2026年(河北)中考数学一轮复习考点探究讲义 第7讲 分式方程及其应用

第7讲分式方程及其应用考点一分式方程的定义及其解法分式方程的定义分母中含有①的方程叫做分式方程

分式方程的解法基本思路把分式方程转化为②方程,即分式方程③方程

一般步骤(1)去分母,方程两边同乘各分式的最简公分母,化为整式方程.(2)解整式方程.(3)检验:将解得的整式方程的根代入最简公分母,若不为0,则是原分式方程的根;若为0,则为增根,应舍去,分式方程无解分式方程的增根定义当去分母后所得整式方程的根使分式方程中分母的值为0时,分式方程无解,这样的根叫做分式方程的增根检验方法(1)利用方程的解的定义进行检验.(2)将解得的整式方程的根代入最简公分母,看计算结果是否等于0,若等于0,则为增根产生原因增根是由于“去分母”造成的.去分母时,方程两边同乘的最简公分母为0时,对于整式方程来说,求出的根能使整式方程成立,而对于原分式方程来说,分式无意义,所以这个根是原分式方程的增根(1)去分母时,不要漏乘没有分母的项.(2)分式方程的增根与无解并非同一个概念,分式方程无解,可能是解为增根,也可能是去分母后的整式方程无解;分式方程的增根不仅是去分母后的整式方程的根,也是使分式方程的分母为零的根.1.下列方程:①3-x7=2,③4x④xm+xn=5,⑤1x+2+1=0,其中,是关于2.已知关于x的分式方程x-1x-2=m23.(冀教八上P20习题A组T1变式)解方程:3x考点二分式方程的实际应用❶用分式方程解实际问题的一般步骤实际问题列分式方程解方程双检验答❷常见的分式方程解题模型及数量关系行程问题路程速度=工程问题工作总量工作效率=工作完成时间(当题干中没有给出具体工作总量时,默认工作总量为购买(利润)问题总价单价=数量,总价数量双检验——(1)检验是否是分式方程的解.(2)检验是否符合实际情况.4.某船往返于某段河流,顺流航行66千米与逆流航行60千米用时相同,已知水流速度为每小时1千米.设船的静水速度是每小时x千米,根据题意,可列方程为.

5.某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务,为了迎接雨季的到来,实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%,结果提前30天完成了任务.设原计划每天绿化的面积为x万平方米,则所列方程为.

(多维设问)嘉淇准备完成题目:解分式方程:xx-3=2-◆3-x(1)他把“◆”猜成5,请你解方程:xx-3(2)若方程的解为x=0,则“◆”是几?(3)他妈妈说:“你猜错了,我看到该题目的正确答案是此分式方程无解.”通过计算说明原题中“◆”是几?(4)若这个方程xx-3=2-m3-x(5)延伸:关于x的方程mx-1x-2+1(1)直接根据解分式方程的步骤进行求解.(2)把x=0代入分式方程求出“◆”的值.(3)分式方程去分母转化为整式方程,由分式方程无解得到x=3,将x的值代入去分母后的整式方程求出“◆”的值.(4)分式方程的解为正数的意思是分式方程有解,即分母不等于零,且方程的解是正数,即x>0.据此列出不等式求解,从而确定m的取值范围.(5)解这个分式方程可得x关于m的分式,若方程有整数解,则分子是分母的整数倍,故可求出整数m的值.命题点一分式方程及其解法❶(2025·遂宁)若关于x的分式方程3-ax2-x=ax-A.2 B.3 C.0或2 D.-1或3❷(2023·河北)根据下表中的数据,写出a的值为,b的值为.

代数式x2n3x+17b2a1❸(2025·河北样卷)习题课上,数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程:习题1:计算1x解:1=1x2-1·(x2-1)+xx+1·=1+x(x-1) 第二步=1+x2-1 第三步=x2. 第四步习题2:解方程1x解:方程两边同乘(x2-1),得x2-1x2-11+x(x+1)=x2-1, 第二步x=-2. 第三步经检验,x=-2是原方程的解. 第四步(1)分别写出习题1,习题2的解答过程是从第几步开始出现错误的.(2)从以上两道习题中任选一题,写出正确的解答过程.命题点二分式方程的实际应用❹(2024·河北样卷)某工厂计划生产1500个零件,但是在实际生产时……求实际每天生产零件的个数.在这个题目中,若设实际每天生产零件x个,可得方程1500x-5-1A.每天比原计划多生产5个,结果延期10天完成B.每天比原计划多生产5个,结果提前10天完成C.每天比原计划少生产5个,结果延期10天完成D.每天比原计划少生产5个,结果提前10天完成❺(2025·江西)小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车,燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同,且每百公里的耗油费比耗电费约多50元,求纯电汽车每百公里的耗电费.设纯电汽车每百公里的耗电费为x元,可列分式方程为.

【详解答案】教材考点·深度梳理①未知数②整式③整式即时练1.⑤2.-1解析:方程去分母得x-1=-m,解得x=1-m,当x=2时分母为0,分式方程无解,即1-m=2,解得m=-1.3.解:去分母,得3(x+3)=5(x+1),去括号,得3x+9=5x+5,移项、合并同类项,得-2x=-4,系数化为1,得x=2,经检验,x=2是原方程的根.4.665.90x重点难点·一题串讲例:解:(1)方程整理,得xx-3=2+5x-3,去分母,得x=2(x-3)+5,解得x=1.检验:当x=1∴原分式方程的解为x=1.(2)设原题中“◆”是a,方程整理,得0=2+a0解得a=6,∴“◆”是6.(3)设原题中“◆”是b,方程整理,得xx-3去分母,得x=2(x-3)+b,由分式方程无解,得x=3.把x=3代入整式方程,得b=3,∴原题中“◆”是3.(4)方程两边同乘(x-3),得x=2(x-3)+m,解得x=6-m.∵方程xx-3=2-∴6-m>0且6-m≠3,解得m<6且m≠3.(5)整数m的值为3,4,0.解析:原分式方程去分母,得mx-1-1=2(x-2),整理,得(m-2)x=-2.当m≠2时,x=-2∵方程有整数解,∴m-2=±1或m-2=±2,解得m=3,1,4,0.∵x-2≠0,∴x≠2,∴-2m-2≠2,∴m≠河北中考·考向体验1.D解析:3-ax2-x=ax-2-1,3-ax2-x=a-x+2x-2,3-ax2-x×(2-x)=a-x+2x-2×(2-x),3-ax=-2.52-2解析:当x=n时,3x+1=b,即3n+1=b,当x=2时,2x+1x=a,即a=2×2+12=52.当x=