《多元统计分析》（第6版）课件 第11章：多维标度法理论与应用

多维标度法理论与应用CONTENTS目录01多维标度法概述02多维标度法模型与距离阵03古典解的计算与优良性04非度量法与相似系数矩阵CONTENTS目录05多维标度法的步骤与实现06案例分析07总结与思考多维标度法概述01多维标度法的核心概念多维标度法（MDS）是通过一系列技巧，使研究者识别出受测者对样品进行评价的关键维数的统计方法。其核心在于通过样品间的相似性或偏好判断，推导出构成评价结论的内在维数。多维标度法的核心作用多维标度法可确定受测者评价样品时使用的维数、维数数量、各维数相对重要性，以及帮助获得样品关联的感性认识。多维标度法的应用场景广泛应用于市场研究（识别顾客对产品/服务/公司评价的关键维数）、自然属性比较（如食品口味、气味）、政治候选人或事件了解、不同群体文化差异评估等领域。多维标度法的定义与作用学习目标

模型理解目标深入理解多维标度法的模型原理，包括两因子和三因子的度量和非度量多维标度模型等。

求解方法掌握目标了解多维标度法求解的古典法和非度量法，掌握古典解的计算步骤及非度量法中的Shepard-Kruskal算法等。

空间图维数解释目标能够解释维数在空间图中的表现，理解低维拟合构造点如何反映样品间的关系。

软件模块应用目标掌握实现多维标度法的软件模块，如SPSS软件中的Multidimensionalscaling模块的操作与结果解读。2026/5/14多维标度法模型与距离阵02多维标度模型分类

按因子数量划分包括两因子和三因子模型，用于描述样品在不同维度空间中的分布特征，通过多因子组合揭示数据内在结构。

按度量性质划分分为度量模型和非度量模型。度量模型基于定量数据的实际距离值构建；非度量模型仅利用数据的次序关系（如相似性排名）进行分析。

数据形式与个体差异模型数据为样品间的对称或不对称方阵（相似性数据）。在心理分析中，每个矩阵对应一个主体，对不同主体拟合不同参数的模型称为个体差异模型。2026/5/14距离阵的定义一个n×n矩阵D=(dij)，若满足Dᵀ=D（对称）、dii=0（对角线元素为0）、dij≥0（i≠j，非负），则称为距离阵。距离阵的特性定义的距离不一定满足通常距离的三角不等式，拓展了距离的概念，使其适用于更多实际场景中的数据描述。拓展意义为后续欧氏型距离阵的讨论奠定基础，通过放宽传统距离的严格条件，使多维标度法能处理更广泛的相似性或距离数据。距离阵的定义与拓展欧氏型距离阵

01欧氏型距离阵的定义一个距离阵D=(dij)称作欧氏型的，若存在正整数f及f维空间的n个点x₁,x₂,…,xₙ，使得d²ij=(xᵢ-xⱼ)ᵀ(xᵢ-xⱼ)（i,j=1,2,…,n）。

02判断欧氏型的定理设D是n×n距离阵，B由特定方式定义（bij=aij-i●-●j+●●），则D是欧氏型的当且仅当B≥0（B为非负定矩阵）。

03矩阵B的构造与性质B是X中心化后的内积阵，满足B=(HX)(HX)ᵀ≥0（HX为数据中心化矩阵）。若B≥0，其特征根非负，可通过特征分解构造欧氏空间中的点坐标。2026/5/14古典解的计算与优良性03构造矩阵A与B由距离阵D=(dij)构造矩阵A，其中aij=-0.5dij²；再通过A计算矩阵B，bij=aij-i●-●j+●●（i●、●j、●●分别为行平均、列平均、总平均）。求解B的特征根与特征向量计算B的特征根λ1≥λ2≥…≥λn，若存在负特征根则D非欧氏型。选取正特征根对应的正交化特征向量X(1),X(2),…,X(k)，满足X(i)ᵀX(i)=λi。确定维数k与拟合构造点依据累积贡献率a1,k（特征根占比）和a2,k（平方和占比）确定k，通常取k=2。令X=(X(1),X(2),…,X(k))，其行向量即为古典解的拟合构造点。古典解的求解步骤主坐标的定义与优良性主坐标的定义

设B的正特征根为λ1≥…≥λf，对应特征向量V(1),…,V(f)且V(i)ᵀV(i)=λi，称V1,…,Vn（Vk=(V(1),…,V(k))ᵀ）为X的k维主坐标。主坐标与主成分的关系

定理11.3表明：X的k维主坐标是将X中心化后n个样品的前k个主成分值，即HXTk=Vk（HX为中心化数据，Tk为前k个主成分载荷矩阵）。古典解的优良性

在所有k维构造点XΓ1（Γ1为正交阵）中，取Γ1=Tk时，拟合误差φ=Σ(Λdij²-dij²)最小，故k维主坐标是最优低维拟合构造点。2026/5/14非度量法与相似系数矩阵04非度量模型与Shepard-Kruskal算法非度量模型的核心思想非度量模型不要求拟合距离与原始数据严格数值对应，仅利用数据的秩次信息，通过未知单调增函数f建立拟合距离与原始数据的关系，即dij=f(Λdij+eij)，重点关注距离排序的一致性。Shepard-Kruskal算法步骤1.排序原始相似系数矩阵非对角元素；2.构造k维拟合构造点，计算拟合距离Λdij；3.对{dij}进行最小二乘单调回归，确定{d}使s²(Λ)=Σ(Λdij-d)²最小；4.计算压力指数sk，迭代优化至sk≤5%（优）或≤10%（可接受）。压力指数与模型评估2026/5/14相似系数矩阵相似系数矩阵的定义相似系数矩阵C=(cij)满足对称性（Cᵀ=C），且cij≤cii（i,j=1,2,…,n），反映样品间的相似程度，不要求cii=1，常见于聚类分析等场景。相似系数与距离阵的转换通过公式dij=√(cii+cjj-2cij)将相似系数矩阵C转换为距离阵D，其中dij≥0、dii=0且dij=dji，确保D符合距离阵定义。欧氏型距离阵的判定定理定理11.2：若相似系数矩阵C非负定（C≥0），则转换后的距离阵D为欧氏型。证明基于B=HAH≥0（H为中心化矩阵），由定理11.1可推得D满足欧氏距离条件。2026/5/14多维标度法的步骤与实现05多维标度法的实施步骤确定研究目的明确通过多维标度法希望解决的问题，如识别评价样品的关键维数、分析样品间的相似性或偏好关系等。选择样品与变量选取需要比较分析的样品，并确定原始变量，或直接获取样品间的距离矩阵、相似矩阵。选择求解方法根据数据类型和研究需求，选择古典法（基于主成分分析思想）或非度量法（如Shepard-Kruskal算法）等求解方法，分析距离矩阵或相似矩阵。确定维数通过特征根的累积贡献率等指标选择适当的维数，通常取k=1、2或3，以在低维空间中较好地呈现样品关系。结果解释与模型检验2026/5/14SPSS软件实现流程

数据输入与准备打开SPSS数据文件，确保数据格式正确，若输入原始变量需准备好样品的相关数据；若输入距离阵或相似阵，需按矩阵形式组织数据。

进入多维标度法模块依次点击Analyze→Scale→MultidimensionalScaling(ALSCAL)，进入多维标度法的主对话框。

变量选择与设置将需要分析的变量选入变量框；在Distances选项中，若输入的是距离阵选择“Dataaredistances”，若输入原始变量则选择“Createdistancesfromdata”，并设置距离计算方式（如欧氏距离）及变量标准化等。

模型与选项设置点击Model按钮，设置测量水平（如Interval、Ratio、Ordinal）、标度模型（如欧氏距离）、维数（通常默认2维）等；点击Options按钮，选择需要输出的结果（如空间匹配图、拟合散点图等）。

运行与结果查看完成设置后点击OK运行，SPSS将输出迭代历史、Stress和RSQ值、样品坐标、空间定位图及拟合散点图等结果，据此分析模型拟合效果和样品关系。2026/5/14案例分析06城市距离定位案例英国12个城市案例基于英国12个城市公路距离数据，计算B矩阵特征根，λ1=394473、λ2=63634，累积贡献率a1,2=92.6%、a2,2=99.8%，取k=2。通过前两特征向量得到二维坐标，绘制空间图实现城市位置还原。我国10个城市案例使用我国10个城市距离数据，SPSS中选比率尺度、欧氏距离模型，迭代3次后Stress=0.06259（<10%）、RSQ=0.98505（≈1）。二维坐标空间匹配图与实际地图相对位置吻合，体现正交变换不变性。模型拟合检验方法通过Stress值（越小越好，<5%优秀）和RSQ值（越大越好，接近1最佳）评估拟合效果，结合欧氏距离线性拟合散点图，点分布在y=x附近说明模型拟合理想。2026/5/14亚洲国家和地区经济水平分析案例数据处理与距离阵构建选取亚洲15个国家和地区的6个经济人口变量，SPSS中选择“从数据创建距离”，测量水平为间隔尺度，计算标准化欧氏距离，生成样品间距离阵。输出结果解读单击此处添加项正文二维平面图解释平面图直观呈现15个国家和地区的相对位置，距离近的国家/地区经济水平及人口状况相似，距离远则差异大。欧氏距离线性拟合散点图点集中在y=x附近，验证模型拟合有效性。2026/5/14大学综合水平差异分析案例

01数据与模型选择基于2025年高校综合得分构造10所大学差异矩阵，古典模型选比率尺度，非度量模型选顺序尺度。非度量模型通过Shepard-Kruskal算法，利用数据秩次构建单调回归关系。

02模型拟合效果对比古典模型Stress=0.08852、RSQ=0.92037；非度量模型Stress=0.04942（<5%）、RSQ=0.99089（更优）。非度量模型散点更集中于y=x直线，对有序尺度数据解释度更高。

03空间定位与分类结果非度量模型空间定位图将10所大学分为四类：清北（第一类）、复旦人大（第二类）、北师大等（第三类）、南大吉大（第四类），分类结果与高校排名一致，体现综合水平差异。2026/5/14总结与思考07多维标度法的关键要点总结核心模型类型包括度量模型（如欧氏型距离阵）和非度量模型（基于数据秩次，如Shepard-Kruskal算法），前者适用于间隔/比率尺度数据，后者适用于有序尺度数据。主要求解方法古典法：基于主成分分析思想，通过距离阵构造内积阵B，求解特征根与特征向量得到低维拟合构造点；非度量法：通过单调回归优化压力指数（Stress），保留数据次序关系。实施步骤1.确定研究目的与样品；2.选择距离/相似矩阵；3.选择求解方法（古典/非度量）；4.确定最优维数（