《导数的概念及其几何意义》课件

第五章15.1导数的概念及其意义5.1.2导数的概念及其几何意义学习目标1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程.2.理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念以及它们之间的关系.3.掌握函数平均变化率、瞬时变化率的求法.4.掌握导数的概念及其几何意义，会用导数的概念求简单函数在某点处的导数及曲线的切线问题.核心素养：数学抽象、直观想象、数学运算新知学习前面我们研究了两类变化率问题：一类是物理学中的问题，涉及平均速度和瞬时速度；另一类是几何学中的问题，涉及割线斜率和切线斜率.这两类问题来自不同的学科领域，但在解决问题时，都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法；问题的答案也有一样的表示形式.下面我们用上述思想方法研究更一般的问题.

平均变化率

瞬时变化率（导数）

典例剖析

容易发现，平均变化率

表示割线P0P的斜率.

典例剖析

下表给出了药物浓度的瞬时变化率的估计值.0.20.40.60.80.40导函数的概念

课堂小结1.平均变化率2.瞬时变化率（导数）3.导数的几何意义4.导函数12345678910111213141516A级必备知识基础练1718191.[探究点四(角度1)]若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为5x-y+1=0,则(

)A.f'(x0)>0 B.f'(x0)<0C.f'(x0)=0 D.f'(x0)不存在A解析

由切线方程可以看出其斜率是5,又曲线在该点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数,所以A正确.123456789101112131415161718192.[探究点三](多选题)若函数f(x)=3x3+2x2+x+1在x=x0处存在导数,则

A.与x0有关 B.与h有关C.与x0无关 D.与h无关AD解析

由导数的定义与函数f(x)=3x3+2x2+x+1知,f(x)在x=x0处的导数与x0有关,与h无关,故选AD.12345678910111213141516171819A12345678910111213141516171819C12345678910111213141516171819的坐标可能为(

)A.(3,3) B.(-3,-3)C.(9,1) D.(1,9)AB123456789101112131415161718196.[探究点二]设函数f(x)在点x0附近有定义,且有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b为常数),则f'(x0)=

.

A123456789101112131415161718197.[探究点四(角度2)]已知函数y=f(x)的图象如图所示,则y=f(x)在A,B两点处的导数f'(a)与f'(b)的大小关系为f'(a)

f'(b).(填“<”或“>”)

>解析

f'(a)与f'(b)分别表示函数图象在点A,B处的切线斜率,由图象可得f'(a)>f'(b).123456789101112131415161718198.[探究点四(角度1)]曲线y=x2-2x+3在点A(-1,6)处的切线方程是

.

4x+y-2=0123456789101112131415161718191234567891011121314151617181910.[探究点四(角度1)]已知函数y=f(x)=-x2+x图象上两点A(2,f(2)),B(2+Δx,f(2+Δx))(Δx>0).(1)若割线AB的斜率不大于-1,求Δx的取值范围;(2)求函数y=f(x)=-x2+x的图象在点A(2,f(2))处的切线的方程.由-3-Δx≤-1,得Δx≥-2.又因为Δx>0,所以Δx的取值范围是(0,+∞).12345678910111213141516171819(2)由(1)知函数y=f(x)=-x2+x的图象在点A(2,f(2))处切线的斜率为

又f(2)=-2,所以所求切线方程为y+2=-3(x-2),即y=-3x+4.B级关键能力提升练1234567891011121314151617181911.若曲线y=x+上任意一点P处的切线斜率为k,则k的取值范围是(

)A.(-∞,-1) B.(-1,1)C.(-∞,1) D.(1,+∞)C1234567891011121314151617181912.已知函数f(x)在R上有导函数,f(x)的图象如图所示,则下列不等式正确的是(

)A.f'(a)<f'(b)<f'(c)B.f'(b)<f'(c)<f'(a)C.f'(a)<f'(c)<f'(b)D.f'(c)<f'(a)<f'(b)A12345678910111213141516171819解析

如图,分别作曲线在x=a,x=b,x=c三处的切线l1,l2,l3,设切线的斜率分别为k1,k2,k3,易知k1<k2<k3,又f'(a)=k1,f'(b)=k2,f'(c)=k3,所以f'(a)<f'(b)<f'(c).故选A.1234567891011121314151617181913.(多选题)已知函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上的图象如图所示,则下列说法正确的是(

)A.f(x)在[a,b]上的平均变化率等于g(x)在[a,b]上的平均变化率B.f(x)在[a,b]上的平均变化率小于g(x)在[a,b]上的平均变化率C.对于任意x0∈(a,b),函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率总大于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率D.存在x0∈(a,b),使得函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率小于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率AD12345678910111213141516171819数f(x)在x=x0处的瞬时变化率是函数f(x)在x=x0处的导数,即函数f(x)的图象在该点处的切线的斜率,同理可得,函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率是函数g(x)在x=x0处的导数,即函数g(x)的图象在该点处的切线的斜率,由题中图象可知,当x0∈(a,b)时,函数f(x)的图象在x=x0处切线的斜率有可能大于g(x)的图象在x=x0处切线的斜率,也有可能小于g(x)在x=x0处切线的斜率,故C错误,D正确.故选AD.1234567891011121314151617181914.(多选题)近两年为抑制房价过快上涨,政府出台了一系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策.各地房产部门为尽快实现稳定房价,提出多种方案,其中之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务Q.已知房产供应量Q与时间t的函数关系如图所示,则在以下四种房产供应方案中,在时间[0,T]内供应率(单位时间的供应量)不逐步提高的是(

)ACD1234567891011121314151617181915.曲线f(x)=在x=-2处的导数为

,在点(-2,-1)处的切线方程为

.

x+2y+4=01234567891011121314151617181916.如图,函数f(x)的图象在点P处的切线方程为y=-2x+5,则f(2)+f'(2)=

.

-1解析

∵函数y=f(x)的图象在点x=2处的切线方程是y=-2x+5,∴f'(2)=-2,又P(2,f(2))为切点,∴f(2)=-4+5=1,∴f(2)+f'(2)=-2+1=-1.1234567891011121314151617181917.若抛物线y=x2-x+c上一点P的横坐标是-2,在点P处的切线恰好过坐标原点,则实数c的值为

.

41234567891011121314151617181918.已知直线y=4x+a和曲线y=f(x)=x3-2x2+3相切,求切点坐标及实数a的值.解

设直线与曲线相切于点P(x0,y0),则

12345678910111213141516171819C级学科素养创新练1234567891011121314151617181919.已知曲线y=x2,(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程;(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程.解

(1)设切点为(x0,y0),∴y'|x=1=2.∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.12345678910111213141516171819(2)点P(3,5)不在曲线y=x2上,设切点为A(x0,y0),由P(3,5)在所求直线上,得5-y0=2x0(3-x0),①再由A(x0,y0)在曲线y=x2上,得y