数学深度学习：核心要义、内在机制、实践模式

数学深度学习：核心要义、内在机制、实践模式摘要：数学深度学习是数学教育高质量发展的应有之义，需要厘清内涵、探究机制、推进实践。研究认为，数学深度学习是学生在有深层学习动机的状态下，通过亲身体验获得高阶思维，进而达成对数学知识内核深度理解，并将所学的知识与技能运用到新情景中以实现问题解决的学习。数学深度学习的内在机制是联动生成的，第一个是内发机制：由内在动机、亲身体验、高阶思维、深度理解、迁移应用五要素逐级进阶构成，第二个是内联机制：由四个理解和教育智慧两层级构成；在此基础上构建了数学深度学习的“问题—活动”的实践模式。关键词：数学深度学习；核心要义；内在机制；实践模式一、引言随着课程改革的不断深入，数学课堂教学逐步由“教为中心”转向“学为中心”。在转向的过程中，课堂组织形式和学习方式也发生相应的变革。比如，先学后教、翻转课堂、探究学习、项目式学习等如雨后春笋般呈现。这些改革和尝试的初衷是让学生积极学习、主动学习、高参与度学习。但是，若改革只以学生主动性为目的，则容易着眼表面，从形式上入手，甚至顾此失彼[1]。比如，强调学生主体地位而忽视教师主导作用；强调学生主动发现而忽视知识系统建构；强调合作交流而忽视独立思考；强调学生学习兴趣而忽视学生深层动机。这些致力于激发学生主动学习的课堂教学变革[1]，在一定程度上改变了课堂教学中教师独白和灌输的局面，但效果不大，或形式高于内容，或僵化缺乏灵动，或热闹胜于思考，结果是浅层兴趣掩盖深层动机，虚假热闹淹没理性思考，表层知识替代学科本质，低端思维阻断高阶思维。这些问题概括起来就是学生学习处于表面学习、表层学习、表演学习，即学生处于浅层学习。在知识本位走向素养本位的今天，学生学习不仅要真实发生，而且学习要深入学生内心、深入知识内核、深入问题解决、深入实践创新，即深度学习。显然，数学深度学习必将成为发展数学学科素养、落实学科育人的重要方式。这就迫切需要在揭示数学深度学习内涵的基础上，厘清数学深度学习的内在机制，建构数学深度学习的实践模式，进而让数学深度学习走向数学教育现实。二、数学深度学习的核心要义（一）深度学习的缘起“深度学习”（DeepLearning）概念是一个舶来品，最初源于国外对计算机科学、人工神经网络和人工智能的研究，主要基于算法革新，模拟人脑抽象认知和思维，准确且高清晰度地进行声音处理、图像传播，甚至更为复杂的数据处理和问题解决等[2]。“深度学习”在20世纪70年代被引入教育领域，以马顿和萨尔乔《学习的本质区别：结果和过程》一文正式提出深度学习概念为标志[3]，国外对深度学习的研究迄今已有48个年头。在国内，2005年黎加厚在《促进学生深度学习》一文中介绍了国外关于深度学习的研究成果，探讨了深度学习的本质，由此开启了国内研究深度学习的先河[4]。此后，国内围绕深度学习的概念、内涵、特征、内在机制等展开了较为深入的探讨，取得了丰硕的成果，代表性学者有郭华、郭元祥、李松林等。特别指出，2014年教育部基础教育课程教材发展中心在全国多个实验区开展了“‘深度学习’教学改进”项目研究[1]，掀起了对深度学习研究的高潮。（二）深度学习的内涵关于深度学习内涵的界定，学界目前尚未形成共识，归纳起来大致有三种观点：理解说。持有此观点的研究者认为理解是深度学习的核心，是评价深度学习是否发生的关键。这种观点的代表学者Biggs和Entwistle等认为，深度学习是个体运用多样化的学习策略，来获取对学习材料的理解[5]。据此观点，缺乏深度理解的学习不可能达成深度学习。理解—迁移说。“理解—迁移”是在“理解”基础上发展起来的又一观点，其基本要义是基于理解、实现迁移。比如，黎加厚认为，深度学习是指在理解学习的基础上，学习者能够批判性地学习新的思想和事实，并将它们融入原有的认知结构中，能够在众多思想间进行联系，能够将已有的知识迁移到新的情境中的学习[4]。此观点表明，深度学习过程中理解是前提、批判是手段、联系是策略、迁移是目标，呈现理解性、批判性、联系性和迁移性等特征。又如，安富海基于已有观点的整合，认为深度学习是一种基于理解的学习，是指学习者以高阶思维的发展和实际问题的解决为目标，以整合的知识为内容，积极主动地、批判性地学习新的知识和思想，且能将已有的知识迁移到新的情境中的一种学习[6]。据此，理解是深度学习的灵魂，高阶思维、问题解决是深度学习的指向，整合、批判是深度学习的路径，知识建构与迁移运用是深度学习的归宿。持此观点的还有郭华、马顿和萨尔约等学者[1][3]。多元学习说。随着研究的逐步深入，研究者们发现深度学习受多因素影响，其内涵往往具有多维性。据此，形成了深度学习的多元学习说。比如，NelsonLaird等认为深度学习可以解构为：高阶学习、整合性学习和反思性学习。其中，高阶学习关注学习者高阶思维能力的发展，整合性学习要求学习者进行知识和信息整合，反思性学习强调学习者通过反思学会学习[7]。又如，李松林基于心灵论、知识论和学习论三个维度指出，深度学习是触及学生心灵深处的学习，是深入知识内核的学习，是展开问题解决的学习，认为深度学习发生必备三个条件：深层动机、学科本质和实践创新[8]。尽管研究者们在深度学习的内涵上持有不同的观点，但也正是这些不同观点间的相互碰撞，拓宽了深度学习的边界，丰盈了深度学习的样貌。基于学习发生学理论，立足系统论视角，本着兼容并包的格局和求同存异的视野，我们认为：深度学习是一种学生主动参与的学习，是一种指向知识本质的学习，是一种高阶思维获得的学习，深度学习是一种理解性学习，深度学习是一种迁移性学习，深度学习是一种问题解决学习。鉴于以上认识，深度学习是指在学生富有内在学习动机的状态下，通过亲身体验获得高阶思维，进而达成对知识内核深度理解，将已有知识迁移到新情景中实现问题解决的学习。（三）数学深度学习的内涵基于对深度学习的梳理，我们认为数学深度学习是指学生在以数学科目内容为主体的情境下，富有内在学习动机，整合学习内容，通过亲身体验以获得数学高阶思维，进而达成对数学学习内容结构化理解，将已有知识迁移到新情景中实现数学问题解决的学习。表现为五大特征：一是学习开展动机化，体现问题性；二是学习路径过程化，体现亲历性；三是学习活动思维化，体现高阶性；四是学习反思深刻化，体现理解性；五是学习结果实践化，体现迁移性。三、数学深度学习的内在机制数学深度学习是学生学习数学的一种状态，表现为一种高投入、深理解形态。数学深度学习如何发生？是否发生？如何持续？诸如此类问题指向深度学习的内在机制。国内外对深度学习内在机制探讨形成了不同的认识，但一些认识本身存在局限。如有学者认为深度学习内在机制表现在四个方面，一是深度学习的发生机制：情境诱发→问题驱动；二是深度学习的维持机制：切身体验→高阶思维；三是深度学习的促进机制：实践参与→问题解决；四是深度学习的支持机制：在线学习→虚拟现实[9]。这一认识忽视了内在动机、亲身体验、高阶思维、深度理解、迁移应用是深度学习的五要素。进一步讲，五要素是深度学习发生的根本性规定。因此，不能说有了“情境诱发→问题驱动”深度学习就发生了，也不能说有了“切身体验→高阶思维”深度学习就维持了、有了“实践参与→问题解决”深度学习就促进了。基于对深度学习内在机制已有认识[8][9][10][11][12]的客观审视及理性吸收，立足教学活动的核心要素和关键环节，从教与学两个维度，我们将数学深度学习的内在机制凝练为内发机制和内联机制。（一）内发机制数学深度学习的内发机制由“内在动机→亲身体验→高阶思维→深度理解→迁移应用”五个层级构成，前一层级是后一层级达成的必要条件，五层级形成一个前后一致、逻辑连贯、逐级进阶的共同体。其中，内在动机是数学深度学习的起始端，迁移应用是数学深度学习的达成端。内在动机是数学深度学习的触发器。内在动机，即内在需求或内在愿望。《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：学生是学习的主体[13]。进一步讲，学生是数学深度学习的主体，是数学深度学习的践行者和体验者。一言以蔽之，数学深度学习是学生自己的事情。只有学生具备深层动机，产生强烈的需求，才会有学习的渴望和热情，才会调动有利于学习的一切因素积极地参与学习，才能激发攻坚克难的勇气和战胜困难的意志，产生向往成功的心向。缺乏动机，学生的学习就会处于一种消极、被动、机械、低投入的学习，难有深度学习发生。亲身体验是数学深度学习的动力源。俗话讲，没有切肤之痛，何来肺腑之言。数学学习也一样，没有切身体验难有实质把握。学生只有积极主动地投入到创意的数学活动中，经历艰难险阻，并深入思考、仔细琢磨、不断反思，才能把握数学知识的深层内涵和学科本质，也正是切身体验这一沃土孕育了数学高阶思维，且为数学高阶思维持续提供力量。值得注意的是，数学是思维的科学，因此，提供切身体验的数学活动应是富含数学思维的高层次活动。高阶思维是数学深度学习的助推器。高阶思维是指较高认知水平层次上的心智活动。按照布卢姆的目标分类学，学习的认知目标可区分为记忆、理解、应用、分析、评价及创造六个层次[14]。其中，记忆、理解属于浅层认知水平，停留于知识的简单陈述、记忆或机械重复使用，对应于低阶思维；而应用、分析、评价、创造属于高层次认知水平，注重深层理解、迁移应用、实践创新和问题解决，对应于高阶思维。显而易见，深度学习处于高级认知水平，涉及高阶思维活动[6]。因此，缺乏高阶思维的数学学习不是深度学习。学生只有在数学学习中获得了类比、归纳、推理、分析、综合、评价、创造等高阶思维的发展，才能让学习走向深度。深度理解是数学深度学习的方向盘。数学深度学习是基于数学深度理解的学习。学生高阶思维得以发展，但未必达成了对数学知识的深度理解。这是因为数学深度理解不仅要深入到数学知识点位，而且还要触及数学知识本质、更需要拓宽到数学学科本位，只有这样的理解才能算深度理解，才能引领数学学习走向深度。迁移应用是数学深度学习的显示器。迁移应用是指将所学知识迁移到新情景，实现新问题解决。能否迁移应用是衡量深度学习发生与否的直接依据。因为只有通过迁移应用才能破除知识本身的束缚，通达于现实世界、实践于现实世界，从而把握现实世界，这正是学习的真正意义和价值。（二）内联机制教师是教学活动的主导者，是学生学习的领航人，是数学深度学习内联机制的“责任人”。数学深度学习的内联机制由“四个理解→教育智慧”两个层级构成。其中，四个理解是数学深度学习的续航前提，教育智慧是数学深度学习的促进提升。四个理解是数学深度学习的续航红线。四个理解，即理解数学、理解学生、理解教学、理解技术。没有教师对四个理解的深透把握，难以筑牢数学深度学习之堤。这是因为没有教师对数学教学内容的深度理解，难以有学生深入知识内核、指向数学本质的学习；没有教师深度理解数学基础之上的数学材料重塑，难以有学生对数学知识的自然习得和深透理解；没有教师对学生认知的深刻把握，难以有学生自然、连贯、富有逻辑的学习；没有教师对技术的精准把握和恰当运用，难以有学生基于直观形象而产生的启发与感悟。比如：在基本不等式的教学中，教师对基本不等式的理解仅仅停留在“结论”层面，学生就难以进入对基本不等式本质（实数的基本运算所引出的大小变化）的认识，也就难以从代数结构和几何意义展开深度学习，更难以理解基本不等式到三元均值不等式，再到n

元均值不等式的迁移性、推广性和一致性；教师缺乏对学生已有认知的把握（这一内容是否学习），难以对是否使用分析法证明作出合理的把握；教师忽视信息技术的使用，学生未能感受动态视角下“基本不等式树”（2016年第七届国际数学教育大会会徽）之美带来的视觉冲击，则难以启发学生思考基本不等式与其相关不等式间的关联，并展开深入探讨。教育智慧是数学深度学习的锦上之花。教育智慧是教育情境中的智慧性行动，是教育的实践语言[15]。教育智慧在教育教学实践中主要表现为教师对于教育教学工作的规律性把握、创造性驾驭和深刻洞悉、敏锐反应以及灵活机智应对的综合能力[16]。从实践论来看，教育智慧是那种能使教师在不断变化的教育情境中随机应变的细心的技能[15]。毫无疑问，教育智慧增添了课堂的灵动性、人文性和艺术性，提升了课堂品质。在四个理解的基础上，教师教育智慧的运用进一步促进了数学深度学习的开展。这是因为教师恰当激励、精准驾驭、深刻洞察和敏锐反应所展示的教学艺术和人文情怀，调动了学生的积极性，提升了体验的有效性，促进了思维的深刻性，增强了理解的深入性，丰富了应用的广阔性。四、数学深度学习的实践模式根据深度学习内涵，紧密围绕数学深度学习内在机制，结合中小学教学实际，我们建构了“问题—活动”数学深度学习实践模式（如图1所示）（下文简称“问题—活动”模式）。图1“问题—活动”数学深度学习实践模式（一）“问题—活动”模式的构成“问题—活动”模式由主体和附体两部分构成。模式主体部分由“问题”和“活动”构成。其中，“活动”由螺旋上升、环环相扣的四个环节构成：“做中学”“学中思”“思中悟”“悟中创”，即在做数学中展开学习，在学习活动中深入反思，在深刻反思中进行领悟，在真切领悟中实践创新。模式附体部分由内发机制和内联机制构成。其中，内发机制的五个环节分别双向作用于实施模式的五个环节：问题激发内在动机、做中学获得亲身体验、学中思指向高阶思维、思中悟达成深度理解、悟中创实现迁移应用。同时，实施模式整体作用于内发机制整体，反过来，内发机制整体又作用于实施模式，形成了实施模式与内发机制间的一个作用闭环。该作用闭环既有监测深度学习是否发生之效，又有促进更高层次深度学习实施之能。内联机制中的两环节整体作用于实施模式，保障模式实施。总之，“问题—活动”模式呈现“一体两翼”的格局。（二）“问题—活动”模式的核心1．学生主体弗莱登塔尔认为：即使是儿童，也已经具有某种“潜在的发现能力”，他们的思维和行为方式已经具备了某些教师甚至是研究人员的特质[17]74。因此，学生成为学习的主体是一种应然。同时，深度学习本身就是学生积极主动状态下的一种理解学习，学生主体更是一种必然。“问题—活动”模式将学生的深层需要放在首位，充分践行了学生为学习之本的教学理念。在深层动机的作用下，学生心甘情愿地投身于做数学的活动中，实现真真切切的学习体验；在学习体验中进行深刻反思，指向实实在在的高阶思维；在高阶思维中进一步领悟，达成自然而然的深度理解；在深度理解中实践创新，获得真实情境的迁移应用。整个学习过程，学生处于学习的正中央，没有强加，没有灌输，归根到底是学生在心甘情愿地做自己的事情：“做、思、悟、创”，这是数学自主学习的最高境界，也是“问题—活动”模式的价值取向。2．问题引领问题是“问题—活动”模式的心脏。“问题—活动”模式的实施过程是问题引领活动实施的过程。首先，问题是学生深层动机的触发器，没有问题的触发，深层动机难以形成，可以说“没有问题，何来动机”；其次，问题是数学活动的载体，问题驱动学习活动的开展和深化，做中学、学中思、思中悟、悟中创是围绕问题所展开的系列螺旋上升、逐步深入的思维活动，同时，思维活动过程伴随问题不断解决和生成；最后，问题是“问题—活动”模式的落脚点，数学深度学习的目的通过问题解决获得高阶思维、达成深度理解、实现实践创新，最终实现新情境下问题的解决。从某种意义上讲，数学深度学习就是基于问题解决的学习。3．活动贯通本质上讲，教育是育人的事业，而数学深度学习探讨的是如何把人培养得更好的问题。“问题”作为数学深度学习中育人的材料，如何送达到人体关键部位呢？“问题—活动”模式中的活动承担了这一功能。如果说“问题”是数学深度学习的心脏，那么“活动”就应该是遍及全身的血管。活动作为“问题—活动”模式的核心，遍及整个模式，贯通所有环节。具体来讲，做、思、悟、创等活动拾级而上，构成一个完整的思维活动链条，贯通了整个学习模式。同时，做、思、悟、创等活动所引发的（动机、体验、思维、理解、迁移）行为活动、认知活动、情感活动彼此关联，相互融合，充满了整个学习过程。（三）“问题—活动”模式的开展1．问题如前文所述，问题乃数学深度学习的心脏，是撬动学生动机和思维的杠杆。“问题—活动”模式中的问题具有独特的意蕴，需要从三个方面认识：（1）“问题—活动”模式中的问题并非学术形态的数学问题，理应是教育形态（或称为学习形态）的数学问题。学术形态的数学问题是对所发现的数学问题进行归纳、整理形成文本材料后的一种状态[18]，具有形式简洁、描述准确、富含逻辑、结构严密等特征，尽管“文本规范”，但学术形态的问题却时常被喻为“缺乏温度的牛排”，难以触及学生心灵、引发学生共鸣。教育形态的数学问题，指教师通过再创造，将形式化数学问题改造成学生容易接受的、富有情感的一种问题形态；（2）“问题—活动”模式中的问题并非一般意义上的浅显问题，而是内涵丰富，具有典型性、适切性、多向性、迁移性，能引发学生深度思考的高品质问题；（3）“问题—活动”模式中的问题可分为三类：前置问题、衍生问题和后测问题。其中，前置问题指置于学习活动开始时的问题；衍生问题指学习活动中生成的问题；后测问题指为测评深度学习是否发生而设置的问题。值得注意的是，前置问题的功能不仅仅是激发动机，而且能统摄学习目标，聚焦学习主题，引发学生思考，维持学习过程。如何设置前置问题呢？其技术路线概括为“两化”，即问题项目化（主题化）、项目（主题）情景化。而深度学习活动的推进依靠情景数学化展开。下面我们通过一个案例来说明。案例“问题—活动”模式下的前置问题。在学习三角形相似后，基于“问题—活动”模式，我们开展了一次围绕三角形相似证明的主题学习。学习活动中，以真实的对话情景作为前置问题[19]：张同学（下文简称张）：物理上的欧姆定律：在结构上很美，我猜想它与数学有很大关联。于是，我画了一个角∠BAC=120°，AD

为角平分线，然后在AB、AC、AD

上标上刻度（单位长度相同）。一个有趣的现象发生了：在边AB、AC上分别取AE=10、AF=15，连接EF

交AD

于G，AD

上显示数据为6，而师：哦？再取一组数试试。张：取AE=3、AF=5，AG

显示数据约为1.9，而于是我猜想如果猜想成立，欧姆定律就可以用这个图来展示。师：你能否从数学的角度解释这一现象？张：不能，老师请您帮帮我。上述对话情景看似简单，实则内涵丰富，特色鲜明：（1）情景触及学生的深层动机：该对话情景源于师生真实对话，贴近学生，容易引发学生共鸣，促进学生学习的动机和兴趣；（2）情景指向深刻的数学问题：已知△ABC

的边AB=x，AC=y，∠A=120°，AD

为∠A

的平分线，则该数学问题简洁、优美，是相似三角形中的经典问题，同时，对其变式或推广可衍生一系列数学问题；（3）情景统摄持续的学习过程：数学实验（情景本身）→数学抽象（水平数学化）→解法探究（思路分析、方法探寻）→解法反思（方法间差异与本质）→问题拓展（问题变式、问题推广）→迁移应用（新问题解决）→形成成果（自主编拟数学问题）[19]。总之，该对话情景充分落实了问题主题化、主题情景化。2．做中学做中学是指学习者在数学实践活动中进行学习。做为学提供路径和方法，学为做的归宿和目标。“问题—活动”模式中做的对象明确：问题；目标清晰：问题解决；路径可循：数学实践活动。所以做中学中的做可以进一步理解为在问题和问题解决指引下的数学实践活动。数学实践活动作为独特的实践活动，有别于一般意义上的生活、生产实践活动，其活动内容指向数学问题本身，往往包括数学问题的发现、提出、分析、解决、拓展、迁移应用等等。值得注意的是，基于做中学的数学实践活动需要关注“三性”：（1）亲历性，要求学习者具身地参与数学实践活动；（2）实践性，要求学习者积极主动开展数学实践活动；（3）发展性，要求学习者在数学实践活动中有所发展。只有做到“三性”，学习者才能真正获得切身体验。另一方面，“问题—活动”模式中需明确“四学”：（1）怎么学？在数学实践中展开自主学习、模仿学习、合作学习、创生学习等；（2）向谁学？向自我学习、同伴学习、教师学习、工具学习等；（3）学什么？学思路分析、典型方法、思维方式等；（4）学得如何？评估知识是否习得、方法是否掌握、技能是否提升、思维是否发展、经验是否积累，体验是否丰富等。只有明确“四学”才能为学习者的学习提供方向指引。3．学中思学中思指学习者在学习中进行反思。反思是人们以自己的认知活动过程及结果为认识对象的认识活动。弗赖登塔尔指出：“反思是数学活动的核心和动力，是一种积极的思维活动和探索行为，是发现、是再创造。”[17]111

杜威认为：“反思是个体在头脑中对问题进行反复、严肃、执着的沉思，是一个能动的、审慎的认知加工过程。”[20]可以看出，反思是一种有益的高层次思维活动，蕴含三大特质：系统梳理、理性审视、行为修正[21]。因此，在“问题—活动”模式中，反思并非知识的简单罗列和方法的机械识别，而是通过系统的梳理与重构，实现知识系统化和方法结构化[22]；反思并非拘泥于成败与得失的回顾与感叹，而是通过追本溯源，形成对成败与得失的理性审视与顿悟；反思不是“弃旧立新”，而是已有思维活动的延续，并根据预设的价值目标，经历再认识数学实践活动、修正完善自己的学习行为的过程[22]。可以说，没有反思，“问题—活动”模式实施中难有学生认识的深入，难以有策略迁移上的成功，更难有高阶思维的获得。“问题—活动”模式实施中通过对数学实践下的学习活动反思，提升了学生的认识，纠正了学生的偏差