北师大版五年级数学上册第三单元：《找质数》教案：通过筛选活动引导学生认识质数合数落实数论概念启蒙培养数学思维与表达素养

北师大版五年级数学上册第三单元：《找质数》教案：通过筛选活动引导学生认识质数合数，落实数论概念启蒙，培养数学思维与表达素养课题与学情背景信息本教案面向小学数学学科，年级为五年级上册，教材为北师大版。课题为《找质数》，隶属于第三单元“倍数与因数”中关于正整数（非零自然数）基于因数个数进行分类的核心概念课。课型定位为在学生已熟练掌握找一个数的因数的方法和深刻理解因数特点的基础上，通过观察、比较、分类等数学活动，建立质数与合数的概念，并能判断一个数是质数还是合数的概念形成与分类探究课。学生已经能够熟练、不重复、不遗漏地找出一个数的所有因数，并理解了一个数的因数个数有限、最小因数是1、最大因数是它本身。本节课的核心价值在于：1.在因数的视角下，对自然数进行一种全新的、深刻的分类，理解质数（只有两个因数）和合数（至少有三个因数）的定义，认识到“1”既不是质数也不是合数的特殊性，完善数系的认知结构。2.经历完整的数学概念形成过程，即“收集样本（找因数）—比较差异（观察因数个数）—抽象特征（定义概念）—举例验证—实际应用”，培养学生的分类思想和抽象概括能力。3.初步感受质数在数论中的基础地位和独特性，并通过“筛法”等经典数学方法，感受数学文化的魅力。学生的认知冲突和兴趣点在于：除了奇偶性，数还能怎么分类？为什么有些数因数多，有些却很少？质数有什么特别的用处？如何快速判断一个数是不是质数？通过“复习铺垫—观察分类—提炼概念—辨析特例—探究方法—应用实践”的路径，引导学生建构质数与合数的知识体系。核心素养导向的教学目标知识与能力目标：概念理解：理解质数和合数的意义，知道一个数（非零自然数）如果只有1和它本身两个因数，这个数就是质数（或素数）；如果除了1和它本身还有别的因数，这个数就是合数。特殊认知：知道1既不是质数也不是合数。技能掌握：能判断一个数（一般在100以内）是质数还是合数。方法了解：初步了解判断质数的方法（如试除法，了解“筛法”思想）。问题解决：能运用质数和合数的知识解决一些简单的实际问题或进行推理。过程与方法目标：经历“具体操作（找因数）—观察比较—抽象概括—判断应用”的概念形成过程。运用“分类的思想”建构新知：通过对1-12这些数因数个数的比较，将其分为“只有两个因数”、“有两个以上因数”、“只有一个因数”三类，从而引出质数、合数以及1的特殊性。运用“不完全归纳法”建立概念：从有限的例子（1-12）中归纳出两类数的特征，再用更多数（如13-20）进行验证和应用，从而巩固和深化概念。运用“探究法”寻找质数：了解并尝试用“埃拉托斯特尼筛法”在百数表中寻找质数，体会古人的智慧。运用“辨析法”澄清误区：通过辨析“所有的奇数都是质数吗？”“所有的质数都是奇数吗？”等问题，深化对概念本质的理解。情感态度与价值观目标：在探索质数与合数的活动中，感受数学的严谨和分类思想的美妙。了解质数在数学中的重要地位和文化价值，激发对数学的持久兴趣和好奇心。培养科学探究精神和逻辑推理能力。教学重难点及突破策略教学重点：理解质数和合数的意义，能判断一个数是质数还是合数。教学难点：理解“1”既不是质数也不是合数。掌握判断一个数（特别是较大数）是否为质数的基本方法。突破策略：“因数个数分类表”构建认知框架：以1-12这12个数为研究样本。让学生独立找出每个数的所有因数，并填写表格。表格包含三列：数字、所有因数、因数个数。引导学生观察“因数个数”这一列，发现有些数有2个因数，有些有2个以上，而1只有1个。教师明确指出：数学上，我们把只有2个因数的数叫“质数”，把有2个以上因数的数叫“合数”。那1呢？因为它只有1个因数，不符合质数（要求两个）或合数（要求至少三个）的定义，所以它“既不是质数，也不是合数”。通过清晰的定义和表格数据的支撑，让学生理解这种分类的逻辑性和“1”的特殊性。“定义辨析”与“变式练习”巩固概念：在给出定义后，立刻进行正反例辨析练习。如：判断7、9、15、23、1、2是质数还是合数？并说明理由。重点讨论2（是的，2是唯一偶质数，为后续辨析埋伏笔）。通过反复应用定义（“找因数，数个数”），将概念内化。“百数表筛法”了解方法与感受文化：介绍古希腊数学家埃拉托斯特尼的“筛法”。让学生在百数表上，先划掉1（非质非合），然后从2开始，圈出2，并划掉所有2的倍数（除了2本身）；接着圈出下一个没被划掉的数3，划掉所有3的倍数；圈出5，划掉5的倍数；圈出7，划掉7的倍数……最后，所有被圈出的和没被划掉的数（除了1）就是100以内的质数。这个活动不仅让学生亲历寻找质数的过程，更直观感受到了质数分布的一些特点（如越往后越稀疏），也体会到古代数学家的智慧。“试除法”策略指导与思维简化：对于判断一个较大数（如49、57、91）是否是质数，教给学生简单的试除策略。判断a是否为质数，不必用所有小于a的数去试除，只需要用质数去试除，并且试到大概√a（平方根）的位置即可。如判断57，可试2、3、5、7……57÷3=19，能整除，所以57是合数。对于小学生，不要求掌握平方根，但可以形象地说“试到两个因数差不多大的时候就可以停了”，这和找因数的方法一脉相承。重点让学生掌握用较小的质数（2，3，5，7，11等）去试除的简便方法。“挑战性问题”深化理解：设计一些需要综合运用概念进行推理的问题。如：“两个质数的和是15，这两个质数可能是多少？”（2和13）“一个两位数，十位和个位交换后仍是质数，这样的两位数有哪些？”（如13和31，17和71，37和73等）。在解决这些问题时，学生需要主动调用质数表并进行推理。教学准备与资源描述教师准备：多媒体课件：第一页：复习找一个数的因数。出示几个数（如6，11，12），让学生快速说出其所有因数。第二页：出示1-12的数字及其所有因数、因数个数的完整表格，引导学生观察分类。第三页：抽象出质数和合数的定义，明确1的特殊性。第四页：动态演示“筛法”在百数表上寻找质数的过程。第五页：呈现100以内质数表。第六页：判断练习与综合应用题。实物教具：大型百数表挂图（可粘贴或可擦写），用于演示“筛法”；1-20的数字卡片（可分类摆放）。学生准备：学具：每人一张百数表（印在纸上）、红笔和蓝笔。课前预习：熟练找出1-20各数的所有因数。场景预设：课桌按便于小组讨论的形式摆放。教学过程一、情境导入师：同学们，我们已经和“因数”这个好朋友打过很多次交道了。现在，我们来玩一个“给数字找朋友”的游戏。我这里有一些数字卡片（出示1-12）。每个数的“因数朋友”就是能和它相乘得到它自己的数。比如，6的好朋友有谁？生：1,2,3,6。师：对。那么，请你们回忆一下，1-12每个数的“因数好朋友”分别有多少个呢？不着急，我们把这些“朋友”的情况整理一下。请大家拿出练习纸，我们一起来完成这个“数字朋友圈”调查表。（教师引导学生或课件展示，共同完成1-12各数的因数列表。）师：表格完成了。请大家仔细观察“因数个数”这一列。你发现了什么有趣的现象吗？生1：我发现有些数的因数只有2个，比如2,3,5,7,11。生2：有些数的因数超过2个，比如4,6,8,9,10,12。生3：1最特别，它只有1个因数，就是它自己。师：大家的观察力真敏锐！数学家们和你们一样，也注意到了这个有趣的现象。他们根据一个数“因数朋友”的多少，给所有的自然数（1除外）起了不同的名字。今天，我们就来学习这种新的分类方法，一起《找质数》。二、探究新知活动一：观察分类，建立概念师：根据我们刚才的发现，我们把1-12这些数分分类。先看因数只有两个的数：2,3,5,7,11。这样的数，在数学上有一个专有名字，叫做质数（或素数）。（板书）谁来说说，什么样的数叫质数？生4：一个数只有1和它本身两个因数，这样的数叫质数。师：定义得非常准确！（板书定义）我们再来看因数超过两个的数：4,6,8,9,10,12。这样的数也有一个名字，叫做合数。（板书）谁来试着说说合数的定义？生5：一个数除了1和它本身，还有别的因数，这样的数叫合数。师：非常好！“除了1和它本身还有别的因数”，也就是说，合数的因数至少有（三个）。（板书定义）那么，剩下的“1”呢？它只有一个因数。它符合质数的定义吗？（不符合，质数要求两个因数。）它符合合数的定义吗？（不符合，合数要求至少三个因数。）所以，1既不是质数，也不是合数。（板书）它是非常特殊的一个数。活动二：概念辨析与初步应用师：我们刚刚认识了新朋友“质数”和“合数”。现在，请大家用“找因数，数个数”的方法，快速判断下面这些数是质数还是合数？13，15，21，23，29。（学生判断并说明理由。13、23、29是质数；15、21是合数。）师：判断得很快！这里有一个数很有趣，2。它是质数吗？生6：2的因数是1和2，只有两个，所以2是质数。师：2是质数，但它也是（偶数）。所以，质数不都是奇数，也有偶质数，就是2。那所有的奇数都是质数吗？生7：不是！比如9、15、21都是奇数，但它们是合数。师：对！奇偶性和质合性是两种不同的分类标准，不能混淆。活动三：寻找质数——了解“筛法”师：我们已经能在小范围内判断质数了。如果我们想找出100以内所有的质数，有什么好办法吗？不用一个一个去判断那么麻烦。古时候有一位非常聪明的数学家，叫埃拉托斯特尼，他发明了一种像“筛子”一样的方法，可以快速地把质数“筛”出来。今天，我们也来当一回“筛法”传人。师：（出示百数表）请拿出你们的百数表。第一步，先把谁划掉？为什么？生8：划掉1，因为它既不是质数也不是合数。师：正确。划掉1。第二步，找到第一个没被划掉的数，它是几？（2）我们把2圈起来，因为它是质数。然后，把所有2的倍数（除了2本身）都划掉。因为它们至少有1，2和它本身三个因数，肯定是合数。（学生操作，划掉4,6,8……等所有2的倍数。）师：第三步，找到下一个没被划掉的数，它是几？（3）圈出3，然后把所有3的倍数（除了3）划掉。（学生操作）师：第四步，下一个没被划掉的数是几？（5）圈5，划掉所有5的倍数（除了5）。注意，有些数可能已经被划掉了（如10，15），就不用重复划了。师：第五步，下一个没被划掉的数是几？（7）圈7，划掉所有7的倍数（除了7）。一般我们划到几的倍数就可以基本保证找全了呢？其实，理论上划到10（即√100）就可以了，我们划到7的倍数，因为7×11=77，7×13=91都在100内，而7×14=98，7×15就超过100了。好，大家继续。（学生操作后停下）师：现在，请你们观察你的百数表。所有被圈出的数（2,3,5,7…），以及那些没有被划掉也没有被圈出的数（如11,13,17,19…），它们就是100以内的所有质数！而所有被划掉的数（除了1）都是合数。这个方法是不是很巧妙？它就像用筛子把合数都“筛”掉了，留下了质数。活动四：整理与应用师：现在，请大家把100以内的质数按顺序读一读，记一记。（师生齐读：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97。）一共多少个？生：25个。师：观察这些质数，除了2，其他都是（奇数）。质数的分布有什么感觉？生9：越往后，质数好像越少，中间的空档越大。师：是的，质数的分布是数学上一个非常深奥有趣的问题。有了这张质数表，对于我们判断一个100以内的数是不是质数就很有帮助了。如果这个数在表里，就是质数；不在表里且不是1，就是合数。三、巩固练习师：掌握了新知识，我们来做一些练习，巩固一下。第一关：基础判断（下列各数，哪些是质数，哪些是合数？）17（质数）25（合数）31（质数）51（合数，51÷3=17）78（合数）87（合数，87÷3=29）91（合数，91÷7=13）97（质数）第二关：概念辨析（对的打√，错的打×）所有的质数都是奇数。（×，2是偶数）所有的合数都是偶数。（×，如9,15是奇数合数）在自然数中，除了质数就是合数。（×，还有1）两个质数的积一定是合数。（√，因为积至少有三个因数：1，两个质数。）最小的质数是2，最小的合数是4。（√）第三关：猜猜我是谁我是一个两位数的质数，十位和个位交换后还是质数，我可能是（13/31,17/71,37/73,79/97）。我和另一个质数的和是20，我们的积是91，我们是（7和13）。我是一个合数，我是一个奇数，我最大的因数是27，我是（27）。第四关：生活应用老师要把23本课外书平均分给一些小组，每个小组分到的本数要一样多，而且不能有剩余。可以分给几个小组？（23是质数，因数只有1和23，所以只能平均分给1个小组（全班）或23个小组（每人一本），根据实际，通常分给1个小组即全班一起阅读更合理。）学校组织植树，每行植的棵数要相等。如果一共要植37棵树，可以植成几行？（37是质数，只能植成1行或37行，结合实际选择。）第五关：挑战思维（选做）两个质数的和是99，这两个质数的积是多少？（质数中除了2都是奇数。奇数+奇数=偶数，但99是奇数。所以必须有一个偶质数2，另一个是99-2=97。积是2×97=194。）一个长方形的长和宽都是质数，周长是20厘米，这个长方形的面积是多少平方厘米？（长+宽=10厘米。两个质数相加得10的可能有（3,7）或（5,5）。长和宽为3和7时，面积21平方厘米；为5和5时是正方形，面积25平方厘米，但正方形是特殊长方形，也符合条件。）四、课堂小结师：同学们，今天我们学习了自然数的一种重要分类方法——按因数的个数分类。师：谁来说一说，什么叫质数？什么叫合数？1属于哪一类？师：我们用什么方法找出100以内的质数？（筛法）这个方法的原理是什么？（划掉每个质数的倍数）师：质数世界充满了奥秘，比如我们发现的“2是唯一的偶质数”、“质数分布的不规则性”等等。这些奥秘吸引着无数数学家去探索。我们今天的学习，就是迈进了这座神奇宫殿的第一道门。希望大家记住质数和合数这两个概念，它们是我们今后学习更多数学知识（如分解质因数、求最大公因数等）的重要基础。五、作业布置必做作业：完成练习册《找质数》一课的练习题。背诵并默写20以内的质数（2,3,5,7,11,13,17,19）。选做作业（挑战自我）：“质数探秘者”：查阅资料，了解“哥德巴赫猜想”是什么？（任何大于2的偶数都可以写成两个质数之和）并举例验证（如4=2+2,6=3+3,8=3+5等）。“数学小讲师”：给家人或朋友讲一讲什么是质数和合数，并教他们如何用“筛法”找出50以内的质数。作业评价量表（Rubric）：优秀（4星）：概念清晰，判断准确熟练；能熟练背诵质数表；能主动了解哥德巴赫猜想或清晰讲解概念。良好（3星）：掌握概念，判断基本正确；能背诵20以内质数。达标（2星）：知道质数合数定义，但在判断时偶有失误（如漏掉2或误判1）；完成了必做作业。需努力（1星）：对概念理解模糊，判断错误多；需要重新进行概念建构活动。预设性教学反思本节课是数论启蒙的关键节点，其核心价值不仅在于让学生记住质数和合数的定义，更在于引导学生经历从具体数据（因数个数）中抽象出分类标准，并形成严谨数学概念的完整思维过程，同时初步接触经典的数学方法（筛法）和数学文化。预设的教学高潮与思维碰撞点如下：“1”的特殊性讨论：这是学生理解的第一个难点。当学生完成1-12的因数个数统计后，会很自然地关注到“1”。教师需要引导学生严格对照定义：质数要求“只有两个因数”，合数要求“至少有三个因数”。1只有一个因数，不符合任何一个定义，因此它自成一类。通过定义的严格对照，学生能理解这种分类的排他性和严谨性，体会到数学定义的精确力量。“2”是偶质数的认知冲突：学生容易形成“质数都是奇数”的错误前概念。当确认2是质数时，会引起他们的惊讶和思考。教师需要抓住这个机会，强调分类标准的一致性：判断质数的唯一标准是因数的个数，与奇偶性无关。同时指出“2是唯一的偶质数”