2023年全国中学生数学能力测评终评高三年级组试卷真题（答案详解）

2023年全国中学生数学能力测评终评高三年级组试卷真题（答案详解）2023年全国中学生数学能力测评（终评）试题

高三年级组

（试题总分：150分答题时间：120分钟）

★温馨提示：请将答案写在答题纸上。一、基础能力部分（共60分，每题5分）1.题目一组数据为3，5，1，6，8，2，记这组数据的上四分位数为μ，则二项式(2x−1答案与详解答案：60详解：首先计算上四分位数μ。将数据从小到大排列为：1，2，3，5，6，8。样本量n=6，上四分位数的位置为n×75%=6×0.75=4.5，根据四分位数计算规则，位置为小数时，取第5项数据，故μ=6。二项式为(2x−1x)令展开式中x的指数为0，即6−3r将r=4代入通项，可得常数项为(−1)2.题目已知锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，且(b2−答案与详解答案：(1,2)详解：由三角形面积公式S=12acsin⁡B因为△ABC为锐角三角形，sin⁡B≠0，两边同时除以sin⁡B，得由余弦定理b2=a2+c2又因为a=kc，则cos⁡B=由于△ABC为锐角三角形，所有角均为锐角，即0<B<π2，故0<cos⁡B<1，即同时，角A、C也为锐角，结合正弦定理asinA=csinC，a=kc可得3.题目预制菜指以农、畜、禽、水产品为原辅料，配以调味料等经预选、调制等工艺加工而成的半成品。近几年预制菜市场快速增长。某城市调查近4个月的预制菜市场规模y（万元）得到如表所示的数据，根据数据得到y关于x的非线性回归方程y^x1234yeeee答案与详解答案：e详解：对非线性回归方程y^=ex+a两边取自然对数，得ln⁡计算样本中心点(x,z)：x=1+2+3+44=2.5，z1因为样本中心点在线性回归方程上，代入z^=x+a，得4.5=2.5+a，解得因此，非线性回归方程为y^=ex+2。当x=8时，4.题目在三棱锥P-ABC中，AB=AC=22，∠BAC=120∘，答案与详解答案：40π详解：首先处理△ABC，由AB=AC=22，∠BAC=120∘，根据余弦定理计算BC的长度：由于PB=PC=26计算AO₁和PO₁的长度：在△ABC中，AO₁为中线（也是高），AO₁=AB⋅cos⁡60在△AO₁P中，AO₁=2，PO₁=32，PA=25，验证满足AO设三棱锥外接球的球心为O，半径为R。由于平面AO₁P⊥平面ABC，且△AO₁P、△ABC均为等腰三角形，球心O必在PO₁上。设O₁O=d，则PO=32−d，由外接球性质，AO=PO=R，故2+d2=32−d进而R=2+(425.题目设定义在R上的可导函数f(x)与g(x)的导函数分别为f′(x)和g′(x)。若f(x)=g(2x−1)+2x，答案与详解答案：-1详解：由f(x+1)为偶函数，得f(x+1)=f(−x+1)，两边求导得f′(x+1)=−f由g(x)为偶函数，得g(x)=g(−x)，两边求导得g′(x)=−g′(−x)对f(x)=g(2x−1)+2x求导，得f′由f′(x)关于x=1对称，得f′(1+x)=f令t=2x，则g′(1+t)=g′(1−t)，即g因此，g′令x=1，代入f′(x)=2g′(2x−1)+2，得f′(1)=2g′(1)+2。又因为因此，g′(2023)=−g′(1)=1？（此处修正：重新推导，由g′(x)6.题目设函数f(x)=2x−cos⁡x，{an}是公差为π答案与详解答案：3π详解：令g(x)=f(x)−x=x−cos⁡x，则g′由f(a1)+f(a2因为{an}是公差为π8的等差数列，所以又因为a1=a3−π4，a2=因此，原式化简为g(a3)+5a3=5π，即(a3−cos⁡则a3−π8=π2−π7.题目某班一天上午有语文、数学、政治、英语、历史5节课，现要安排该班上午的课程表，要求历史课不排在第一节，语文课和数学课相邻，不同的排法总数是__________。答案与详解答案：48详解：采用“捆绑法”+“插空法”求解。第一步，将语文课和数学课捆绑在一起，视为一个整体，有A2第二步，将这个捆绑整体与政治、英语两门课程进行排列，共有3个元素，排列方式有A3第三步，安排历史课，要求历史课不排在第一节，因此只能从除第一个空以外的3个空里选择一个插入，有3种选择。根据分步乘法计数原理，总的排法数为2×6×3=48种。8.题目已知a=eπ，b=π答案与详解答案：a>b>c详解：首先比较a和b：令f(x)=lnxx（x>e），求导得f′(x)=1−ln因为π>e，所以f(π)<f(e)，即lnππ<lnee=1e再比较b和c：b=πe，c=(2)π=2π2综上，a>b>c。9.题目某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店这三天售出的商品最少有__________种。答案与详解答案：29详解：设三天售出的商品种类总数为N，第一天独有的商品种类数为A，第二天独有的为B，第三天独有的为C，前两天共有的为3（已知），后两天共有的为4（已知），三天都共有的为x（x≥0）。根据题意，第一天售出的商品数：A+3=19，解得A=16；第二天售出的商品数：B+3+4−x=13（后两天共有的4种中，包含三天都共有的x种，故第二天与第三天独有的共有4-x种），解得B=6+x；第三天售出的商品数：C+4=18，解得C=14。总数N=A+B+C+3+4−x=16+(6+x)+14+3+4−x=29。当x=0时，B=6，此时总数最小，为29种。因此，这三天售出的商品最少有29种。10.题目如图，在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点，现将△AFD沿AF折起，使平面AFD⊥平面ABC，在平面AFD内过点D作DK⊥AB，K为垂足，设AK=t，则t的取值范围是__________。答案与详解答案：(详解：建立空间直角坐标系，折叠前长方形ABCD中，设A为原点(0,0,0)，AB为x轴，AD为y轴，折叠后平面AFD⊥平面ABC，故z轴垂直于平面ABC。折叠后，AD=1（不变），设F点坐标为(2,y,0)（y∈(1,2)，因为E为DC中点，DC=AB=2，故E(2,1,0)，F在线段EC上，EC对应y从1到2）。平面AFD的方程：由A(0,0,0)、F(2,y,0)、D(0,0,h)（h为折叠后D到平面ABC的距离），平面AFD的法向量为AF→因为平面AFD⊥平面ABC，平面ABC的法向量为(0,0,1)，故两平面法向量点积为0，符合题意。DK⊥AB，AB为x轴，故DK垂直于x轴，K点坐标为(t,0,0)，D点坐标为(0,0,h)，则DK→=(t,0,−h)，AB→=(2,0,0)，满足因为F在线段EC上，y∈(1,2)，故t=111.题目在区间(−π,π)内随机取出两个数分别记为a、b，则函数f(x)=x答案与详解答案：3详解：函数f(x)=x2+2ax−计算判别式：Δ=(2a)2题目可转化为：在平面直角坐标系aOb中，区域D为−π<a<π，−π<b<π（正方形区域，边长为2π，面积SD=(2π)区域a2+b2≥π2在D内的面积=正方形面积-圆的面积（圆的半径为π，圆心在原点，在正方形内的部分为完整的圆），即4π2−π×π2=4π2−π3？（修正：圆的面积为12.题目已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1（答案与详解答案：(−详解：首先求数列{an}的通项公式。由an+1=2an因此，an+1=2×2接下来化简数列{1(an+2)(an+1采用裂项相消法，令1(2n+1)(2n+1+1)前n项和Tn因为Tn是单调递增数列（随着n增大，12n+1+1减小，Tn增大），故Tn的最小值为T1=13−15=215？（修正：T1=1(1+2)(2+2)=13×4=112，重新裂项：正确裂项应为二、综合能力部分（共90分）13.题目在△ABC中，AB=1，BC=3，在AC的右侧取点D，构成平面四边形ABCD。（1）若cos⁡B+cos⁡D=0（2）若AD=CD=2，当四边形ABCD的面积最大时，求对角线BD的长。答案与详解（1）答案：3详解：由cos⁡B+cos⁡D=0，∠B=120在△ABC中，由余弦定理得AC2=A在△ACD中，设AD=m，CD=n，由余弦定理得AC2=由基本不等式，m2+n2≥2mn△ACD的面积S△ACD=12mnsin⁡D=1（2）答案：7详解：四边形ABCD的面积S=S首先计算S△ABC：由AB=1，BC=3，∠B=θ（设∠ABC=θ），则△ACD中，AD=CD=2，设∠ACD=φ，则S△在△ABC中，AC²=1+9-2×1×3×cosθ=10-6cosθ，故8−8cosφ=10−6cosθ，化简得4cosφ=3cosθ−1。四边形面积S=32sin⁡θ+2sin⁡φ，将在△BCD中，BC=3，CD=2，AC=√7，结合余弦定理，求得BD=√7。14.题目如图，在四棱锥S-ABCD中，SD⊥平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，∠ADC=（1）求二面角S-BC-A的余弦值；（2）设P是棱BC上一点，E是SA的中点，若PE与平面SAD所成角的正弦值为226答案与详解（1）答案：39详解：建立空间直角坐标系，以D为原点，DC为x轴，DA为y轴，DS为z轴，各点坐标为：D(0,0,0)，A(0,2,0)，B(2,2,0)，C(1,0,0)，S(0,0,2)。求平面ABC和平面SBC的法向量：平面ABC的向量：AB→=(2,0,0)，AC→=(1,−2,0)，法向量平面SBC的向量：BC→=(−1,−2,0)，SC→=(1,0,−2)\boxed{i}&\boxed{j}&\boxed{k}\\-1&-2&0\\1&0&-2\end{vmatrix}=4\boxed{i}-2\boxed{j}+2\boxed{k}$，取简化后法向量$\boxed{n_2}=(2,-1,1)$。设二面角$S-BC-A$的平面角为$\