机械工程测试技术基础（第三版）段富海-第一章 信号及其描述

第一章信号及其描述第一节信号的分类与描述第二节周期信号与离散频谱第三节瞬变非周期信号与连续频谱第四节随机信号本章内容：

信号分解——傅立叶级数、傅立叶变换;

信号分解后描述——频谱图，将信号在时域中的描述转变为频率中的描述。

DATE:2026/5/141ifmelectronicgmbh第一节信号的分类与描述

通过传感器及测量电路，将被测非电量转变成电信号，如电压、电流信号，这些信号便于观察、记录和分析。在这些信号中包含有多种信息，如机床振动信号就包含幅值、频率和相位等信息。信号形式是多种多样的，从不同的角度有不同的分类方法。在动态测试中，信号可作为时间函数来讨论。一、信号分类1.确定性信号、非确定性信号（随机信号）按信号随时间变化的规律划分为确定性信号和非确定性信号。DATE:2026/5/142ifmelectronicgmbh第一节信号的分类与描述

①确定性信号：可以用明确的数学关系来描述，在实验上可重复产生。即给一个时间，就可确定一个相应的函数值，如压电晶体受力作用产生电荷输出，电容极间距变化产生电容变化输出。又分为周期信号和非周期信号。

周期信号：按一定时间间隔周而复始地重复出现，无始无终的信号。

有明确数学关系，有周期DATE:2026/5/143ifmelectronicgmbh例：集中参量的单自由度系统做无阻尼自由振动第一节信号的分类与描述DATE:2026/5/144ifmelectronicgmbh第一节信号的分类与描述

复杂的周期信号是由频率比为有理数的不同频率的正弦信号迭加而成。其频率比为有理数，所以是周期函数，周期的确定是根据各频率值最大公约数的倒数来确定。DATE:2026/5/145ifmelectronicgmbh第一节信号的分类与描述

非周期信号：有明确数学关系，无周期。非周期信号又有准周期信号和瞬变非周期信号。准周期信号是由两种以上的周期信号合成的，但其组成分量间无法找到公共周期，因而无法按一定时间间隔周而复始地重复出现。DATE:2026/5/146ifmelectronicgmbh第一节信号的分类与描述

弹簧振子+阻尼衰减到零瞬变非周期信号是一些或在一定时间区间内存在，或随着时间的增长而衰减至零的信号。DATE:2026/5/147ifmelectronicgmbh第一节信号的分类与描述

②非确定性信号（随机信号）不能用明确的数学关系来描述，只能用概率、数理统计的方法来描述，如干扰噪声。③复合信号：确定性信号+随机信号

测试技术任务之一就是从噪声信号（随机信号）的背景下，提取我们感兴趣的信号（确定性信号）。2.连续信号和离散信号若信号数学表示式中的独立变量取值是连续的，则成为连续信号，否则是离散信号。DATE:2026/5/148ifmelectronicgmbh第一节信号的分类与描述若独立变量和幅值均取连续值的信号称为模拟信号。若离散信号的幅值也是离散的，则称为数字信号。DATE:2026/5/149ifmelectronicgmbh第一节信号的分类与描述思考题判断下列每个信号是否是周期的，如果是确定其最小周期。DATE:2026/5/1410ifmelectronicgmbh第一节信号的分类与描述

3.能量信号和功率信号不考虑量纲，把信号x(t)的平方及其对时间的积分分别称为信号的功率和能量。当满足：认为信号的能量是有限的，称为能量有限信号，简称能量信号。如：矩形脉冲信号、衰减指数函数等。功率：能量：DATE:2026/5/1411ifmelectronicgmbh第一节信号的分类与描述

若信号在区间（-∞，∞）的能量是无限的但它在有限区间（t1，t2）的平均功率是有限的称这种信号为功率有限信号，或功率信号图1-1是功率有限信号，图1-2是能量有限信号。注意：信号的功率和能量，未必有真实的相应量纲DATE:2026/5/1412ifmelectronicgmbh第一节信号的分类与描述二、信号的时域描述和频域描述信号的时域描述反映信号幅值随时间变化的关系，不能明显揭示信号的频率组成关系。为研究信号的频率结构和各频率成分的幅值、相位关系，把信号的时域描述通过适当方法变成信号的频域描述，即以频率为独立变量来表示信号。时域方波信号DATE:2026/5/1413ifmelectronicgmbh第一节信号的分类与描述

周期方波的傅立叶级数展开DATE:2026/5/1414ifmelectronicgmbh第一节信号的分类与描述

DATE:2026/5/1415ifmelectronicgmbh第一节信号的分类与描述

在信号分析中，将组成信号的各频率成分找出来，按序排列，得出信号的“频谱”，以频率为横坐标，分别以幅值和或相位为纵坐标，便得到信号的幅频谱或相频谱。DATE:2026/5/1416ifmelectronicgmbhDATE:2026/5/1417ifmelectronicgmbh相对平移T0/4产生nπ/2相角相同DATE:2026/5/1418ifmelectronicgmbh第一节信号的分类与描述

信号时域描述直观地反映了信号瞬时值随时间的变化情况。频域描述则反映信号的频率组成及其幅值、相角的大小。评定机器振动烈度，需用振动速度的均方根值来作为判据，需要采用时域描述。在找振源时，需要掌握振动信号频率分量，需要采用频域描述。两种描述方法能相互转换，包含同样的信息量。DATE:2026/5/1419ifmelectronicgmbh第二节周期信号与离散频谱一、傅立叶级数的三角函数展开式在有限区间上，满足狄里赫利条件的周期函数都可以展开成傅立叶级数，傅立叶级数的三角函数展开形式如下:注意：周期函数进行傅立叶级数展开，应满足狄里赫利条件，即只有第一类间断点，有限个极值点。三角函数形式：

DATE:2026/5/1420ifmelectronicgmbh第二节周期信号与离散频谱

三角函数形式：

将式中同频率项合并，可改写成

周期信号由一个或几个、乃至无多个不同频率的谐波叠加而成。由于n是整数序列，因而谱线是离散的。通常把称为基频把称为n次谐波。DATE:2026/5/1421ifmelectronicgmbh第二节周期信号与离散频谱

例1-1对如图周期性三角波进行频谱分析DATE:2026/5/1422ifmelectronicgmbh第二节周期信号与离散频谱

S1:常值分量：S2:余弦分量的幅值：S3:正弦分量的幅值：DATE:2026/5/1423ifmelectronicgmbh第二节周期信号与离散频谱

S4:周期性三角波的傅立叶级数：DATE:2026/5/1424ifmelectronicgmbh第二节周期信号与离散频谱

与图1-5比较，三角波信号的频谱比方波信号的频谱衰减得快。说明：1.三角波主要由低频成分，方波高频成分；2.通过时域波形的变化剧烈程度大概可以判断的频谱成分。常值分量、基波和奇次谐波的频率分量DATE:2026/5/1425ifmelectronicgmbh第二节周期信号与离散频谱二、傅立叶级数的复指数展开式傅立叶级数的复指数函数展开式：

欧拉公式：DATE:2026/5/1426ifmelectronicgmbh第二节周期信号与离散频谱

DATE:2026/5/1427ifmelectronicgmbh第二节周期信号与离散频谱傅里叶级数的复指数形式：其中：DATE:2026/5/1428ifmelectronicgmbh第二节周期信号与离散频谱幅频谱实频谱图虚频谱图相频谱1）复指数函数形式频谱为双边谱，三角函数形式频谱为单边谱；2）两种频谱各谐波副值上有确定关系；3）双边幅频谱为偶函数，双边相频谱为奇函数。实频谱图总是偶对称的，虚频谱图总是奇对称的。DATE:2026/5/1429ifmelectronicgmbh第二节周期信号与离散频谱

DATE:2026/5/1430ifmelectronicgmbh第二节周期信号与离散频谱只有实频谱图

只有虚频谱图

与纵轴偶对称

与纵轴奇对称

DATE:2026/5/1431ifmelectronicgmbh第二节周期信号与离散频谱

周期信号频谱的特点：离散性：周期信号的频谱是离散的；谐波性：每条谱线只出现在基波频率的整倍数上，间隔n

ωo，基波频率是诸分量频率的公约数；收敛性：各频率分量的谱线高度表示该谐波的幅值或相位角，n

ωo

，An0由收敛性可知，信号的中高次谐波分量很小，所以其对信号波形的影响很小，有时可以忽略。在一定的误差范围内，只考虑有限的频率分量：从0频率到所必须考虑的最高次谐波分量之间的频段称为信号的频带宽度。信号的频带宽度是一个重要的概念，这在信号处理中，在设计和选用测试装置时要充分注意。信号的频带指信号包含频率成份的范围。DATE:2026/5/1432ifmelectronicgmbh第二节周期信号与离散频谱

三、周期信号的强度表述

峰值峰-峰值xp-p

在测试仪器的线性区域周期信号的均值

信号的常值分量

DATE:2026/5/1433ifmelectronicgmbh第二节周期信号与离散频谱

绝对均值

全波整流后的均值

有效值，均方根值

均方值，平均功率信号平均能量

DATE:2026/5/1434ifmelectronicgmbh第二节周期信号与离散频谱绝对均值有效值均值峰值DATE:2026/5/1435ifmelectronicgmbh第三节瞬变非周期信号与连续频谱

非周期信号：有明确数学关系，无周期。非周期信号包括准周期信号和瞬变非周期信号两种。DATE:2026/5/1436ifmelectronicgmbh第三节瞬变非周期信号与连续频谱矩形脉冲信号指数衰减信号衰减震荡信号单一脉冲DATE:2026/5/1437ifmelectronicgmbh第三节瞬变非周期信号与连续频谱

一、傅立叶变换

非周期信号的频谱是连续的，可将其理解为由无限多个、频率无限接近的频率成分所组成。DATE:2026/5/1438ifmelectronicgmbh

第三节瞬变非周期信号与连续频谱X(ω)为x(t)的傅立叶变换，

x(t)为X(ω)的傅立叶逆变换傅立叶积分傅立叶变换存在的条件：1）满足狄里赫利条件；2）在无限区间上绝对可积。DATE:2026/5/1439ifmelectronicgmbh第三节瞬变非周期信号与连续频谱

互为傅立叶变换对

避免了傅里叶变换中的常数因子

一般是实变量的复函数非周期信号的频谱：|X(f)|－f连续幅值谱密度图

(f)－f连续相位谱密度图DATE:2026/5/1440ifmelectronicgmbh第三节瞬变非周期信号与连续频谱

例1-3求矩形窗函数W(t)的频谱

窗宽为T。若在时域中截取信号的一段，则相当于原信号与矩形窗函数之乘积。DATE:2026/5/1441ifmelectronicgmbh第三节瞬变非周期信号与连续频谱

矩形窗函数W(t)的频谱：

由于

DATE:2026/5/1442ifmelectronicgmbh第三节瞬变非周期信号与连续频谱

定义：抽样函数是偶函数，以2π为周期，随着增加而做衰减震荡，信号分析中常用。DATE:2026/5/1443ifmelectronicgmbh第三节瞬变非周期信号与连续频谱

W(f)函数只有实部，没有虚部。幅值频谱为

其相位频谱视sinc(πfT)的符号而定，当为正值时，相角为零，为负值时，相角为π主瓣，宽度2/T

旁瓣旁瓣T越大，频带越小DATE:2026/5/1444ifmelectronicgmbh第三节瞬变非周期信号与连续频谱

非周期信号频谱的特点：非周期信号的频谱是连续的，(-,+)dω0；非周期信号可以分解为一系列不同频率正弦信号之和；各正弦分量的幅值趋向无穷小量。注意：非周期信号的幅值谱与周期信号的幅值谱有差异，|Cn|的量纲与信号的幅值量纲一致；而|X(f)|的量纲与信号的幅值不一样，是单位频带上的幅值，是频谱密度函数。DATE:2026/5/1445ifmelectronicgmbh第三节瞬变非周期信号与连续频谱

二、傅立叶变换的主要性质（一）奇偶虚实性

一般X(f)是实变量f的复变函数

一个非周期信号的时域描述和频域描述依靠傅立叶变换来确定彼此一一对应的关系。DATE:2026/5/1446ifmelectronicgmbh第三节瞬变非周期信号与连续频谱

如果x(t)为实函数，则X(f)一般为具有实部和虚部的复函数，且实部为偶函数，虚部为奇函数如果x(t)为实偶函数，则ImX(f)=0,X(f)将是实偶函数，即X(f)=ReX(f)=X(-f)如果x(t)为实奇函数，则ReX(f)=0,X(f)将是虚奇函数，即X(f)=-jImX(f)=-X(-f)如果x(t)为虚函数，则上述结论的虚实位置也互相交换

DATE:2026/5/1447ifmelectronicgmbh第三节瞬变非周期信号与连续频谱

（二）对称性利用这个性质可以利用已知的傅立叶变换对得出相应的变换对

DATE:2026/5/1448ifmelectronicgmbh第三节瞬变非周期信号与连续频谱

DATE:2026/5/1449ifmelectronicgmbh第三节瞬变非周期信号与连续频谱

（三）时间尺度改变特性当时间尺度压缩（k>1）时，频谱的频带加宽，幅值压低；当时间尺度扩展时（k<1）时，频谱变窄，幅值增高。DATE:2026/5/1450ifmelectronicgmbh第三节瞬变非周期信号与连续频谱

时间尺度压缩时间尺度扩展DATE:2026/5/1451ifmelectronicgmbh第三节瞬变非周期信号与连续频谱

例如：把记录磁带慢录快放，即时间尺度压缩，这虽然可以提高信号处理的效率，但所得到的信号（放演信号）频带加宽。倘若后续处理设备（放大器、滤波器等）的通频带不够宽，就会导致失真。反之，快录慢放，即时间尺度扩展，则放演信号的带宽边窄，对后续处理设备的通频带要求可以降低，但信号处理的效率就随之降低。DATE:2026/5/1452ifmelectronicgmbh第三节瞬变非周期信号与连续频谱

（四）时移和频移特性DATE:2026/5/1453ifmelectronicgmbh第三节瞬变非周期信号与连续频谱

将信号在时域中平移，则其幅值频谱不变，而相频谱中相角的改变量和频率成正比：

DATE:2026/5/1454ifmelectronicgmbh相对平移T0/4产生nπ/2相角不变DATE:2026/5/1455ifmelectronicgmbh第三节瞬变非周期信号与连续频谱

（五）卷积特性的卷积定义为：

记作：

DATE:2026/5/1456ifmelectronicgmbh第三节瞬变非周期信号与连续频谱

DATE:2026/5/1457ifmelectronicgmbh第三节瞬变非周期信号与连续频谱

（六）微分和积分特性DATE:2026/5/1458ifmelectronicgmbh第三节瞬变非周期信号与连续频谱

DATE:2026/5/1459ifmelectronicgmbh第三节瞬变非周期信号与连续频谱

三、几种典型信号的频谱（一）矩形窗函数的频谱

一个时域有限区间内有值的信号，其频谱却延伸至无限频率。若在时域中截取一段记录长度，相当于原信号和矩形窗函数之乘积，因而所得频谱是原信号频域函数和sinc函数的卷积，它将是连续的、频率无限延伸的频谱。从频谱图(1-12)中可以看到，在f=0～±1/T之间的谱峰，幅值最大，称为主瓣。两侧其它谱峰的峰值较低，称为旁瓣。主瓣宽度为2/T，与时域窗宽度T成反比。可见时域窗宽T愈大，即截取信号时长愈大，主瓣宽度愈小。DATE:2026/5/1460ifmelectronicgmbh第三节瞬变非周期信号与连续频谱

f=0～±1/T之间的谱峰，幅值最大，称为主瓣两侧其它谱峰的峰值较低，称为旁瓣主瓣宽度为2/T，与时域窗宽度T成反比DATE:2026/5/1461ifmelectronicgmbh第三节瞬变非周期信号与连续频谱

（二）δ函数及其频谱

1.δ函数（单位脉冲函数）的定义在ε时间内激发一个矩形脉冲Sε(t)(或三角形脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲等)，其面积为1。当ε→0时，Sε(t)的极限就称为δ函数，记作δ（t）。DATE:2026/5/1462ifmelectronicgmbh第三节瞬变非周期信号与连续频谱

（二）δ函数及其频谱

1.δ函数（单位脉冲函数）的定义从函数值极限角度看：从面积的角度看：

面积即为δ函数的强度

DATE:2026/5/1463ifmelectronicgmbh第三节瞬变非周期信号与连续频谱

2.δ函数的采样性质如果δ函数与某一连续函数f(t)相乘，显然其乘积仅在t=0处为f(0)δ(t),其余各点（t≠0）之乘积均为零，即是一个强度为f(0)的δ函数。从函数值看，该乘积趋于无限大，从面积（强度）看为f(0)。对于有延时t0的δ函数δ（t-t0）,它与连续函数f(t)的乘积只在t=t0时刻不为零，而等于强度为f(t0)的δ函数。DATE:2026/5/1464ifmelectronicgmbh第三节瞬变非周期信号与连续频谱

采样性质表明，任何函数f(t)和δ(t-t0)的乘积是一个强度为f(t0)的δ函数，而该乘积在无限区间的积分是f(t)在t=t0时刻的函数值f(t0)。这个性质对连续信号的离散采样是十分重要的。3.δ函数与其它函数的卷积

一个矩形函数x(t)与δ函数δ(t)的卷积为:

采样性质DATE:2026/5/1465ifmelectronicgmbh第三节瞬变非周期信号与连续频谱

同理,当δ函数为δ（t±t0）时

可见，函数x(t)与δ函数卷积的结果就是在发生δ函数的坐标位置上（以此作为坐标原点）简单地将x(t)重新构图。

任何函数和δ函数δ(t)卷积是一种最简单的卷积积分。

采样性质DATE:2026/5/1466ifmelectronicgmbh第三节瞬变非周期信号与连续频谱

DATE:2026/5/1467ifmelectronicgmbh第三节瞬变非周期信号与连续频谱

4.δ(t)的频谱

在时域的δ函数具有无限宽广的频谱，在所有的频段上都是等强度的（均匀谱）。DATE:2026/5/1468ifmelectronicgmbh第三节瞬变非周期信号与连续频谱

时域→←频域δ（t）单位瞬时脉冲1均匀频谱密度函数1幅值为1的直流分量δ（f）在f=0处有脉冲谱线δ（t-t0）δ函数的时移t0

各频率成分分别相移2πft0角δ（f-f0）δ（f）频移到f0根据傅立叶变换的对称性和时移/频移特性，可得到下列变换对:DATE:2026/5/1469ifmelectronicgmbh第三节瞬变非周期信号与连续频谱

（三）正、余弦函数的频谱密度函数

可认为正、余弦函数是把频域中的两个δ函数向不同方向频移后之差或和的傅立叶逆变换DATE:2026/5/1470ifmelectronicgmbh第三节瞬变非周期信号与连续频谱

（四）等间隔周期单位脉冲序列的频谱傅里叶级数的复指数函数形式DATE:2026/5/1471ifmelectronicgmbh第三节瞬变非周期信号与连续频谱

时域周期单位脉冲序列的频谱也是周期脉冲序列。若时域周期为Ts，则频域脉冲序列的周期为1/Ts，时域脉冲强度为1，频域中强度为1/TsDATE:2026/5/1472ifmelectronicgmbh第三节瞬变非周期信号与连续频谱

DATE:2026/5/1473ifmelectronicgmbh第四节随机信号

一、概述

随机信号是不能用确定的数学关系式来描述的，不能预测其未来任何瞬时值，任何一次观测值只代表在其变动范围中可能产生的结果之一，但其值的变动服从统计规律。对随机信号按时间历程所作的各次长时间观测记录称为样本函数，记作xi(t)。样本函数在有限时间上的部分，称为样本记录。在同一试验条件下，全部样本函数的集合（总体）就是随机过程，记作{x(t)}即{x(t)}={x1(t),x2(t),…xi(t),…}DATE:2026/5/1474ifmelectronicgmbh第四节随机信号

DATE:2026/5/1475ifmelectronicgmbh第四节随机信号

随机过程的各种平均值（均值、方差、均方值和均方根值等）是按集合平均来计算的。

集合平均不是沿某个样本的时间轴进行的，而是将集合中所有样本函数对同一时刻ti的观测值取平均。时间平均按单个样本的时间历程进行平均计算。平稳随机过程/非平稳随机过程平稳随机过程是指其统计特征参数不随时间而变化的随机过程，否则为非平稳随机过程。DATE:2026/5/1476ifmelectronicgmbh第四节随机信号

各态历经在平稳随机过程中，若任一单个样本函数的时间平均统计特征等于该过程的集合平均统计特征，叫各态历经（遍历性）随机过程。实际的测试工作常把随机信号按各态历经过程来处理，进而以有限长度样本记录的观察分析来推断、估计被测对象的整个随机过程。这样任一个样本都可把整体的各种可能出现的情况显示出来。对各态历经的随机过程，我们可以在任一时刻取任意一个样本进行分析，这就使得信号的分析处理简化了。在一般工程上遇到的随机信号很多具有或近似具有各态历经性质。如：通信系统中的信号和噪声，硬脆材料动态磨削力信号。DATE:2026/5/1477ifmelectronicgmbh第四节随机信号

二、随机信号的主要特征参数对于各态历经信号：均值表示信号的常值分量方差描述随机信号的波动分量方差的平方根叫标准偏差σx

均方值描述随机信号的强度均方值的正平方根成为均方根值xrms

（一）均值、方差和均方值DATE:2026/5/1478ifmelectronicgmbh第四节随机信号

均值、方差、均方值的相互关系是对于集合平均，则t1时刻的均值和均方值当均值时，DATE:2026/5/1479ifmelectronicgmbh第四节随机信号

（二）概率密度函数随机信号的概率密度函数是表示信号落在指定区间的概率。

x(t)值落在（x,x+Δx）区间内的时间为Tx:当样本函数的记录时间T趋于无穷大时，Tx/T的比值就是幅值落在（