1.1 幂的乘除 教学课件 2025-2026学年数学北师大版七年级下册

1幂的乘除第一章整式的乘除1幂的乘除第一章整式的乘除第1课时同底数幂的乘法目录页讲授新课当堂练习课堂小结新课导入新课导入教学目标教学重点1.理解并掌握同底数幂的乘法法则.（重点）2.能够运用同底数幂的乘法法则进行相关计算.（难点）学习目标问题引入

光在真空中的速度大约是3×108m/s.太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它发出的光到达地球大约需要4.22年.一年以3×107s计算，比邻星与地球的距离约为多少？新课导入3×108×3×107×4.22=37.98×(108×107).108×107等于多少呢？（1）103表示的意义是什么？其中10，3，103分别叫什么？=10×10×103个10相乘103底数幂指数(2)10×10×10×10×10可以写成什么形式?10×10×10×10×10=105议一议议一议（9.3×1016）

×（3×107）=？=(9.3×10

×…×10)×(3×10×…×10)16个107个10依据（乘方的概念）=（9.3×3）×（10×10×…×10）23个10（乘法交换律和结合律）=27.9×1023（乘方的概念）=27.9×1016+7类比上面的过程，猜想：am

·an，并证明你的结论am·an

=a（）如果m,n都是正整数，那么am·an等于什么？为什么？am·an(

个a)·(a·a·…·a)(

个a)=(a·a·…·a)(

个a)=a()

(乘方的意义)(乘法的结合律)(乘方的意义)mn

m+nm+n=(a·a·…·a)猜一猜证一证总结归纳am

•an

=(a•a•…•a)•(a•a•…•a)=a•a•…•a

=am+nm

个an个a(m+n)个a符号表示：am•an

=am+n（m，n都是正整数）文字描述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加在本章中，如果没有特别的说明，幂的指数中的字母都是正整数推广：am·an·ap=am+n+p

（m，n，p都是正整数）典例精析(1)(－3)7×(－3)6；

(2)

(3)－x3·x5；(4)b2m·b2m+1.解：(1)原式=(－3)7+6=(－3)13；(2)原式=

(3)原式=

(4)原式=例1

计算：－x3+5=－x8；b2m+2m+1=b4m+1.提醒：计算同底数幂的乘法时，要注意算式里面的负号是属于幂的还是属于底数的．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）(1)x4·x6=x24(

)（2）x·x3=x3(

)(3)x4+x4=x8(

)(4)x2·x2=2x4(

)(5)(－x)2·(－x)3=(－x)5

(

)(6)a2·a3－

a3·a2=0(

)(7)x3·y5=(xy)8(

)(8)x7+x7=x14(

) √√××××××对于计算出错的题目，你能分析出错的原因吗？试试看！练一练a·a6·a3比一比：类比同底数幂的乘法公式am

·an=am+n(当m、n都是正整数)am·an·ap=am+n+p（m、n、p都是正整数)想一想:当三个或三个以上同底数幂相乘时，是否也具有这一性质呢？用字母表示

等于什么呢？am·an·ap=a7·a3=a10例2

光在真空中的速度约为3×108m/s,太阳光照射到地球上大约需要5×102m/s.地球距离太阳大约有多远？解：3×108×5×102=15×1010

=1.5×1011(m).答：地球距离太阳大约有1.5×1011m.当堂练习当堂反馈即学即用

1.下面的计算对不对？如果不对，应当怎样改正.(1)b3·b3=2b3(2)b3+b3=b6(3)a·a5·a3=a8(4)(－x)4·(－x)4=(－x)16××××b3·b3=b6b3+b3=2b3=x8a·a5·a3=a9(－x)4·(－x)4=(－x)8当堂练习2.下列各式中是同底数幂的是(

)A．23与32

B．a3与(－a)3C．(m－n)5与(m－n)6

D．(a－b)2与(b－a)3C3.下列各式中,计算正确的是(

)A.m2·m4=m6 B.m2·m4=m8C.m2+m4=m6 D.m4·m4=2m8A(1)x·x2·x()=x7;(2)xm·（）=x3m;(3)8×4=2x，则x=().23×22=2545x2m4.填空：5.计算：(1)52×57；(2)7×73×72；(3)

－x2•x3；

(4)(－c)3•(－c)m.解：(1)52×57=52+7＝59.(2)7×73×72=71＋3＋2=76.(3)

－x2•x3=－x2＋3＝－x5.(4)(－c)3•(－c)m

＝(－c)3＋m.（1）已知an－3·a2n+1=a10,求n的值;（2）已知xa=2,xb=3,求xa+b的值.公式逆用：am+n=am·an公式运用：am·an=am+n解：n－3+2n+1=10,

n=4;解：xa+b=xa·xb=2×3=6.6.创新应用.课堂小结归纳总结构建脉络同底数幂的乘法法则am·an=am+n(m,n都是正整数）注意同底数幂相乘，底数不变，指数相加am·an·ap=am+n+p(m,n,p都是正整数）直接应用法则常见变形：(－a)2=a2,(－a)3=－a3底数相同时底数不相同时先变成同底数,再应用法则课堂小结第一章整式的乘除1幂的乘除第2课时幂的乘方目录页讲授新课当堂练习课堂小结新课导入新课导入教学目标教学重点1.理解并掌握幂的乘方法则;（重点）2.掌握幂的乘方法则的推导过程并能灵活运用.（难点）学习目标情境导入

地球、木星、太阳可以近似地看做是球体.木星、太阳的半径分别约是地球的10倍和102倍，它们的体积分别约是地球的多少倍？

你知道(102)3等于多少吗？V球=—πr3

，其中V是球的体积，r是球的半径.

34新课导入讲授新课典例精讲归纳总结1.一个正方体的棱长是10，则它的体积是多少？2.一个正方体的棱长是102，则它的体积是多少？幂的乘方一自主探究103=10×10×10=101+1+1=101×3(102)3=102×102×102=102+2+2=102×3讲授新课3.100个104相乘怎么表示？又该怎么计算呢？(104)100

100个104

100个4

猜一猜=am·am·

…·am

（乘方的意义）=am+m+…+m（同底数幂的乘法法则）（乘法的意义）

=a100m

=104×100=104×104×…×104=104+4+…+4(am)100（1）(a3)2=a3·a3am·am·…·amn个am=am+m+……+mn个m=am·am

（2）(am)2=amn（am）n==a3+3=a6=am+m=a2m(m是正整数)

请你观察上述结果的底数与指数有何变化？你能猜想出幂的乘方是怎样的吗？做一做幂的乘方法则(am)n=amn

(m，n都是正整数）幂的乘方，底数＿＿，指数＿＿.不变相乘归纳总结例1

计算：解:(1)(102)3=102×3=106；(2)(b5)5

=b5×5=b25;典例精析(6)2(a2)6–(a3)4=2a2×6－a3×4=2a12-a12=a12.(5)(y2)3·

y=y2×3·y=y6·y=y7;注意：一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．(3)(an)3=an×3=a3n;(1)(102)3

；

(2)(b5)5;(5)(y2)3·y;

(6)2(a2)6

－(a3)4.(3)(an)3;(4)－(x2)m;(4)－(x2)m=－x2×m=－x2m;（1）（2）（3）（4）（5）（6）判断对错：（×）（×

）（√）（×

）（√）（√）练一练例2已知2x＋5y－3＝0，求4x·32y的值．

解：∵2x＋5y－3＝0，

方法总结：本题考查了幂的乘方的逆用及同底数幂的乘法，整体代入求解也比较关键．∴2x＋5y＝3，∴4x·32y＝(22)x·(25)y

＝22x·25y＝22x＋5y＝23＝8.底数不同，需要化成同底数幂，才能进行运算.当堂练习当堂反馈即学即用1.判断下面计算是否正确？正确的说出理由,

不正确的请改正.（1）(x3)3=x6；=x3×3=x9×

（2）x3·x3=x9；

×=x3+3=x6（3）x3+x3=x9.×=2x3当堂练习BBD0

6.计算：(1)(103)3;(2)(x3)4·

x2;(3)[(－x)2]3;(4)x·x4–x2·

x3.

解：（1）原式=103×3=109；（2）原式=x12·

x2=x14;（3）原式=(x2)3=x6;（4）原式=x5–x5=0.7.已知am=2，an=3,求:（1）a2m，a3n的值；解:(1)a2m=(am)2=22=4，a3n=(an)3=33=27；(3)a2m+3n=a2m.a3n=(am)2.(an)3=4×27=108.（3）a2m+3n的值.（2）am+n的值;(2)am+n=am.an=2×3=6；你能比较的大小吗？思维拓展课堂小结归纳总结构建脉络幂的乘方法则（am）n=amn(m,n都是正整数）注意幂的乘方，底数不变，指数相乘幂的乘方与同底数幂的乘法的区别：(am)n=amn;am﹒an=am+n幂的乘方法则的逆用：amn=(am)n=(an)m课堂小结幂的乘方法则（am）n=amn(m,n都是正整数）第3课时积的乘方第一章整式的乘除1幂的乘除目录页讲授新课当堂练习课堂小结新课导入新课导入教学目标教学重点1.理解并掌握积的乘方的运算法则；（重点）2.掌握积的乘方的推导过程，并能灵活运用.（难点）学习目标复习导入新课导入1.幂的意义ana·a·…·a=n个a2.同底数幂相乘的法则：am·an=am+n（m，n为正整数）3.幂的乘方法则：(am)n=amn（m，n为正整数）底数不变指数相乘指数相加同底数幂相乘幂的乘方其中m,

n都是正整数（am）n=amnam·an=am+n想一想：同底数幂的乘法法则与幂的乘方法则有什么相同点和不同点？讲授新课典例精讲归纳总结积的乘方一讲授新课问题

地球可以近似地看做是球体，地球的半径约为6×103km，它的体积大约是多少立方千米?

V=—πr3=—π×(6×103)33434

那么，(6×103)3=？这种运算有什么特征？填空，看看运算过程用到哪些运算律，从运算结果看能发现什么规律？（1）（3×5）4=(3×5)×(3×5)×(3×5)×(3×5)

=（3×3×3×3）×（5×5×5×5）

=3()5().（2）（3×5）m=____________________=___________×_______=3()×5().(3×5)×(3×5)×…×(3×5)m个3×544(3×3×…×3)(5×5×…×5)m个3m个5mm(ab)

n=(ab)·(ab)·····(ab)n个ab=(a·a·····a)·(b·b·····b)n个a

n个b=anbn.证明：思考：积的乘方(ab)n=?猜想结论：

因此可得：(ab)n=anbn

(n为正整数).

(ab)n=anbn

(n为正整数)推理验证积的乘方法则:积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.

(ab)n=anbn（n为正整数）

想一想：三个或三个以上的积的乘方等于什么？

(abc)n

=anbncn

（n为正整数）要点归纳积的乘方乘方的积例1

计算:(1)(3x)2

；(2)(－2b)5

；

(3)(－2xy)4

；(4)(3a2)n.

解：(1)原式=

(2)原式=(3)原式=

(4)原式==9x2；=－32b5；

=16x4y4；=3na2n.32x2(－2)5b5(－2)4x4y43n(a2)n典例精析方法总结：运用积的乘方法则进行计算时，注意每个因式都要乘方，尤其是字母的系数不要漏方．例2

太阳可以近似地看作是球体，如果用V、R

分别代表球的体积和半径，那么V＝πR3，太阳的半径约为6×105千米，它的体积大约是多少立方千米(π取3)?解：因为R＝6×105千米，所以V＝πR3≈×3×(6×105)3≈8.64×1017(立方千米)．答：它的体积大约是8.64×1017立方千米．方法总结：读懂题目信息，理解球的体积公式并熟记积的乘方的性质是解题的关键．例3用简便方法计算：(1)(2)0.1252025×(－82026)．解：（1）

(2)0.1252025×(－82026)

＝－0.1252025×82026

＝－0.1252025×82026×8

＝－(0.125×8)2025×8

＝－12025×8

＝－8.公式逆用an·bn=(ab)n（n都是正整数）通常适用于底数互为倒数，或负倒数，或乘积为整数的形式要点归纳幂的运算法则的逆应用an·bn=(ab)n

am+n=am·anamn=(am)n作用：使运算更加简便快捷！当堂练习当堂反馈即学即用(1)（ab2)3=ab6()×××(2)(3xy)3=9x3y3()×(3)(－2a2)2=－4a4()(4)－(－ab2)2=a2b4()1.判断:

2.下列运算正确的是（）

A.x.x2=x2B.(xy)2=xy2C.(x2)3=x6D.x2+x2=x4C当堂练习3.(0.04)2024×[(－5)2024]2=________.1当堂练习4.(1)若am=2,(ab)m=6,则bm=

;(2)若xn=5,yn=-2,则(-xy)2n=

.31005.一个正方体的棱长是1.5×102cm,用a×10ncm3(1≤a<10，n为正整数)的形式表示这个正方体的体积是

cm3.3.375×106(1)(ab)8;(2)(2m)3;(3)(－xy)5;

(4)(5ab2)3;

(5)(2×102)2;(6)(－3×103)3.6.计算:

解：(1)原式=a8·b8;(2)原式=23·m3=8m3;(3)原式=(－x)5·y5=－x5y5;(4)原式=53·a3·(b2)3=125a3b6;(5)原式=22×(102)2=4×104;(6)原式=(－3)3×(103)3

=－27×109=－2.7×1010.7.用简便方法计算:(1)

23×53

;(2)(-5)16

×(-2)15

;(3)

24

×44×(-0.125)4

;解（1）23×53=（2×5）3=1000；

（2）(-5)16

×(-2)15

=-516×215

=-5×（5×2）15

=-5×1015；

（3）24

×

44

×(-0.125)4=（2×4×0.125）4=1；

（1）2(x3)2·x3－(3x3)3+(5x)2·x7;

（2）(3xy2)2+(－4xy3)·(－xy);

（3）(－2x3)3·(x2)2.解：原式=2x6·x3－27x9+25x2·x7

=2x9－27x9+25x9=0;解：原式=9x2y4+4x2y4=13x2y4;解：原式=－8x9·x4=－8x13.注意：运算顺序是先乘方，再乘除，最后算加减.8.计算:能力提升：如果(an.bm.b)3=a9b15,求m,n的值.所以(an)3.(bm)3.b3=a9b15,所以

a3n.b3m.b3=a9b15,所以a3n.b3m+3=a9b15,所以

3n=9,3m+3=15.所以n=3,m=4.解:因为(an.bm.b)3=a9b15,课堂小结归纳总结构建脉络幂的运算性质性质

am·an=am+n

(am)n=amn

(ab)n=anbn(m、n都是正整数)反向运用am·an=am+n、(am)n=amnan·bn=

(ab)n可使某些计算简捷注意运用积的乘方法则时要注意：公式中的a、b代表任何代数式；每一个因式都要“乘方”；注意结果的符号、幂指数及其逆向运用（混合运算要注意运算顺序）课堂小结第4课时同底数幂的除法第一章整式的乘除1幂的乘除目录页讲授新课当堂练习课堂小结新课导入新课导入教学目标教学重点1.经历同底数幂的除法法则的探索过程，理解同底数幂的除法法则;2.理解零次幂和负整数指数幂的意义，并能进行负整数指数幂的运算;（重点，难点）3.会用同底数幂的除法法则进行计算.（重点、难点）学习目标4.会用科学记数法表示绝对值小于1的数.（重点）5.会用科学记数法解决相应的实际问题．（难点）问题

幂的组成及同底数幂的乘法法则是什么？同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.

即aman=am＋n（m，n都是正整数）回顾与思考an底数幂指数新课导入情境导入

一种液体每升含有1012个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现1滴杀菌剂可以杀死109个此种细菌.要将1升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？1012÷109

（2）观察这个算式，它有何特点？我们观察可以发现，1012和109这两个幂的底数相同，是同底的幂的形式.所以我们把1012÷109这种运算叫作同底数幂的除法.（1）怎样列式？讲授新课典例精讲归纳总结根据同底数幂的乘法法则进行计算：

28×27＝

52×53＝

a2×a5＝

3m－n×3n＝21555a73m（）×27＝215（）×53＝55（）×a5＝a7（）×3n＝28a252乘法与除法互为逆运算215÷27=()=215－755÷53=()=55-3a7÷a5=()=a7-53m÷3m－n=()=3m－(m－n)2852a23n填一填：上述运算你发现了什么规律吗？同底数幂的除法一自主探究

3m－n3m讲授新课猜想:am÷an=am－n(m＞n)验证:am÷an=m个an个a=(a·a·····a)m－n个a=am－n总结归纳(a≠0，m，n是正整数，且m＞n).am÷an=am－n即:同底数幂相除，底数不变，指数相减.例1

计算：典例精析(1)a7÷a4;(2)(－x)6÷(－x)3;(3)(xy)4÷(xy);(4)b2m+2÷b2.(1)a7÷a4=a7－4=(－x)3(3)(xy)4÷(xy)=(xy)4－1(4)b2m+2÷b2注意：同底数幂相除，底数不变，指数相减.解：=a3；(2)(－x)6÷(－x)3=(－x)6－3=－x3；=(xy)3=x3y3；=b2m+2－2=b2m.已知：am=8,an=5.求：（1）am－n的值；(2)a3m－3n的值.解:(1)am－n=am÷an=8÷5=1.6；(2)a3m－3n=a3m

÷

a3n

=(am)3÷(an)3

=83÷53

=512÷125=同底数幂的除法可以逆用：am－n=am÷an这种思维叫作逆向思维(逆用运算性质）.猜一猜：零次幂与负整数次幂二3210–1–2–33210–1–2–3我们规定

即任何不等于零的数的零次幂都等于1.即用a-p表示ap的倒数.要点归纳例2

用小数或分数表示下列各数：解：典例精析

（1）10－3；（2）70×8－2；（3）1.6×10－4.

（1）10－3=0.001.（2）70×8－2注意：a0=1（3）1.6×10－4=1.6×0.0001=0.00016.练一练计算下列各式，你有什么发现？与同伴交流.(1)7－3÷7－5；(2)3－1÷36；(3)(－8)0÷(－8)－2.解：(1)7－3÷7－5==7－3－(－5)；(2)3－1÷36==3－1－6(3)(－8)0÷(－8)－2==(－8)0－(－2)探一探：因为所以，0.0000864=8.64×0.00001=8.64×10-5.类似地，我们可以利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a×10-n的形式，其中n是正整数，1≤∣a∣＜10.用科学计数法表示绝对值小于1的数一算一算：

10－2=___________;10－4=___________;

10－8=___________.

议一议：指数与运算结果的0的个数有什么关系？想一想：10－21的小数点后的位数是几位？

1前面有几个零？0.010.00010.00000001通过上面的探索，你发现了什么？n一般地，10的-n次幂，在1前面有_________个0.用科学记数法表示一些绝对值小于1的数的方法：即利用10的负整数次幂，把一个绝对值小于1的数表示成a×10-n的形式，其中n是正整数，1≤|a|<10.n等于原数第一个非零数字前所有零的个数（特别注意：包括小数点前面这个零）.要点归纳典例精析例3

用小数表示下列各数：(1)2×10－7；(2)3.14×10－5；(3)7.08×10－3；(4)2.17×10－1.解析：小数点向左移动相应的位数即可．解：(1)2×10－7＝0.0000002；(2)3.14×10－5＝0.0000314；(3)7.08×10－3＝0.00708；(4)2.17×10－1＝0.217.1.用科学记数法表示：（1）0.00003；（2）-0.0000064；（3）0.0000314；2.用科学记数法填空：（1）1s是1μs的1000000倍，则1μs＝______s；（2）1mg＝______kg；（3）1μm＝______m；（4）1nm＝______μm；（5）1cm2＝______m2；（6）1ml＝______m3.练一练典例精析例4

纳米是非常小的长度单位，1nm=10-9m.把1nm3的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上，1mm3的空间可以放多少个1nm3的物体（物体之间隙忽略不计）？答：1mm3的空间可以放1018个1nm3的物体.解：1018是一个非常大的数，它是1亿（即108）的100亿（即1010）倍.

中国女药学家屠呦呦获2015年诺贝尔医学奖，她的突出贡献是创制新型抗疟药青蒿素和双氢青蒿素，这是中国医学界迄今为止获得的最高奖项，已知显微镜下某种疟原虫平均长度为0.0000015米，该长度用科学记数法表示为__________.1.5×10-6练一练总结归纳1.同底数幂的除法法则:

同底数幂相除,底数不变，指数相减.(a≠0,m、n为任意整数)2.零指数幂：3.负整数指数幂：（a≠0，n为正整数）4.用科学记数法表示一些绝对值小于1的数：表示成a×10n的形式，其中n是负整数，1≤a＜10当堂练习当堂反馈即学即用当堂练习B1．计算(a3)2÷a2的结果是()A．a3B．a4C．a7D．a8C3．计算(－a)5·(a2)3÷(－a)4的结果正确的是(

)A．a7 B．－a6C．－a7 D．a6CB4．刘禹锡有诗曰：