教学材料《电路基础》-7

7.1引言

我们最熟悉和最常用的家用电器采用的都是交流电，如电视、电脑、照明灯、冰箱、空调等家用电器。即便是像收音机、复读机等采用直流电源的家用电器也是通过稳压电源将交流电转变为直流电后使用。这些电器设备的电路模型在交流电路中的规律与直流电路中的规律是不一样的，因此分析交流电路的特征及相应电路模型的交流响应是我们的重要任务。前面章节所接触到的电量，都是大小和方向不随时间变化的稳恒直流电。本章介绍的单相正弦交流电，其电量的大小和方向均随时间按正弦规律周期性变化，是交流电中的一种。这里随不随时间变化是交流电与直流电之间的本质区别。下一页返回7.1引言

在日常生产和生活中，广泛使用的都是本章所介绍的正弦交流电，这是因为正弦交流电在传输、变换和控制上有着直流电不可替代的优点，单相正弦交流电路的基本知识则是分析和计算正弦交流电路的基础，深刻理解和掌握本章内容，十分有利于后面相量分析法的掌握。通过学习R,L,C三大电路元件的基本特性，我们要特别注意理解它们对正弦交流电流呈现的阻力的不同之处，其中电阻与频率无关，电阻元件在阻碍电流的同时伴随着能量消耗，感抗与频率与正比，容抗和频率成反比，这两个电抗在阻碍电流的过程中没有能量消耗，这些问题应深刻理解。上一页返回7.2知识结构和教学要求1.知识结构(1)正弦交流电路的基本概念;(2)正弦量的有效值;(3)交流电路中的常用元件;2.教学要求(1)熟练掌握正弦电路的基本概念;(2)熟练掌握正弦量的有效值概念以及有效值与最大值之间的数量关系;(3)三大基本电路元件在正弦交流电路中的伏安关系及功率和能量问题。返回7.3教学内容7.3.1正弦交流电路的基本概念学习目标:熟悉正弦量的三要素以及相位的超前和滞后。在正弦交流电路中，电压和电流的大小和方向随时间按正弦规律变化。凡按照正弦规律变动的电压、电流等统称为正弦量。一、正弦量的三要素正弦量随时间变化，对应每一时刻的数值称为瞬时值，分别用u,a和e等来表示。以电流为例，依据正弦量的概念，设某支路中正弦电流a在选定参考方向下的瞬时值表达式为下一页返回7.3教学内容式中，Im,w。ψ1和甲分别为振幅、角频率和初相位。称为正弦量的三要素。其波形如图7一1所示。1.振幅正弦量在一个周期内的最大值称为振幅(也叫幅值、峰值)。用带下标的大写字母表示。如Im、Um及Em分别表示电流、电压及电动势的最大值。

2.频率与周期周期是指正弦量变化一个循环所需要的时间，用T来表示;正弦量每秒内变化的次数称为频率f，它的单位是赫兹}Hz)o频率是周期的倒数，即上一页下一页返回7.3教学内容

在我国和大多数国家都采用50Hz作为电力标准频率，习惯上称为工频。角频率是指交流电在Is内变化的电角度。若交流电Is

内变化了f次，则可得角频率与频率的关系式为上一页下一页返回7.3教学内容

周期、频率和角频率从不同的角度反映了同一个问题:正弦量随时间变化的决慢程度。例7一1已知某正弦交流电压为;u=311sin314tV，求该电压的最大值、频率、角频率和周期各为多少?解：上一页下一页返回7.3教学内容3.初相wt+ψi称为相位，是正弦量随时间变化的电角度，是时间的函数;ψi称为初相，是对应t=0时刻的相位，即初相确定了正弦计时开始的位置。初相的正负和大小与计时起点的选择有关。通常在|ψi|<=π的主值范围内取值。如果离坐标原点最近的正弦量的正值出现在时间起点之前，则ψi>0;如果离坐标原点最近的正弦量的正值出现在时间起点之后，则ψi<0。上一页下一页返回7.3教学内容

正弦量的振幅称为它的第一要素，第一要素反映了正弦量的做功能力;角频率(或频率、周期)为正弦量的第二要素，第二要素指出了正弦量随时间变化的快慢程度;初相是正弦量的第三要素，确定了正弦量计时开始的位置。一个正弦量，只要明确了它的三要素，则这个正弦量就是唯一地确定的。因此，表达一个正弦量时，也只需表达出其三要素即可。二、正弦量的相位差上一页下一页返回7.3教学内容相位差指的是两个同频率正弦量之间的相位之差，由于同频率正弦量之间的相位之差实际上就等于它们的初相之差，因此相位差就是两个同频率正弦量的初相之差。注意:不同频率的正弦量之间是没有相位差的概念而言的，如图7一2所示。份图7一2中图7一3中电压u和电流i的相位差为上一页下一页返回7.3教学内容可见两个同频率正弦量的相位差在任何时刻都是常数，即等于他们的初相之差。规定ψ的取值范围是|ψ|<=π.

如图7一3所示，如果

ψ=ψn一ψi>0，称。超前iψ角度，简称称。超前i0ψ=ψn一ψi<0，称。滞后iψ角度，或为i超前uψ角度。

ψ=ψn一ψi=0，称。与i同相，简称同相。其特点是:两正弦量同时达到正大值，或同时过零点。Ψ=ψn--ψi=+-π/2称u与i正交，其特点是:当一个正弦量的值达到最大时，另一个正弦量的值刚好是零。上一页下一页返回7.3教学内容Ψ=ψn--ψi=+-π称u与i反相。其特点是:当一个正弦量为正最大值时另一个正弦量刚好是负的最大值。例7-2已知试分析二者的相位关系。解:U1的初相为θ1=120,U2的初相为θ2=一90,U1和U2的相位差为考虑到|ψ|<=π，故可以将ψ12=210。表示ψ12=--360+210=--150<0表明U1

滞后于U2150.上一页下一页返回7.3教学内容7.3.2正弦量的有效值学习目标:掌握正弦量有效值和最大值之间的换算关系。正弦量的最大值和瞬时值都不能正确反映它的做功能力，因此引人有效值的概念:与一个交流电热效应相同的直流电的数值定义为这个交流电的有效值。根据焦耳一楞次定律，当周期电流信号I(t)流过电阻R时，一个周期T内电阻所消耗的能量为上一页下一页返回7.3教学内容直流电流I流过电阻R时，在相同时间T内，该电阻消耗的能量为即如果上述两种情况中，电阻R消耗的能量相同，上一页下一页返回7.3教学内容则此电流I即为周期电流信号i(t)的有效值。由于有效值等于周期电流瞬时值的平方在一个周期中的平均值的平方根，因此又称为方均根值，通常以大写字母表示。当周期电流为正弦电流时，将可得正弦电流的有效值I为上一页下一页返回7.3教学内容同理，周期电压u(t)的有效值可定义为正弦电压的有效值为因此，正弦量的有效值等于其振幅1/√2，与角频率w。和ψ初相、无关。所以，弦量也可表示为上一页下一页返回7.3教学内容

有效值在工程中应用十分广泛，实验室中的交流电流表和电压表的刻度是指其有效值，交流电机和电器的铭牌上所标注的额定电压或电流是指有效值，通常所说的民用交流电的电压为220V，指的也是其电压的有效值。例7一3已知某交流电压为V，这个交流电压的最大值和有效值分别为多少?解:上一页下一页返回7.3教学内容

例7一4已知某正弦电压在，t=0时为110√2V，初相角为300，求其有效值。解:此正弦电压表达式为上一页下一页返回7.3教学内容7.3.3交流电路中的常用元件学习目标:熟悉电阻、电容和电感元件在交流电路中的等效。一、电阻元件电阻元件电流和电压的瞬时关系对线性电阻，在正弦交流电的激励下，其伏安关系在任一瞬间服从欧姆定律，故有IR=UR/R如图7-4所示假设：则上一页下一页返回7.3教学内容有效值式中为了书写方便，省略下标R，下同。

2.电阻元件伏安关系的相量表示上式表明电阻的电流和电压之间的相位关系为同相，将电流电压分别用相量式表示上一页下一页返回7.3教学内容此为电阻元件VCR的相量形式。相量图如图7一5(b)所示。

3.电阻元件的功率瞬时功率P:元件上电压的瞬时值与电流的瞬时值的乘积叫做该元件的瞬时功率。上一页下一页返回7.3教学内容有功功率P:计算瞬时功率的平均值，即平均功率，又叫有功功率。功率的单位为瓦(W)，工程上也常用千瓦(kW)。二、电感元件电感元件电流和电压的瞬时关系上一页下一页返回7.3教学内容设一电感元件，其电压、电流和电感电势采用关联参考方向，如图7一6所示。设通过电感的电流瞬时值为式中，Ukm=wLIm或UL=wLI。定义，称XL=WL=2πfL为XL单位为Ω则上一页下一页返回7.3教学内容感抗XL所呈现的物理意义是:对于一定的电感L，当频率增高时，其所呈现的感抗增大;反之亦然。又有由此可知电感上的电压相位超前电流90。2.电感元件电压与电流的相量关系由于则上一页下一页返回7.3教学内容

上式为电感元件VCR的相量式，它不但表示了电感电压和电流的大小关系，同时也表示了两者之间的相位关系。3.电感元件的功率瞬时功率:有功功率:上一页下一页返回7.3教学内容电感元件中储存的磁场能量:无功功率QL电感元件上电压的有效值和电流的有效值的乘积。无功功率的单位为“乏”(var)工程中也常用“千乏”(kvar}0例7-5流过电感元件中的电流为，无功功率QL=500var求:(1)XL和L.(2)电感元件中储存的最大磁场能量WLM上一页下一页返回7.3教学内容三、电容元件1.电容元件电流和电压的瞬时关系若一电容元件上的电压和电流采用关联参考方向，如图7一7所示。设电容电压为则电容电流为上一页下一页返回7.3教学内容上式中或上一页下一页返回7.3教学内容XC称为电容的容抗。它的物理意义是:当电容(}一定时，频率越高，电容对交流电流所呈现的阻碍作用越小。即容抗越小，当f=0时，XC一∞，电容相当于开路。又有表明电容上的电流、电压同频，但电容上电流相位超前电压相位90.2.电容元件电压与电流的相量关系由于则上一页下一页返回7.3教学内容上式为电容元件VCR的相量形式，它同时表示了电容元件电压与电流的大小及相位关系。3.电容元件的功率电容的储能为上一页下一页返回7.3教学内容

注意:u)电容的储能只与当时的电压值有关，电容电压不能跃变，反映了储能不能跃变;(2)电容储存的能量一定大于或等于零。从t1时刻到，t2时刻电容储能的变化量为:由此可见电容能在一段时间内吸收外部供给的能量，转化为电场能量储存起来，在另一段时间内又把能量释放回电路，因此电容元件是无源元件、是储能元件，它本身不消耗能量。上一页返回本章小结1.在正弦交流电路中，电压和电流的大小和方向随时间按正弦规律变化。凡按照正弦规律变动的电压、电流等统称为正弦量。

2.正弦量的三要素。(1)振幅。正弦量在一个周期内的最大值称为振幅(也叫幅值、峰值)。(2)频率与周期。周期是指正弦量变化一个循环所需要的时间，用T来表示;正弦量每秒内变化的次数称为频率f，它的单位是赫兹(Hz)。频率是周期的倒数，即下一页返回本章小结

在我国和大多数国家都采用50Hz作为电力标准频率，习惯上称为工频。

(3)初相。Wt+ψi称为相位，是正弦量随时间变化的电角度，是时间的函数;ψi称为初相，是对应t=0时刻的相位，即初相确定了正弦计时开始的位置。初相的正负与大小与计时起点的选择有关。通常在|ψi|<=π的主值范围内取值。如果离坐标原点最近的正弦量的正值出现在时间起点之前，则ψi>0;如果离坐标原点最近的正弦量的正值出现在时间起点之后，则ψi<0。3.正弦量的相位差。上一页下一页返回本章小结

相位差指的是两个同频率正弦量之间的相位之差，由于同频率正弦量之间的相位之差实际上就等于它们的初相之差，因此相位差就是两个同频率正弦量的初相之差。如果ψ=ψn一ψi>0，称u超前Icp角度，简称称u超前i0如果ψ=ψn一ψi<0，称u滞后icp角度，或为i超前ucp角度。如果ψ=ψn一ψi=0，称u与i同相，简称同相。其特点是:两正弦量同时达到正最大值，或同时过零点。如果ψ=ψn一ψi=+-π/2，称;‘与/正交，其特点是:当一个正弦量的值达最大时，另一个正弦量的值刚好是零。上一页下一页返回本章小结如果ψ=ψn一ψi=+-π反相。其特点是:当一个正弦量为正最大值时，另一个正弦量刚好是负的最大值。

4.正弦量的有效值。正弦量的最大值和瞬时值都不能正确反映它的做功能力，因此引人有效值的概念:与一个交流电热效应相同的直流电的数值定义为这个交流电的有效值。根据焦耳一楞次定律，当周期电流信号i(t)流过电阻R时，一个周期T内电阻所消耗的能量为上一页下一页返回本章小结正弦电流的有效值I为同理，周期电压u(t)的有效值可定义为上一页下一页返回本章小结正弦电压的有效值为因此，正弦量的有效值等于其振幅1/√2与角频率w和初相ψ无关。所以，弦量也可表示为5.交流电路中的常用元件。(1)电阻元件。电阻元件电流和电压的关系上一页下一页返回本章小结有效值电阻元件的相量表示电阻元件的功率瞬时功率P:元件上电压的瞬时值与电流的瞬时值的乘积叫做该元件的瞬时功率。上一页下一页返回本章小结有功功率p:计算瞬时功率的平均值，即平均功率，又叫有功功率。电阻的能量:(2)电感元件。电感元件电流和电压的瞬时关系则上一页下一页返回本章小结式中，Ulm,=wIm,或Ul,=wI。定义XL=WL=2πfL称XL为感抗，单位为Ω则感抗XL:所呈现的物理意义是:对于一定的电感L，当频率增高时，其所呈现的感抗增大;反之亦然。又有上一页下一页返回本章小结由此可知电感上的电压相位超前电流90电感元件电压与电流的相量关系为电感元件的功率瞬时功率:有功功率:上一页下一页返回本章小结电感元件中储存的磁场能量:无功功率QL电感元件上电压的有效值和电流的有效值的乘积。无功功率的单位为“乏”(var)，工程中也常用“千乏”(kvar)(3)电容元件。电容元件电流和电压的瞬时关系上一页下一页返回本章小结设电容电压为则电容电流为上式中或上一页下一页返回本章小结XC称为电容的容抗。它的物理意义是:当电容C一定时，频率越高，电容对交流电流所呈现的阻碍作用越小。即容抗越小，当f=0时，XC一∞，电容相当于开路。又有表明电容上的电流、电压同频，但电容上电流相位超前电压相位90.电容元件电压与电流的相量关系上一页返回习题7一1元件在交流电路中电压与电流的相位差为多少?判断下列表达式的正误)①i=U/R②I=U/R③i=Um/R④i=u/R7一2纯电感元件在交流电路中电压与电流的相位差为多少?感抗与频率有何关系？判断下列表达式的正误。①i=u/XL②I=U/WL③i=u/WL④i=Um/WL7一3纯电容元件在交流电路中电压与电流的相位差为多少?容抗与频率有何关系?判断下列表达式的正误。①