北师大版五年级数学下册第五单元：《分数除法（二）》教案：通过问题解决引导学生学习整数除以分数落实分数除法训练培养计算思维与表达素养

北师大版五年级数学下册第五单元：《分数除法（二）》教案：通过问题解决引导学生学习整数除以分数，落实分数除法训练，培养计算思维与表达素养课题与学情背景信息本教案面向小学数学学科，五年级下册，教材为北师大版，课题是《分数除法（二）》，隶属于第五单元“分数除法”的算理深化与问题解决课。课型定位为在学生已经掌握了“分数除以整数”（除以一个不为零的整数，等于乘这个整数的倒数）的基础上，将除法的范围拓展到“整数除以分数”，引导学生理解“整数除以分数”的算理并掌握其计算方法的算理探究与方法归纳课。学生已经掌握了“倒数”的概念和求法，以及“分数除以整数”的计算方法，初步体会了将除法转化为乘其倒数的转化思想。这是本节课最重要的知识和思想基础。学生已经能够解决“一个数里面包含几个另一个数”（包含除）的问题，这是理解“整数除以分数”意义的经验基础。本节课的核心价值在于：1.理解“整数除以分数”的意义（包含除），能结合具体情境（如“4米长的绳子，每2/3米剪一段，可以剪几段？”）理解整数除以分数的算式含义。2.探索并掌握“整数除以分数”的计算方法，并能将其推广到“分数除以分数”，最终归纳出统一的分数除法计算法则。3.巩固并深化“转化”思想，认识到“除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数”这一法则的普适性。学生的认知冲突和兴趣点在于：整数除以分数怎么算？为什么有时候除以一个分数，结果反而比被除数大？通过“情境引入—意义理解（包含除）—算法探究（转化为乘法）—算理阐释—统一法则”的学习路径，引导学生完成分数除法算法的完整建构。核心素养导向的教学目标知识与能力目标：意义理解：能正确列式表示“整数除以分数”的包含除实际问题。算法掌握：理解并掌握整数除以分数的计算方法。统一法则：能归纳总结分数除法的统一计算法则：除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数。过程与方法目标：运用“问题情境法”理解意义：创设“分绳子”、“分糖果”等“包含除”情境，引导学生理解“整数÷分数”的数学含义（求一个数里面包含几个几分之几）。运用“画图分析法和算术推理法”探索算法：方法一（画图法）：通过画线段图，将“4米包含几个2/3米”直观化，通过数段数得出结果6。观察发现：引导学生观察这个过程，发现4÷2/3=4×(3/2)=4×(2/3的倒数)。初步感知算法。运用“语言描述与符号表示法”概括法则：引导学生用自己的语言概括法则，并用字母公式表示。情感态度与价值观目标：在探索分数除法统一法则的过程中，体验数学的简洁与统摄之美，感受数学知识的内在逻辑联系。教学重难点及突破策略教学重点：理解并掌握整数除以分数的计算方法，归纳分数除法的统一法则。教学难点：理解“整数除以分数”的算理，特别是为什么计算结果是“乘这个分数的倒数”。理解“除数小于1（真分数）时，商大于被除数”的现象。突破策略：“情境引入，明确意义”：创设情境：将一根4米长的绳子，每2/3米剪一段，可以剪成几段？（板书：4÷2/3）引导学生理解：这是求4米里面包含几个2/3米，是包含除问题。先进行估算：一段是2/3米，比1米短，所以段数肯定比4多。再引导学生探索计算方法。“多重路径，探寻算法”：路径A（图示法）：师生共同画一条线段表示4米，将其平均分成3份（因为分母是3），每份是4/3米（这个数据不是重点，而是帮助确定刻度）。然后以2/3米为一段去量（取两份为一段），可以量出6段。直观得出结果：4÷2/3=6（段）。路径B（推理法，关键）：提问：1米里面包含几个2/3米？算式？怎么算？（1÷2/3。可以想：1米是3/3米，每段2/3米，1米里包含(3/3)÷(2/3)=3÷2=1.5（个），即1÷2/3=3/2个。）进一步抽象：1÷2/3=1×(3/2)。那么，4米里面包含几个2/3米？就是4个“1米里包含的段数”，即4×(3/2)=6。所以，4÷2/3=4×(3/2)。引导学生观察并发现：4÷2/3=4×(3/2)，也就是乘了（2/3的倒数）。“验证推广，确立算法”：再用其他例子验证“整数÷分数=整数×分数的倒数”。如：2÷1/3=2×3=63÷3/4=3×4/3=45÷5/6=5×6/5=6引导学生大胆猜想：整数除以分数，可以怎么算？（等于整数乘这个分数的倒数。）“沟通联系，统一法则”：提问：我们之前学的“分数除以整数”（如4/5÷2=4/5×1/2），符合这个规律吗？（引导学生：除以整数2，等于乘2的倒数1/2，也符合。）进一步提问：猜想一下，“分数除以分数”（如4/5÷2/3）怎么算？（引导学生猜想：可能等于4/5×3/2（乘2/3的倒数）。）进行验证：可以借助情景（如4/5升果汁，每瓶装2/3升，可以装几瓶？）或直接计算验证，发现猜想正确。归纳统一法则：谁能用一句话总结分数除法的计算方法？（引导学生概括：除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数。）（板书核心法则）用字母表示：a÷b=a×1/b(b≠0)（这里b可以是整数也可以是分数）。“对比分析，理解‘商大于被除数’”：回顾例题：4÷2/3=6。商(6)>被除数(4)。对比：4÷2=2，商<被除数。提问：为什么有时商大，有时商小？什么情况下商大于被除数？引导学生发现：当除数小于1（真分数）时，商大于被除数；当除数等于1时，商等于被除数；当除数大于1时，商小于被除数。结合“包含除”情境理解：每份很小，份数就多。“分层练习，巩固应用”：设计直接计算、列式解决问题、判断题等多种练习，巩固算法，加深理解。教学准备与资源描述教师准备：多媒体课件：情境导入页：展示一根被标记为4米的绳子和一把剪刀，旁边标注“每段长2/3米”，提问可以剪几段。算法探究页（路径A）：动态展示将一条4米线段平均分成3份，然后以2/3米（两份）为单位一段段地去量的过程，最后显示出6段。算法探究页（路径B）：分步推理：1米÷2/3米=1×3/2；4米÷2/3米=4×3/2。法则归纳页：呈现从具体例子（4÷2/3=4×3/2，3/5÷2=3/5×1/2）到统一法则“除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数”的归纳过程。字母表示页：清晰呈现公式a÷b=a×1/b(b≠0)。商的变化规律页：通过对比除法算式（被除数相同，除数变化），总结商与除数的关系。巩固练习页。实物教具：一根长纸条（代表4米绳子）、一把尺子（用于在纸上标记刻度，但教学中更多依赖图示）。学生准备：练习本、尺子、彩笔（用于画线段图）。课前预习要求：复习倒数和分数除以整数的计算方法。教学过程一、情境导入师：（课件出示一根绳子和一把剪刀的图片）同学们，看，老师这里有一根4米长的绳子。现在，我需要把它剪成一些同样长度的小段，每一小段的长度是2/3米。请问，我可以剪成几段呢？谁能用一个算式来表示这个问题？生1：4÷2/3。师：（板书：4÷2/3）非常好！这个算式的意思是：求4米里面包含几个2/3米。这是一种包含除。今天，我们就来深入研究像这样的《分数除法（二）》——整数除以分数。师：观察这个算式，被除数是整数（4），除数是分数（2/3）。大家先估一估，结果大概会是多少？比4大还是比4小？为什么？生2：我觉得会比4大。因为一段只有2/3米，比1米短，所以在4米里能剪的段数肯定比4段多。师：有理有据！那具体是多少呢？又该怎样计算呢？我们一起来想办法。二、探究新知活动一：探究算法，多法并举师：为了求出4÷2/3的结果，我们可以请“画图”来帮忙。请大家试着在草稿本上画一条线段表示4米，然后想一想，怎么表示出“每2/3米为一段”呢？（学生尝试，教师巡视。请一位学生上台画图讲解。）生3：我可以把4米平均分成3份。因为2/3米，分母是3，这样比较好画。平均分成3份，每一份是4/3米。然后，每2/3米就是这样的两份。我从头开始，取两份为一段，再取两份为一段……一直这样取下去。师：（结合学生画图或课件演示）大家看，我们把4米长的线段平均分成3大份，每大份是4/3米。然后，我们以“2小份”（即2/3米）为单位一段一段地取。一共能取几段？生（齐数）：1段，2段，3段，4段，5段，6段。师：所以，从图上我们直观地看到，4米里面包含6个2/3米。也就是4÷2/3=6（段）。师：画图法非常直观。如果不画图，我们能不能从算理上推导出计算方法呢？请大家思考：如果只问“1米里面包含几个2/3米？”怎么算？生4：1÷2/3。师：1米有多少个1/3米？生5：有3个1/3米。师：对，1米=3/3米。每段是2/3米，那么1米里包含多少段？就是看3/3米里面有多少个2/3米。怎么列式？（3/3）÷（2/3）=3÷2=3/2（个）。所以，1÷2/3=3/2。师：这个3/2是怎么得来的？可以怎么写？生6：1÷2/3=1×3/2。师：对！1除以2/3，就等于1乘2/3的倒数3/2。那么，4米里面有几个2/3米呢？生7：4米就是4个1米，每个1米里有3/2个2/3米，所以一共是4×(3/2)=6个。师：所以，4÷2/3=4×(3/2)=6。通过推理，我们也得到了结果6，而且发现了一个重要的等式：4÷2/3=4×3/2。请大家观察，右边的3/2和左边的2/3是什么关系？生8：是倒数关系。师：所以，我们可以说：整数4除以分数2/3，等于整数4乘分数2/3的倒数3/2。活动二：验证猜想，初步归纳师：这会不会是巧合呢？我们再用其他例子验证一下。请计算：2÷1/3。生9：2÷1/3=2×3=6。师：再试一个：3÷3/4。生10：3÷3/4=3×4/3=4。师：通过这些例子，我们发现了一个规律。谁能试着用一句话说说，怎么计算“整数除以分数”？生11：整数除以分数，等于整数乘这个分数的倒数。师：（板书：整数除以分数=整数×分数的倒数）总结得很好！这就是整数除以分数的计算方法。活动三：沟通联系，统一法则师：大家回想一下，我们上节课学的“分数除以整数”，比如4/5÷2，是怎么算的？生12：等于4/5乘2的倒数1/2，也就是4/5×1/2。师：（板书：4/5÷2=4/5×1/2）看，这和我们今天学的“整数除以分数”的方法，像不像？生13：太像了！都是把“÷一个数”变成“×这个数的倒数”。师：对啊！那如果我们大胆猜想一下，对于“分数除以分数”，比如4/5÷2/3，应该怎么算呢？生14：我猜也是乘2/3的倒数3/2，等于4/5×3/2。师：这个猜想合理吗？我们可以画图或推理来验证。但基于我们发现的强大规律，数学家已经证明这是正确的。所以，不管是分数除以整数、整数除以分数，还是分数除以分数，我们都可以用一个统一的法则来计算。谁能把这个法则完整地说出来？生15：除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数。师：（板书核心法则：除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数。）这就是分数除法的统一计算法则！它非常简洁、有力。如果用字母表示，怎么表示呢？假设a是一个数（可以是整数、分数），b是一个不为零的数（可以是整数、分数），那么——生16：a÷b=a×1/b。师：完美！（板书字母公式）这个b一定不能为零，因为0不能作除数，而且0没有倒数。活动四：对比分析，理解“商”的大小师：回到我们的例题4÷2/3=6。请大家观察，商6和原来的被除数4相比，谁大？生（齐）：商6更大。师：以前我们做整数除法，比如4÷2=2，商2比4小。为什么这里除以一个分数，商反而变大了呢？什么情况下商会变大？生17：因为2/3比1小。除以一个比1小的数，商就比原来的数大。师：说得对！除数小于1（真分数）时，商大于被除数；除数等于1时，商等于被除数；除数大于1时，商小于被除数。结合剪绳子来想就很好理解：每段剪得越短（除数小），能剪的段数就越多（商大）。三、巩固练习师：法则在手，天下我有！现在让我们通过练习来熟练掌握它。第一关：直接计算（写出过程）6÷3/4=6×4/3=89÷1/3=9×3=275÷5/6=5×6/5=612÷2/5=12×5/2=30第二关：填一填8÷(2/7)=8×7/2=28(10)÷1/4=10×4=401÷5/8=1×(8/5)=8/5第三关：判断对错，并改正3÷2/5=3×2/5=6/5（×，应乘5/2，改正：3÷2/5=3×5/2=15/2）7÷7/10=7×10/7=10（√）0÷4/9=0×9/4=0（√）第四关：解决问题（列式计算）一辆汽车行驶12千米用了2/3小时，它平均每小时行驶多少千米？（速度=路程÷时间，12÷2/3=12×3/2=18千米/时）一袋面粉重10千克，如果每天吃2/5千克，这袋面粉可以吃多少天？（天数=总量÷每天量，10÷2/5=10×5/2=25天）一个长方形的面积是15平方米，宽是3/4米，长是多少米？（长=面积÷宽，15÷3/4=15×4/3=20米）第五关：比大小（不计算，在○里填>、<或=）5÷3/4○5（>）8/9÷2○8/9（<）6÷1○6（=）7/8÷7/8○1（=）第六关：挑战思维已知a×3/4=b÷3/4=c×1，且a、b、c都不为0。请比较a、b、c的大小。（分析：由a×3/4=c得c=3/4a，所以a>c。由b÷3/4=b×4/3=c得c=4/3b，所以c>b。综上a>c>b。）四、课堂小结师：同学们，这节课我们完成了分数除法算法的“大一统”。师：我们从一个实际问题（4米绳子，每2/3米一段）出发，通过画图和推理，找到了整数除以分数的计算方法，那就是（整数乘这个分数的倒数）。师：更重要的是，我们沟通了新旧知识，发现了一个统一所有分数除法的“万能法则”，那就是（除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数）。请再次齐读这个法则。师：我们还发现了一个有趣的规律：当除数小于1时，商（大于）被除数；除数等于1时，商（等于）被除数；除数大于1时，商（小于）被除数。师：这个统一的法则，将是我们今后解决所有分数除法问题的利器。希望大家能透彻理解，灵活运用。五、作业布置必做作业：完成练习册《分数除法（二）》一课的练习题。用你喜欢的方式（如画图、讲故事、写推导过程）向家人解释“为什么4÷2/3=4×3/2”。选做作业（挑战自我）：“法则验证官”：任意编写三道分数除法计算题（分别包含分数÷整数、整数÷分数、分数÷分数），并用画图或讲道理的方法验证计算结果是否符合“乘倒数”的法则。“生活发现家”：在生活中寻找一个可以用“整数除以分数”来解决的实际问题，并完整解答。作业评价量表（Rubric）：优秀（4星）：深刻理解分数除法统一法则的算理；能熟练、准确地进行各种分数除法计算；能清晰解释“商大小变化”的规律；能主动完成验证性或探究性任务。良好（3星）：理解并掌握分数除法的统一计算法则，能正确进行计算和解决简单问题。达标（2星）：知道“乘倒数”法则，但在具体计算（尤其是找倒数、约分）时偶有失误；对商的变化规律理解不深。需努力（1星）：对算法不理解，无法独立将除法转化为乘法计算；需要重新进行算理推导和情景演示。预设性教学反思本节课是分数除法算法从特殊走向一般的关键节点，其教学设计的核心在于引导学生从解决一个具体的“整数除以分数”问题出发，通过多角度的探究（画图直观、算理推理），自主发现“乘倒数”这一算法，并进而通过回顾、类比和猜想，将这一算法从“整数除以分数”推广到“分数除以分数”，最终抽象概括出适用于所有分数除法（甚至更广）的统一法则——除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数。预设的教学推进逻辑与思维发展台阶如下：从“包含除”情境切入，明确算式含义：选择“4米含几个2/3米”这一典型的包含除情境，既贴近生活，又能清晰表达“整数÷分数”的数学意义。先进行估算（商大于4），既培养了数感，也为后续理解“除数小于1，商大于被除数”做了铺垫。“画图法”提供直观支撑，验证结果：画线段图是解决此类问题的“通用直观语言”。通过将4米均分3份，再以2/3米为单位去量，学生能直观“数”出结果为6。这为算理推理提供了可信的结果参照，也照顾了形象思维型学生的学习需求。“推理法”揭示算法本质，是教学重点：这是本节课思维训练的核心。从“1米含几个2/3米？”这一子问题入手，将抽象的“1÷2/3”转化为具体的“（3/3）÷（2/3）=3÷2”，学生相对容易理解。得出1÷2/3=3/2后，教师要及时点明“这等于1乘2/3的倒数”。这一步至关重要，它是连接具体计算与抽象算法的桥梁。进而类推到4米，完成“4÷2/3=4×3/2”的推导。这个推理过程，清晰地展示了“÷分数”如何自然而然地转化为“×倒数”。“验证—猜想—归纳”实现算法统一：在学生初步得出“整数除以分数等于乘倒数”后，通过更多例子加以验证，巩固认知。然后，引导学生回顾“分数除以整数”的算法（上节课内容），发现它们形式上惊人的一致。这时，提出猜想：“分数除以分数呢？”学生的思维会自然地迁移，猜想出“也应该是乘倒数”。教师可以简要验证（或告知数学家已验证），从而水到渠成地引导学生用一句更概括、更有力的话来总结所有这些情况。当学生自己说出“除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数”时，他们就完成了一次漂亮的数学抽象和概括，获得了认知上的巨大满足感。“商与除数关系”的深度探讨：这是对算法理解的深化和应用。通过对比“4÷2/3=6（商大）”和“4÷2=2（商小）”，引导学生发现规律并尝试解释。结合情境（每段短，段数多）和倒数的性质（除数小于1，其倒数大于1），可以多角度理解这一规律，培养学生的分析能力和数感。可能存