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文档简介

Gauss型数值求积公式正交多项式及其零点数值微分方法数值积分与数值微分应用《数值分析》22

第1页

高斯型数值求积公式

考虑两点插值型求积公式

为使代数精度尽可能高,取

f(x)=1,x,x2,x3(1)(2)(3)(4)(4)-(2)×x02x12=x02(3)-(1)×x02x02=1/32/18第2页显然,A0=1,A1=1.代数精度为3数值求积公式为

对于[a,b]区间上定积分,结构变换t∈[-1,1]3/18第3页定义

假如求积结点x0,x1,······,xn,使插值型求积公式代数精度为2n+1,则称该求积公式为Gauss型求积公式.称这些求积结点为Gauss点.定理7.2

假如多项式wn+1(x)=(x–x0)(x–x1)···(x–xn)与任意不超出n次多项式P(x)正交，即则,wn+1(x)全部零点x0,x1,······,xn

是Gauss点

证实:设f(x)是任意(2n+1)次多项式,由多项式除法4/18第4页结构插值型求积公式,有

因为

Q(xk)=Q(xk)+wk+1(xk)P(xk)=f(xk)其中,P(x),Q(x)均为n次多项式.两端积分，得其中,所以插值结点为wn+1(x)零点5/18第5页例证实多项式

是[–1,1]上正交多项式.证:显然两点Gauss公式得Gauss点插值公式:6/18第6页三点Gauss数值求积公式Legendre多项式递推式

7/18第7页例.用两点Gauss公式计算解:作变换

x=0.5(t+1),则取=0.9460411MATLAB函数:

sinint(1)=0.9460830703671838/18第8页例.测得一个运动物体距离D(t)数据以下t8.09.010.011.012.0D(t)17.4521.4625.7530.3035.08用数值微分求速率v(10)9/18第9页Tylor展开方法一阶向前差商一阶向后差商10/18第10页二阶中心差商一阶中心差商11/18第11页隐式方法:

设xk=a+kh,(k=0,1,···,n)值令mk=f’(xk)

(k=0,1,···,n)k=1,2,···,n-112/18第12页Lagrange插值函数方法xk=x0+kh(k=0，1，2)

13/18第13页14/18第14页外推算法15/18第15页拉普拉斯方程边值问题

O1x1y

xi=ih，(i=0，1，…，n)

yj=

jh，(j=0，1，…，n)取h=1/n16/18第16页O1x1y(i,j=1，…，n-1)n2 102 202 402 外推

k(次) 152 5421985 694T(秒) 0.2193.187 47.89

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