聊城大学固体物理第一章 1第四节

第五节倒格子聊城大学物理科学与信息工程学院3）倒格空间的画图。本节重点1）倒格子的定义；2）倒格子与正格子间的关系；第五节倒格子聊城大学物理科学与信息工程学院1、倒格子概念的引入晶体研究已知成分X射线衍射透射电镜衍射晶体结构点阵常数周期分布的点、环倒格子未知成分结构测成分测结构能谱仪、电子探针等X射线衍射透射电镜衍射周期分布的点、环倒格子晶体结构点阵常数性能第五节倒格子聊城大学物理科学与信息工程学院第五节倒格子聊城大学物理科学与信息工程学院第五节倒格子聊城大学物理科学与信息工程学院由于晶格的周期性，标志晶体中一族晶面特征的是它的法线的取向。如果已知晶格的基矢和法线的方向，即可得出晶面的指数，进一步晶面族中最靠近原点的晶面的截距和面间距都可得出，这样，晶面族就完全决定。设想存在这样的逆问题：晶格的基矢是未知的，现在只有一些周期性分布的点子（或环），同所讨论的晶格中的每族晶面有一一对应的关系，则通过对应关系所联系的规律，就可以把晶格的基矢确定下来，此外还可以把晶面族指数确定出来。所谓倒格子就是类似上面所设想的那些点子所组成的格子。所说的对应关系即晶格（正格子）与倒格子之间联系的规律，就是数学中的傅里叶变换。第五节倒格子聊城大学物理科学与信息工程学院我们通过晶体X射线衍射来引入倒格子。OBBAAPMS0Sθθθ晶面LL1NN1θθCD如图，相邻平行晶面AA、BB，入射线单位矢量为S0，衍射线单位矢量为S。M、P、O为格点位置。晶面间距为|OP|=d，且OP=l1a1+l2a2+l3a3。第五节倒格子聊城大学物理科学与信息工程学院2）对于不同晶面上的原子P、O，反射后光程差为：1）对于同一晶面上的原子P、M的散射线，处于反射线位置时，光程差为0，产生衍射加强；因此在这个方向散射线互相加强的条件为布拉格方程上式说明，晶体的X衍射可以看作晶面反射。只有在满足布拉格方程的θ上才能发生衍射。经过O点和P点的X光，衍射后的光程差可以用矢量表示：第五节倒格子聊城大学物理科学与信息工程学院又X射线衍射加强的条件为式中λ为波长，n为整数。引入衍射波矢和衍射波矢：则衍射加强的条件变为令则可以发现的量纲是互为倒逆的，是格点的位置矢量，称为正格矢，称为正格矢的倒矢量，简称倒格矢。第五节倒格子聊城大学物理科学与信息工程学院2、倒格基矢与正格基矢的关系如图，以原点O建立正格子，其基矢分别为a1、a2、a3；正格子的坐标面a1a2，a2

a3，a3a1各有其对应的晶面族。因此得到三个矢量

b1，b2，

b3，称为倒格子基矢。设a1a2，a2

a3，a3a1面族的面间距分别为d3，d1，d2。P作OP垂直a1a2面，并另OP=b3，使b3=2π/d3。同理，对于a2

a3面，得到b1=2π/d1

；对于a3a1面，得到b2=2π/d2。第五节倒格子聊城大学物理科学与信息工程学院又因矢量b3和矢量a1×a2的方向一致，所以又P第五节倒格子聊城大学物理科学与信息工程学院同理还有即倒格子基矢bj(j=1,2,3)和正格子基矢ai(i=1,2,3)之间符合以下关系：

又正格子体积所以倒格子基矢和正格子基矢存在如下关系：若i=j，则ai•bj=2π；若i

≠

j，则ai•bj=0

第五节倒格子聊城大学物理科学与信息工程学院(1)倒格子线度的量纲为米-1，和波矢的单位相同，而常用波矢来描述晶格和电子的运动状态，可以认为由倒格子所组成的空间为状态空间，而由正格子所组成的空间称为坐标空间，倒格子是正格子在状态空间的化身。注意：(2)由倒格基矢在三维空间重复取点，可以得到倒易点阵。倒易点阵是正格点阵经过一定转化导出的抽象点阵。倒易点阵的每一个倒易点对应着正格空间的一组晶面。倒易点阵的主要应用：第五节倒格子聊城大学物理科学与信息工程学院3、倒格子与正格子的关系1）正格子原胞体积与倒格子原胞体积之积等于证明：设倒格子原胞体积为Ω*，其数学表达式如下：(1)可以解释衍射图像；(2)研究能带理论；(3)推导晶体学公式第五节倒格子聊城大学物理科学与信息工程学院由于则所以所以2）倒格子与正格子互为对方的倒格子证明：设正格子基矢为，倒格子基矢为，倒格子的倒格基矢为第五节倒格子聊城大学物理科学与信息工程学院按照倒格子的定义，倒格子的倒格基矢计算如下：同理可以证明证明：设正格子基矢为，倒格子基矢为，3）倒格矢量与正格子晶面组(h1h2h3)正交第五节倒格子聊城大学物理科学与信息工程学院OCBA如图设ABC是离原点最近的晶面(h1h2h3)该晶面在三个晶轴上的截距矢量分别为：则所以倒格矢量与正格子晶面组(h1h2h3)正交第五节倒格子聊城大学物理科学与信息工程学院hu+kv+lw=0晶带定理设晶带轴的晶向指数为[uvw]，由矢量代数可知，该晶带中任一晶面(hkl)与晶带轴指数间具有如下关系：

证明：根据上述结论，晶面(hkl)与下面倒格矢量垂直而晶带轴平行于晶面(hkl)，所以晶带轴与上述倒格矢量垂直，即晶带定理适用所有晶系第五节倒格子聊城大学物理科学与信息工程学院4）倒格矢量Kh的模与晶面族(h1h2h3)的面间距成反比证明：设d是晶面族(h1h2h3)的面间距，OCBAABC是离原点最近的晶面(h1h2h3)

则有设Kh与晶面ABC正交于一点N，即倒格矢量Kh的模与晶面族(h1h2h3)的面间距成反比。第五节倒格子聊城大学物理科学与信息工程学院证明：根据倒格子与正格子间的关系得到晶面族(hkl)的面间距为例、若基矢a、b、c构成简单正交系，证明：晶面族(hkl)面间距为又设正格子三个晶轴方向的单位矢量分别为，则有，所以上式化简为如下的形式：第五节倒格子聊城大学物理科学与信息工程学院若晶体结构为立方系，晶格常数为a，晶面族(hkl)的面间距为可以发现，晶面指数简单的晶面族，其面间距大。由于单位体积内的格点数一定，则必有面间距大的晶面上，格点分布的密度大。解理面指数？第五节倒格子聊城大学物理科学与信息工程学院5）正格子空间的周期函数可以展成倒格矢量的傅立叶级数在正格子空间中，任意一点用基矢

表示，具有如下的形式：(xi不一定是整数,i=1,2,3)则一个具有晶格周期性的函数V(x)表示如下：(li是整数,i=1,2,3)该函数可以看成以x1、x2、x3为变量，周期为l的周期函数，其傅立叶级数表示如下：h1，h2，h3为整数，其中系数第五节倒格子聊城大学物理科学与信息工程学院再设倒格子基矢为，则根据，用倒格基矢来表示变量：所以第五节倒格子聊城大学物理科学与信息工程学院令则傅立叶级数为为一倒格矢量讨论：已知晶体结构如何求其倒格呢？晶体结构正格正格基矢倒格基矢倒格第五节倒格子聊城大学物理科学与信息工程学院例、下图是一个二维晶体结构图，试画出其倒格点的排列。解：第五节倒格子聊城大学物理科学与信息工程学院倒格是边长为的正方形格子。即第五节倒格子聊城大学物理