北师大版五年级数学上册第三单元：《探索活动：3的倍数的特征》教案：通过探究活动引导学生发现3的倍数特征落实规律探索训练培养归纳思维与表达素养

北师大版五年级数学上册第三单元：《探索活动：3的倍数的特征》教案：通过探究活动引导学生发现3的倍数特征，落实规律探索训练，培养归纳思维与表达素养课题与学情背景信息本教案面向小学数学学科，年级为五年级上册，教材为北师大版。课题为《探索活动：3的倍数的特征》，隶属于第三单元“倍数与因数”中第二重要的规律探究课。课型定位为在学生掌握了2、5的倍数特征探究方法的基础上，自主经历更富挑战的探究过程，发现与“看个位”不同的3的倍数的特征“各位数字之和是3的倍数”，培养深度探究能力和归纳思维。学生已经学习了2、5的倍数特征，掌握了“列倍数—观察（个位）—猜想—验证—归纳”的基本探究模式，并形成了“判断倍数可能看个位”的思维定势。本节课的核心价值在于：1.打破“看个位”的思维定式，引导学生发现对于3的倍数，个位数字的规律失效，必须寻找新的观察角度，从而深化对“数的整除特征”多样性的认识。2.经历一次更复杂、更曲折的数学探究，体验“猜想被否定—转换思路—再猜想—再验证”的完整科学探究过程，培养思维的灵活性和韧性。3.掌握3的倍数的核心特征（一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数），并理解其应用。4.进一步巩固和迁移探究方法。学生的认知冲突和挑战在于：当沿用观察2、5倍数的方法（看个位）探索3的倍数失败后，如何调整思路？如何从“个体数字”跳转到“数字的和”？这个新特征的算理是什么？如何理解和记忆这个看似更复杂的特征？通过“复习导入—尝试旧法—发现矛盾—引导转向—合作探究—发现规律—验证归纳—探索算理”的学习路径，引导学生突破认知障碍，完成知识建构。核心素养导向的教学目标知识与能力目标：特征掌握：经历探索过程，理解并掌握3的倍数的特征：一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。技能运用：能运用这一特征快速判断一个数（包括较大数）是否是3的倍数；能根据特征，判断哪些数字组合成的数是3的倍数。方法迁移：能运用“观察—猜想—验证—结论”的探究方法，初步尝试探索其他数的倍数特征。过程与方法目标：经历“冲突与转向”的完整探究过程：体验从失败中汲取经验、转换角度、最终成功的科学探究历程。运用“观察与归纳法”发现特征：在教师的引导下，通过计算一系列3的倍数的各位数字之和，观察其共同点（都是3的倍数），进而提出猜想。运用“反例验证法”巩固猜想：不仅用正例验证，还主动寻找“各位数字和不是3的倍数”的数，看其是否不是3的倍数，以增强结论的可靠性。运用“算理探究法”深化理解：初步了解特征背后的算理（以三位数为例，拆成几个百、几个十和几个一，分析其与3的倍数关系）。情感态度与价值观目标：在探究活动中，体验克服困难、发现规律的乐趣，增强学好数学的信心。培养不迷信经验、敢于质疑、善于转换思路的科学探究精神。感受数学规律的奇异与和谐，体会数学思维的魅力。教学重难点及突破策略教学重点：探索并掌握3的倍数的特征。教学难点：打破“看个位”的思维定式，转向观察“各位数字之和”。理解3的倍数特征“各位数字之和是3的倍数”的算理。突破策略：“制造认知冲突，激发探究欲望”：课始，让学生用判断2、5倍数的方法（看个位）去判断一组数（如13,16,23,26）是否是3的倍数。学生用“个位是3、6”判断，但通过计算发现错误。由此引发冲突：老办法不灵了！怎么办？这强烈的冲突能有效激发学生寻求新方法的欲望。“小组合作，数据驱动发现”：为学生提供“3的倍数特征探秘单”，上面列有十几组典型的3的倍数（如12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,102,111等）。要求小组分工合作：一人读数，一人计算各位数字之和，一人记录。在完成表格后，引导学生横着看“数字和”这一列，有什么发现？（都是3,6,9,12,15…这些3的倍数）。从而自然归纳出特征。“正反例结合，严密验证”：仅仅看3的倍数发现规律还不够，需要验证其逆否命题是否成立。让学生再找一些“各位数字和不是3的倍数”的数（如14,22,35,104），计算它们是否是3的倍数。通过验证它们都不是3的倍数，来进一步确认特征的可靠性。这个过程能培养学生的严谨思维。“借助计数器或拆分，初步理解算理”：算理是难点，不要求所有学生掌握，但可作初步渗透。以123为例。123=1个百+2个十+3个一。1个百是100，100除以3余1；2个十是20，20除以3余2；3个一除以3余0。总的余数是1+2+0=3，3是3的倍数，所以123能被3整除。所以关键是“余数的和”。这解释能帮助学生理解“为什么是和，而不是其他”，建立更深层的数感。可以用小棒或方块图进行直观演示。教学准备与资源描述教师准备：多媒体课件：第一页：复习2、5倍数特征，快速判断练习，引出课题。第二页：出示一组数(13,16,23,26,19)，让学生用“看个位”方法判断是否为3的倍数，制造认知冲突。第三页：出示“探究任务单”样表，指导学生进行小组探究活动。表格分为三列：3的倍数、各位数字之和、我的发现。第四页：动态展示探究过程：以12为例，出现数字1和2，相加得3，标注“3是3的倍数”；以123为例，出现1、2、3，相加得6，标注“6是3的倍数”。汇总多个例子。第五页：归纳特征，并用规范数学语言呈现：“一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。”第六页：进行验证环节，展示正例和反例。第七页：用数的组成解释算理（以123为例）。第八页：巩固练习题。实物教具：百数表挂图（可用于标记3的倍数，但规律不如列数字和直观）、计数器（用于演示算理）。学具准备：为每个小组准备“3的倍数探秘任务单”、笔。学生准备：草稿纸、铅笔、橡皮。课前预习要求：复习2、5的倍数特征，并尝试列举几个3的倍数。教学过程一、情境导入师：同学们，上节课我们成功地当了一回数学侦探，破解了2和5的倍数的“密码”——看个位。现在，考验你们侦探本领的时候到了！请你们用“看个位”的方法，快速判断下面这些数，哪些是3的倍数？（课件出示：13,16,23,26,19）生1：13个位是3，16个位是6，23个位是3，26个位是6，19个位是9。我记得3,6,9是3的倍数，所以我觉得它们都是3的倍数。师：哦？你根据个位是3、6、9，就判断它们是3的倍数。其他同学同意吗？有不同意见可以算一算。（学生计算）生2：不对！13÷3=4……1，有余数，不是3的倍数。23÷3=7……2，也不是。26÷3=8……2，也不是。生3：16÷3=5……1，也不是。只有19我还没算……19÷3=6……1，也不是。师：咦？这就奇怪了。个位上是3、6、9的数，怎么不一定是3的倍数呢？看来，判断3的倍数，用“看个位”这招老办法，好像失灵了！这是为什么呢？3的倍数究竟藏着什么样的新秘密？今天，我们继续开展探索活动，目标就是揭开《3的倍数的特征》这个谜团。二、探究新知探究活动一：引发冲突，转换思路师：老办法“看个位”不灵了。但这难不倒我们这些聪明的侦探。当一个线索断了，我们要寻找新的线索。既然“个位”这一个数字不能告诉我们答案，那我们不妨把这个数的“全身”——它每一位上的数字都请出来，看看它们之间有什么关系。比如，对于12这个3的倍数，它的“全身”是数字1和2。我们把它们加起来看看：1+2=3。3本身是3的倍数。这会不会是一个巧合呢？师：下面，就请各侦查小组行动起来。你们的任务是研究这张“3的倍数探秘任务单”上的数。每个小组分工合作：一人负责读出3的倍数，一人负责计算这个数各位上的数字之和，一人负责记录在表格里。完成表格后，大家一起观察“各位数字之和”这一列，看看有什么惊人的发现！探究活动二：合作探究，发现规律（学生小组合作探究，教师巡视指导，重点关注计算和记录的准确性，并引导学生观察和。）师：时间到。哪个小组来分享一下你们的发现？从你们表格中选几个例子说说。组1：我们研究了12，数字和是3；15，数字和是6；18，数字和是9；21，数字和是3；24，数字和是6。我们发现，这些数的各位数字之和，好像都是3的倍数！师：其他小组的发现一样吗？组2：一样！我们还研究了大的数，比如102，1+0+2=3；111，1+1+1=3；123，1+2+3=6，它们的和也都是3的倍数。师：太棒了！通过大家的合作，我们收集了大量的“证据”。这些证据都指向一个共同的“嫌疑特征”：这些3的倍数，它们各位上的数字之和，都是3的倍数。那么，现在我们是不是可以提出一个大胆的猜想了？生4：我猜想：一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。师：总结得非常好！（板书猜想）探究活动三：验证猜想，形成结论师：但是，作为一个严谨的侦探，我们不能光看“是3的倍数”的这些数（正例）符合就下结论。我们还需要看看，那些“不是3的倍数”的数，它们各位上的数字之和，是不是“不是3的倍数”呢？请你们自己举几个例子来验证一下。（学生举例验证，如14：1+4=5，5不是3的倍数，14也不是3的倍数。22：2+2=4，4不是3的倍数，22也不是。35：3+5=8，8不是3的倍数，35也不是。）师：通过正反两方面的验证，我们的猜想站得住脚吗？生（齐）：站得住！师：好！现在我们可以庄严地宣布我们的探索结论了。请齐读：（教师指向板书补充完整的结论）一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。探究活动四：深入思考，初探算理（难点，适度讲解）师：规律我们找到了。但爱思考的同学可能会问：为什么判断2、5的倍数看个位就行，而判断3的倍数却要把所有数字加起来呢？这里面有没有道理？我们试着来理解一下。师：（以123为例）123是由1个百、2个十和3个一组成的。我们想知道123是不是3的倍数。我们知道，100除以3，商33余1。也就是说，1个百除以3，会余下1。同样，10除以3，商3余1，所以2个十除以3，就会余下2个1，也就是2。个位上的3除以3，正好整除，余0。师：那么，整个123除以3的余数，就可以看作是这几部分余数的和：1（百位带来的）+2（十位带来的）+0（个位带来的）=3。因为3是3的倍数，所以123能被3整除。师：大家看，这个“余数的和”1+2+0，恰好就是百位、十位、个位上数字的和1+2+3吗？注意，这里十位数字2带来了余数2，但如果是2个十，它带来的余数也是2，正好和十位数字相同。百位数字1带来了余数1，也相同。所以，“各位数字之和”实际上反映了这个数除以3后“总余数”的情况。如果这个和是3的倍数，意味着总余数为0，这个数就能被3整除。大家能听懂这个道理吗？没关系，我们现阶段最重要的是记住并会用这个特征。三、巩固练习师：侦探本领练得如何，实战来检验。下面是“神探考核”环节。第一关：快速判断（运用特征判断，是的打√，不是的打×）48（4+8=12,12是3倍数，√）67（6+7=13,13不是，×）96（9+6=15,15是，√）111（1+1+1=3,√）124（1+2+4=7,×）2019（2+0+1+9=12,√）第二关：数字谜宫（在□里填上一个数字，使这个数成为3的倍数）4□（可填2,5,8，因为4+2=6,4+5=9,4+8=12）□7（可填2,5,8，因为2+7=9,5+7=12,8+7=15）2□3（可填1,4,7，因为2+1+3=6,2+4+3=9,2+7+3=12）同时是2和3的倍数：3□（个位需是偶数，且数字和是3倍数：3+0=3,3+6=9，所以填0或6）同时是3和5的倍数：6□5（个位已是5，数字和需是3倍数：6+□+5=11+□，11+1=12,11+4=15,11+7=18，所以填1,4,7）第三关：生活应用有57个桃子，平均分给3个小朋友，能正好分完吗？为什么？（5+7=12,12是3倍数，57就是3倍数，能正好分完。）小明说他的年龄是3的倍数，爸爸的年龄也是3的倍数，且他们年龄的差是24岁。小明和爸爸可能各是多少岁？（答案不唯一，如小明9岁，爸爸33岁；小明12岁，爸爸36岁等，只要年龄是3的倍数且差24。）第四关：挑战思维从0、2、4、6、8这五个数字中选出三个，组成一个是3的倍数的三位数，最大是多少？最小是多少？（选出的三个数字之和需是3倍数。从0,2,4,6,8中选，可能的组合如（0,2,4）和=6；（0,4,8）和=12；（2,4,6）和=12等。最大：用（8,4,0）组成840；最小：用（0,2,4）组成204。）一个五位数2A34B，既是3的倍数，又是5的倍数。这个五位数可能是多少？（写出所有可能）（是5倍数，B=0或5。分情况：①B=0，数字和为2+A+3+4+0=9+A，需是3倍数，A可取0,3,6,9。②B=5，数字和为2+A+3+4+5=14+A，需是3倍数，A可取1,4,7。所以可能是20340,23340,26340,29340,21345,24345,27345。）四、课堂小结师：同学们，今天的探索之旅真是跌宕起伏！我们一起回顾一下。师：一开始，我们用老办法——看个位，去判断3的倍数，结果（失败了）。这告诉我们，数学探索中不能（生搬硬套），要（灵活思考）。师：当我们转换思路，把目光投向（各位数字之和）时，我们通过（小组合作、计算、观察），发现了3的倍数的真正特征是什么？（生齐读特征）。师：我们还初步了解了这个特征背后的道理，知道了“数字和”反映了（除以3的余数情况）。师：通过今天的学习，我们不仅掌握了3的倍数的特征，更重要的是，我们经历了从失败到成功的完整探究过程，锻炼了我们面对困难时（转换思路、持续探索）的能力。希望大家把这种探究精神用到以后的学习中去。五、作业布置必做作业：完成练习册《探索活动：3的倍数的特征》一课的练习题。用今天学到的方法，判断你的家庭成员年龄（或电话号码中的部分数字）是否是3的倍数。选做作业（挑战自我）：“规律研究员”：试着探索一下9的倍数有什么特征？用今天的方法去研究。（会发现：各位数字之和是9的倍数）“错题分析员”：收集或编一道关于3的倍数特征的典型错题（比如只看个位、数字和算错等），分析错误原因，并写出正确解法。作业评价量表（Rubric）：优秀（4星）：能清晰阐述3的倍数特征，并初步理解算理；练习全对；能主动探索9的倍数特征或进行深入错题分析。良好（3星）：掌握特征，练习基本正确；能完成年龄判断任务。达标（2星）：知道特征，但在应用判断或填数时偶有失误；完成了必做作业。需努力（1星）：对特征记忆模糊，判断方法错误（如仍看个位）；需要重新参与探究过程并加强练习。预设性教学反思本节课是“倍数特征”探究序列中的关键一环，因其与2、5倍数特征方法的迥异，成为培养学生思维灵活性和深度探究能力的绝佳载体。其成功的关键在于巧妙地利用学生原有的认知（看个位）制造强烈的认知冲突，并在此冲突的驱动下，引导学生完成思维视角的艰难但必要的转换，最终通过合作与数据发现新的规律。预计课堂的生成性高潮与教学难点将体现在：“看个位”失败时的认知冲突点：当学生自信地用“个位是3、6、9”判断13、23等是3的倍数，却被计算无情否定时，教室里会充满惊讶和困惑的声音。这是宝贵的教学时机。教师需要抓住这个时刻，引导学生讨论：“为什么这次不灵了？”“这说明3的倍数秘密可能在哪？”将学生的困惑转化为探究的动力。“转向各位数字之和”的思维转折点：这是本课最核心的思维教学点。学生困在“个位”陷阱里，需要教师提供明确的脚手架。直接告知“把数字加起来看”是一种方式，但更好的是通过启发式提问：“既然一个数字（个位）不够，那我们看看这个数的所有