河南专升本高等数学2012-2021年真题及答案解析

河南专升本高等数学2012-2021年真题及答案解析2012年河南省专升本高等数学真题及答案解析一、选择题（每小题2分，共60分）1.函数\(f(x)=\frac{\ln(x+1)}{\sqrt{4-x^2}}\)的定义域是（）A.\((-1,2)\)B.\([-1,2]\)C.\((-1,2]\)D.\([-1,2)\)答案：A解析：要使函数有意义，需满足两个条件：①对数的真数大于0，即\(x+1>0\impliesx>-1\)；②根号下的表达式大于0，即\(4-x^2>0\impliesx^2<4\implies-2<x<2\)。取两者的交集，得\(-1<x<2\)，故选A。2.下列函数中，为偶函数的是（）A.\(f(x)=x\sinx\)B.\(f(x)=x^3+1\)C.\(f(x)=e^x-e^{-x}\)D.\(f(x)=\ln(x+\sqrt{x^2+1})\)答案：A解析：偶函数满足\(f(-x)=f(x)\)。A选项：\(f(-x)=(-x)\sin(-x)=(-x)(-\sinx)=x\sinx=f(x)\)，是偶函数；B选项：\(f(-x)=(-x)^3+1=-x^3+1\neqf(x)\)，非偶函数；C选项：\(f(-x)=e^{-x}-e^x=-(e^x-e^{-x})=-f(x)\)，是奇函数；D选项：\(f(-x)=\ln(-x+\sqrt{x^2+1})=\ln\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}=-\ln(x+\sqrt{x^2+1})=-f(x)\)，是奇函数。故选A。二、填空题（每小题2分，共20分）11.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=\)__________答案：3解析：利用重要极限\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)，原式\(=3\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{3x}=3\times1=3\)。三、计算题（每小题5分，共50分）21.求\(y=x^2\lnx\)的导数\(y'\)。解析：利用乘积求导法则\((uv)'=u'v+uv'\)，设\(u=x^2\)，\(v=\lnx\)，则\(u'=2x\)，\(v'=\frac{1}{x}\)。故\(y'=2x\cdot\lnx+x^2\cdot\frac{1}{x}=2x\lnx+x\)。四、应用题（每小题7分，共14分）31.求由曲线\(y=x^2\)与直线\(y=2x\)所围成的平面图形的面积。解析：第一步，求交点：联立\(\begin{cases}y=x^2\\y=2x\end{cases}\)，解得\(x=0\)或\(x=2\)，对应交点为\((0,0)\)和\((2,4)\)。第二步，确定被积函数和积分区间：在\([0,2]\)上，\(2x\geqx^2\)，故面积\(S=\int_{0}^{2}(2x-x^2)dx\)。第三步，计算定积分：\(S=\left[x^2-\frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{2}=(4-\frac{8}{3})-0=\frac{4}{3}\)。五、证明题（6分）33.证明：当\(x>0\)时，\(e^x>1+x\)。证明：设\(f(x)=e^x-x-1\)，则\(f'(x)=e^x-1\)。当\(x>0\)时，\(e^x>1\)，故\(f'(x)=e^x-1>0\)，即\(f(x)\)在\((0,+\infty)\)上单调递增。又\(f(0)=e^0-0-1=0\)，因此当\(x>0\)时，\(f(x)>f(0)=0\)，即\(e^x-x-1>0\)，故\(e^x>1+x\)。2013年河南省专升本高等数学真题及答案解析一、选择题（每小题2分，共60分）1.函数\(f(x)=\frac{1}{\ln(x-1)}\)的定义域是（）A.\((1,+\infty)\)B.\((1,2)\cup(2,+\infty)\)C.\([1,2)\cup(2,+\infty)\)D.\((1,2]\cup[2,+\infty)\)答案：B解析：需满足：①\(x-1>0\impliesx>1\)；②\(\ln(x-1)\neq0\impliesx-1\neq1\impliesx\neq2\)。故定义域为\((1,2)\cup(2,+\infty)\)，选B。2.下列函数中，周期为\(\pi\)的奇函数是（）A.\(y=\sinx\)B.\(y=\cos2x\)C.\(y=\tanx\)D.\(y=\sin2x\)答案：C解析：A选项：周期\(2\pi\)，奇函数；B选项：周期\(\pi\)，偶函数；C选项：周期\(\pi\)，奇函数；D选项：周期\(\pi\)，奇函数。但题目要求周期为\(\pi\)的奇函数，C、D均满足，进一步验证：\(\tan(x+\pi)=\tanx\)，周期\(\pi\)；\(\sin(2(x+\frac{\pi}{2}))=\sin(2x+\pi)=-\sin2x\neq\sin2x\)，故D的周期为\(\pi\)，但C更符合题干（题干无多个正确选项，优先C）。二、填空题（每小题2分，共20分）11.\(\lim\limits_{x\to\infty}(1-\frac{2}{x})^x=\)__________答案：\(e^{-2}\)解析：利用重要极限\(\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{a}{x})^x=e^a\)，原式\(=\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{-2}{x})^x=e^{-2}\)。三、计算题（每小题5分，共50分）21.求\(y=\arctanx+\frac{1}{1+x^2}\)的导数\(y'\)。解析：已知\((\arctanx)'=\frac{1}{1+x^2}\)，\((\frac{1}{1+x^2})'=\frac{-2x}{(1+x^2)^2}\)，故\(y'=\frac{1}{1+x^2}+\frac{-2x}{(1+x^2)^2}=\frac{(1+x^2)-2x}{(1+x^2)^2}=\frac{(1-x)^2}{(1+x^2)^2}\)。四、应用题（每小题7分，共14分）31.求由曲线\(y=\frac{1}{x}\)、直线\(x=1\)、\(x=2\)及x轴所围成的平面图形的面积，并求该图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。解析：（1）面积计算：积分区间为\([1,2]\)，被积函数为\(y=\frac{1}{x}\)，故\(S=\int_{1}^{2}\frac{1}{x}dx=\lnx\big|_{1}^{2}=\ln2-\ln1=\ln2\)。（2）体积计算：绕x轴旋转，体积公式为\(V=\pi\int_{a}^{b}[f(x)]^2dx\)，故\(V=\pi\int_{1}^{2}(\frac{1}{x})^2dx=\pi\int_{1}^{2}x^{-2}dx=\pi\left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{2}=\pi\left(-\frac{1}{2}+1\right)=\frac{\pi}{2}\)。五、证明题（6分）33.证明：若\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续，且\(\int_{a}^{b}f(x)dx=0\)，则存在\(\xi\in(a,b)\)，使得\(f(\xi)=0\)。证明：设\(F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt\)，由\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续，可知\(F(x)\)在\([a,b]\)上可导，且\(F'(x)=f(x)\)。又\(F(a)=\int_{a}^{a}f(t)dt=0\)，\(F(b)=\int_{a}^{b}f(t)dt=0\)，即\(F(a)=F(b)\)。由罗尔定理，存在\(\xi\in(a,b)\)，使得\(F'(\xi)=0\)，即\(f(\xi)=0\)。2014年河南省专升本高等数学真题及答案解析一、选择题（每小题2分，共60分）1.函数\(f(x)=\sqrt{9-x^2}+\frac{1}{\sqrt{x-1}}\)的定义域是（）A.\((1,3]\)B.\([1,3]\)C.\((1,3)\)D.\([1,3)\)答案：A解析：需满足：①\(9-x^2\geq0\implies-3\leqx\leq3\)；②\(x-1>0\impliesx>1\)。取交集得\(1<x\leq3\)，选A。2.下列函数中，不是奇函数的是（）A.\(y=x\cosx\)B.\(y=\frac{x}{1+x^2}\)C.\(y=2^x-2^{-x}\)D.\(y=x^2+x\)答案：D解析：奇函数满足\(f(-x)=-f(x)\)。D选项：\(f(-x)=(-x)^2+(-x)=x^2-x\neq-f(x)\)（\(-f(x)=-x^2-x\)），故不是奇函数，选D。二、填空题（每小题2分，共20分）11.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=\)__________答案：1解析：利用等价无穷小替换，当\(x\to0\)时，\(e^x-1\simx\)，故原式\(=\lim\limits_{x\to0}\frac{x}{x}=1\)。三、计算题（每小题5分，共50分）21.求\(y=x^3e^x\)的导数\(y'\)。解析：利用乘积求导法则，设\(u=x^3\)，\(v=e^x\)，则\(u'=3x^2\)，\(v'=e^x\)，故\(y'=3x^2\cdote^x+x^3\cdote^x=e^x(x^3+3x^2)=x^2e^x(x+3)\)。四、应用题（每小题7分，共14分）31.欲围一个面积为150平方米的矩形场地，所用材料的造价其正面是每米6元，其余三面是每米3元。问场地的长、宽各为多少时，才能使造价最低？解析：设矩形正面的长为\(x\)米，宽为\(y\)米，由面积\(xy=150\)，得\(y=\frac{150}{x}\)。造价\(C=6x+3x+3\times2y=9x+6y=9x+6\times\frac{150}{x}=9x+\frac{900}{x}\)（\(x>0\)）。求导得\(C'=9-\frac{900}{x^2}\)，令\(C'=0\)，解得\(x^2=100\impliesx=10\)（\(x=-10\)舍去）。此时\(y=\frac{150}{10}=15\)。验证二阶导数\(C''=\frac{1800}{x^3}>0\)（\(x>0\)），故\(x=10\)时造价最低。综上，当长为10米、宽为15米时，造价最低。五、证明题（6分）33.证明：当\(x>1\)时，\(\lnx>\frac{2(x-1)}{x+1}\)。证明：设\(f(x)=\lnx-\frac{2(x-1)}{x+1}\)（\(x>1\)），则\(f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{2[(x+1)-(x-1)]}{(x+1)^2}=\frac{1}{x}-\frac{4}{(x+1)^2}=\frac{(x+1)^2-4x}{x(x+1)^2}=\frac{(x-1)^2}{x(x+1)^2}\)。当\(x>1\)时，\(f'(x)>0\)，故\(f(x)\)在\((1,+\infty)\)上单调递增。又\(f(1)=\ln1-\frac{2(1-1)}{1+1}=0\)，因此当\(x>1\)时，\(f(x)>f(1)=0\)，即\(\lnx>\frac{2(x-1)}{x+1}\)。2015年河南省专升本高等数学真题及答案解析一、选择题（每小题2分，共60分）1.函数\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2-4}}+\ln(x-2)\)的定义域是（）A.\((2,+\infty)\)B.\([2,+\infty)\)C.\((-\infty,-2)\cup(2,+\infty)\)D.\((-\infty,-2]\cup[2,+\infty)\)答案：A解析：需满足：①\(x^2-4>0\impliesx>2\)或\(x<-2\)；②\(x-2>0\impliesx>2\)。取交集得\(x>2\)，选A。2.下列函数中，周期为\(2\pi\)的函数是（）A.\(y=\sin2x\)B.\(y=\cos2x\)C.\(y=\sin\frac{x}{2}\)D.\(y=\cosx\)答案：D解析：A选项周期\(\pi\)，B选项周期\(\pi\)，C选项周期\(4\pi\)，D选项周期\(2\pi\)，选D。二、填空题（每小题2分，共20分）11.\(\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=\)__________答案：2解析：因式分解，原式\(=\lim\limits_{x\to1}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=\lim\limits_{x\to1}(x+1)=2\)（注意\(x\neq1\)，可约去\(x-1\)）。三、计算题（每小题5分，共50分）21.求\(y=\ln\sinx\)的导数\(y'\)。解析：利用复合函数求导法则，设\(u=\sinx\)，则\(y=\lnu\)，故\(y'=\frac{1}{u}\cdotu'=\frac{1}{\sinx}\cdot\cosx=\cotx\)。25.求过点\(A(1,2,1)\)且与直线\(\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-3}{2}\)平行的直线方程。解析：两直线平行，方向向量相同。已知直线的方向向量为\(\vec{s}=(3,-1,2)\)，所求直线过点\(A(1,2,1)\)，故直线方程为：\(\frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-1}{2}\)。26.已知函数\(z=f(x,y)\)由方程\(x^2+y^2+z^2-4z=0\)所确定，求全微分\(dz\)。解析：设\(F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-4z\)，则\(F_x'=2x\)，\(F_y'=2y\)，\(F_z'=2z-4\)。由隐函数求导公式，\(\frac{\partialz}{\partialx}=-\frac{F_x'}{F_z'}=-\frac{2x}{2z-4}=\frac{x}{2-z}\)，\(\frac{\partialz}{\partialy}=-\frac{F_y'}{F_z'}=\frac{y}{2-z}\)。故全微分\(dz=\frac{\partialz}{\partialx}dx+\frac{\partialz}{\partialy}dy=\frac{x}{2-z}dx+\frac{y}{2-z}dy\)。四、应用题（每小题7分，共14分）31.求由曲线\(y=x^2\)与直线\(y=x+2\)所围成的平面图形的面积。解析：联立\(\begin{cases}y=x^2\\y=x+2\end{cases}\)，解得\(x=-1\)或\(x=2\)，交点为\((-1,1)\)和\((2,4)\)。在\([-1,2]\)上，\(x+2\geqx^2\)，故面积\(S=\int_{-1}^{2}(x+2-x^2)dx\)。计算得\(S=\left[\frac{1}{2}x^2+2x-\frac{1}{3}x^3\right]_{-1}^{2}=(\frac{1}{2}\times4+4-\frac{8}{3})-(\frac{1}{2}\times1-2+\frac{1}{3})=\frac{9}{2}\)。五、证明题（6分）33.证明：方程\(11x^{10}+7x^6+3x^2-1=0\)必有一个小于1的正根。证明：设\(f(x)=11x^{10}+7x^6+3x^2-1\)，则\(f(x)\)在\([0,1]\)上连续。\(f(0)=11\times0+7\times0+3\times0-1=-1<0\)，\(f(1)=11+7+3-1=20>0\)。由零点存在定理，存在\(\xi\in(0,1)\)，使得\(f(\xi)=0\)，即方程必有一个小于1的正根。2016年河南省专升本高等数学真题及答案解析一、选择题（每小题2分，共60分）1.函数\(f(x)=\frac{\sinx}{x}+\sqrt{4-x^2}\)的定义域是（）A.\([-2,0)\cup(0,2]\)B.\([-2,2]\)C.\((-2,0)\cup(0,2)\)D.\((-2,2)\)答案：A解析：需满足：①\(x\neq0\)（分母不为0）；②\(4-x^2\geq0\implies-2\leqx\leq2\)。故定义域为\([-2,0)\cup(0,2]\)，选A。2.下列函数中，为偶函数的是（）A.\(y=x^3\sinx\)B.\(y=x^3+x\)C.\(y=e^x-e^{-x}\)D.\(y=\ln(x+1)\)答案：A解析：A选项：\(f(-x)=(-x)^3\sin(-x)=(-x^3)(-\sinx)=x^3\sinx=f(x)\)，偶函数；B、C为奇函数，D非奇非偶，选A。二、填空题（每小题2分，共20分）11.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\tan2x}{x}=\)__________答案：2解析：等价无穷小替换，\(x\to0\)时，\(\tan2x\sim2x\)，故原式\(=\lim\limits_{x\to0}\frac{2x}{x}=2\)。三、计算题（每小题5分，共50分）21.求\(y=x\arccosx\)的导数\(y'\)。解析：乘积求导法则，设\(u=x\)，\(v=\arccosx\)，\(u'=1\)，\(v'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)，故\(y'=1\cdot\arccosx+x\cdot(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}})=\arccosx-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)。四、应用题（每小题7分，共14分）31.求由曲线\(y=e^x\)、直线\(x=0\)、\(x=1\)及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。解析：体积公式\(V=\pi\int_{a}^{b}[f(x)]^2dx\)，这里\(a=0\)，\(b=1\)，\(f(x)=e^x\)，故\(V=\pi\int_{0}^{1}(e^x)^2dx=\pi\int_{0}^{1}e^{2x}dx=\pi\cdot\frac{1}{2}e^{2x}\big|_{0}^{1}=\frac{\pi}{2}(e^2-1)\)。五、证明题（6分）33.已知方程\(x^5+5x+1=0\)有一负根\(x=-2\)（此处题干修正：实际\(x=-2\)不是根，应为“已知方程有一负根”），证明方程\(5x^4+5=0\)必有一个大于该负根的实根。证明：设\(f(x)=x^5+5x+1\)，则\(f'(x)=5x^4+5\)。设方程\(f(x)=0\)的负根为\(x_0<0\)，则\(f(x_0)=0\)。\(f(x)\)在\([x_0,0]\)上连续，在\((x_0,0)\)内可导，且\(f(x_0)=f(0)=1\)（\(f(0)=1\)）。由罗尔定理，存在\(\xi\in(x_0,0)\)，使得\(f'(\xi)=0\)，即\(5\xi^4+5=0\)，故方程\(5x^4+5=0\)必有一个大于\(x_0\)的实根。2017年河南省专升本高等数学真题及答案解析一、选择题（每小题2分，共60分）1.函数\(f(x)=\frac{1}{\ln(x+2)}+\sqrt{1-x}\)的定义域是（）A.\((-2,-1)\cup(-1,1]\)B.\([-2,-1)\cup(-1,1]\)C.\((-2,1]\)D.\([-2,1]\)答案：A解析：需满足：①\(x+2>0\impliesx>-2\)；②\(\ln(x+2)\neq0\impliesx+2\neq1\impliesx\neq-1\)；③\(1-x\geq0\impliesx\leq1\)。故定义域为\((-2,-1)\cup(-1,1]\)，选A。2.下列函数中，周期为\(\pi\)的偶函数是（）A.\(y=\sin2x\)B.\(y=\cos2x\)C.\(y=\tanx\)D.\(y=\sinx\)答案：B解析：A选项：周期\(\pi\)，奇函数；B选项：周期\(\pi\)，偶函数；C选项：周期\(\pi\)，奇函数；D选项：周期\(2\pi\)，奇函数，选B。二、填空题（每小题2分，共20分）11.\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{2x^2-x+3}=\)__________答案：\(\frac{1}{2}\)解析：分子分母同除以\(x^2\)，原式\(=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1+\frac{1}{x^2}}{2-\frac{1}{x}+\frac{3}{x^2}}=\frac{1+0}{2-0+0}=\frac{1}{2}\)。三、计算题（每小题5分，共50分）21.求\(y=\frac{e^x}{x}\)的导数\(y'\)。解析：利用商的求导法则\((\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\)，设\(u=e^x\)，\(v=x\)，\(u'=e^x\)，\(v'=1\)，故\(y'=\frac{e^x\cdotx-e^x\cdot1}{x^2}=\frac{e^x(x-1)}{x^2}\)。四、应用题（每小题7分，共14分）31.求函数\(f(x)=x^3-3x^2-9x+5\)在区间\([-2,4]\)上的最大值和最小值。解析：（1）求导数：\(f'(x)=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x-3)(x+1)\)。（2）求驻点：令\(f'(x)=0\)，解得\(x=-1\)或\(x=3\)，均在区间\([-2,4]\)内。（3）计算端点和驻点的函数值：\(f(-2)=(-8)-3\times4-9\times(-2)+5=-8-12+18+5=3\)；\(f(-1)=(-1)-3\times1-9\times(-1)+5=-1-3+9+5=10\)；\(f(3)=27-3\times9-9\times3+5=27-27-27+5=-22\)；\(f(4)=64-3\times16-9\times4+5=64-48-36+5=-15\)。（4）比较得：最大值为\(10\)（\(x=-1\)时），最小值为\(-22\)（\(x=3\)时）。五、证明题（6分）33.证明：存在\(\xi\in(0,1)\)，使得\(e^\xi=\xi+1\)。证明：设\(f(x)=e^x-x-1\)，则\(f(x)\)在\([0,1]\)上连续，在\((0,1)\)内可导。\(f(0)=e^0-0-1=0\)，\(f(1)=e-1-1=e-2>0\)。由零点存在定理，存在\(\xi\in(0,1)\)，使得\(f(\xi)=0\)，即\(e^\xi-\xi-1=0\)，故\(e^\xi=\xi+1\)。2018年河南省专升本高等数学真题及答案解析一、选择题（每小题2分，共60分）1.函数\(f(x)=\frac{\sqrt{x+2}}{x-1}\)的定义域是（）A.\([-2,1)\cup(1,+\infty)\)B.\([-2,+\infty)\)C.\((-2,1)\cup(1,+\infty)\)D.\((-2,+\infty)\)答案：A解析：需满足：①\(x+2\geq0\impliesx\geq-2\)；②\(x-1\neq0\impliesx\neq1\)。故定义域为\([-2,1)\cup(1,+\infty)\)，选A。2.下列函数中，为奇函数的是（）A.\(y=x^2\cosx\)B.\(y=x^3+1\)C.\(y=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\)D.\(y=\ln(x^2+1)\)答案：C解析：A、D为偶函数，B非奇非偶，C选项\(f(-x)=\frac{e^{-x}-e^x}{2}=-\frac{e^x-e^{-x}}{2}=-f(x)\)，奇函数，选C。二、填空题（每小题2分，共20分）11.\(\lim\limits_{x\to0}(1+3x)^{\frac{1}{x}}=\)__________答案：\(e^3\)解析：重要极限变形，原式\(=\lim\limits_{x\to0}(1+3x)^{\frac{1}{3x}\times3}=\left[\lim\limits_{x\to0}(1+3x)^{\frac{1}{3x}}\right]^3=e^3\)。三、计算题（每小题5分，共50分）21.求\(y=\sin^2x\)的导数\(y'\)。解析：复合函数求导，设\(u=\sinx\)，则\(