10发炮弹，其落点距目的的位置如图：5你认为哪门炮射击效果好某些呢?甲炮射击成果乙炮射击成果乙炮由于乙炮的弹着点较集中在中心附近.

中心中心方差是衡量随机变量取值波动程度的一种数字特性。？如何定义？一、方差的定义定义

若E(X),E(X2)存在，则称E[X-E(X)]2,

为随机变量X的方差，记为D(X),或Var(X)。称 为随机变量X的原则差。可见推论

D(X)=E(X2)-[E(X)]2证明:D(X)=E[X-E(X)]2例1设随机变量X的概率密为(1)求D(X),(2)求D(X2)。解：1、D(C)=0；2、D(aX)=a2D(X),a为常数；证明:二、方差的性质3、特别地，若X，Y独立，则D(X+Y)=D(X)+D(Y);4、D(X)=0的充要条件是X以概率1的取常数C，即P{X=C}=1。三、几个重要的随机变量的方差1、0—1分布2、二项分布B(n,p)设则且3、泊松分布π(

)而两边对

求导得4、均匀分布U(a,b)5、指数分布e(

)▲6、正态分布N(

,

2)例3设活塞的直径X~N(22.40,0.032),气缸直径Y~N(22.50,0.042),X与Y互相独立。任取一只活塞和一只气缸，求活塞能装入气缸的概率。例2已知随机变量X1,X2,…,Xn互相独立，且每个Xi的盼望都是0，方差都是1，令Y=X1+X2+…+Xn，求E(Y2)。四、切比雪夫不等式定理若随机变量X的盼望和方差存在，则对任意0，有这就是出名的切比雪夫(Chebyshev)不等式。它有等价形式由车比晓夫不等式可以看出，若越小，则事件{|X-E(X)|<}的概率越大，即随机变量X集中在期望附近的可能性越大.已知某种股票每股价格X的平均值为1元，原则差为0.1元，求a,使股价超出1+a元或低于1-a元的概率不大于10%。注解：切比雪夫(Chebyshev)不等式给出了，在随机变量分布未知，但盼望和方差已知的条件下事件概率的下限的预计，例如：其中，为X的盼望，为它的方差。§3协方差及有关系数前面我们介绍了随机变量的数学盼望和方差，对于多维随机变量，反映分量之间关系的数字特性中，最重要的，就是现在要讨论的协方差和有关系数在讨论这个问题之前，我们先看一种例子。在研究儿女与父母的相象程度时，有一项是有关父亲的身高和其成年儿子身高的关系.这里有两个变量，一种是父亲的身高，一种是成年儿子身高.为了研究两者关系.英国统计学家皮尔逊收集了1078个父亲及其成年儿子身高的数据,画出了一张散点图.那么要问：父亲及其成年儿子身高是一种什么关系呢？类似的问题有：吸烟和患肺癌有什么关系？受教育程度和失业有什么关系？一、协方差定义若随机变量X的盼望E(X)和Y的盼望E(Y)存在,则称Cov(X,Y)=E{[XE(X)][YE(Y)]}为X与Y的协方差。特别地，当Cov(X,Y)=0时，称X与Y不有关。？“X与Y独立”和“X与Y不有关”有何关系？易见

Cov(X,Y)=E(XY)

E(X)E(Y)。设(X,Y)在D={(X,Y)：x2+y21}上服从均匀分布，求证：X与Y不有关，但不是互相独立的。(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(2)Cov(X,X)=D(X);Cov(X,c)=0(3)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),其中a,b为常数；(4)Cov(X+Y，Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z);(5)D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y).EX协方差的性质设随机变量XB(12,0.5),YN(0,1),Cov(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1与W=-2X+4Y的方差与协方差。EX解：由XB(12,0.5),YN(0,1)知D(X)=np(1-p)=12×0.5×(1-0.5)=3,

D(Y)=1

因此

D(V)=D(4X+3Y+1)=D(4X+3Y)=D(4X)+D(3Y)+2Cov(4X,3Y)=16D(X)+9D(Y)+24Cov(X,Y)=33D(W)=D(-2X+4Y)=4D(X)+16D(Y)-12Cov(X,Y)=40Cov(V,W)=Cov(4X+3Y,-2X+4Y)=Cov(4X,-2X)+Cov(4X,4Y)+Cov(3Y,-2X)+Cov(3Y,4Y)=-8Cov(X,X)+10Cov(X,Y)+12Cov(Y,Y)=-22定义若随机变量X,Y的方差和协方差均存在,且DX>0,DY>0,则称注：称为X的原则化。易知EX*=0，DX*=1。且二、有关系数为X与Y的有关系数。有关系数的性质(1)|XY|1；(2)|XY|=1存在常数a,b使P{Y=aX+b}=1；(3)X与Y不有关XY=0。设(X,Y)服从区域D:0<x<1,0<y<x上的均匀分布,求X与Y的有关系数。EX1D1x=y解:(1,1)0xy因此以上成果阐明了什么？EX2解:(1)由题意，计算可得(2)？可见，若（X，Y）服从二维正态分布，则X与Y独立的充足必要条件是X与Y不有关。EX3但由前可知，对普通的二维随机变量(X,Y)，如果X与Y独立,则X与Y一定不有关；如果X与Y不有关,则X与Y不一定独立。若(X,Y)含有二维正态。是Y与X的有关系数.下列画出取几个不同值时(X,Y)的密度函数图.有关系数度量的是两变量间的互有关系（“线性有关”的程度）.但互有关系并不等于因果关系.4、k+l阶混合中心矩

E{[X

E(X)]k[Y

E(Y)]l},k,l=0,1,2,…。§4矩、协方差矩阵可见，数学盼望E(X)即为X的1阶原点矩；方差D(X)=E(X-E(X))2即为X的2阶中心矩；协方差Cov(X,Y)=E(X-E(X))(Y-E(Y))即为