统计学（李荣平）-3

第三章数据的概括性度量第一节总规模的度量第二节比较度量第三节集中趋势的度量第四节离中趋势的度量第五节分布形状的度量主要内容一、总量指标的概念和作用二、总量指标的种类三、总量指标的计量单位★第一节总规模的度量第一节总规模的度量

一、总量指标的概念和作用

1、概念：是统计中最常用的指标，又称为绝对指标，是反映社会经济现象总体在一定时间、地点条件下达到的总规模和总水平的统计指标，一般用绝对数表示。

2、作用：总量指标是人们认识客观事物的起点；总量指标是实行社会经济管理的基本依据；总量指标是计算其他统计指标的基础。二、总量指标的种类总量指标按反映内容不同按反映时间状况不同总体单位总量总体标志总量时点指标时期指标第一节总规模的度量1、总体单位总量和总体标志总量总体单位总量：总体单位数的总和。总体标志总量：总体各单位某种标志值总和。

注意：随着研究目的的不同，二者可以相互转化。

2、时期指标和时点指标（1）时期指标：是反映客观现象在一段时期内活动过

程的总量指标。时期指标具有可加性；数值大小与时期长短有直接关系，一般是正比；一般是通过经常性调查取得的。特点：

（2）时点指标：反映客观现象在某一时刻（瞬间）上状况的总量指标。

指标数值不具有可加性；数值大小与时点之间的间隔无直接关系；数值是通过一次性调查取得的。

三、总量指标的计量单位实物单位：自然单位、度量衡单位、双重单位和复合单位。如：台、件；米、平方米;人/平方公里标准吨;吨·公里。货币单位。如：元劳动单位。如：工日、工时第一节总规模的度量特点：一、相对指标的意义二、相对指标的种类和计算方法三、正确运用相对指标的原则★第二节比较度量第二节比较度量

一、相对指标的意义

1、概念：也称相对数，是两个有联系的指标对比的结果，

表明现象间的数量对比关系。

2、表现形式：无名数：倍数、系数、成数、百分数、千分数；分母为1分母为1.00分母为10分母为100分母为1000有名数：分子与分母的复名数，强度相对数。

3、作用：反映现象的发展程度、密度或普遍程度等；能使不能直接对比的现象有了共同的可比性依据；便于记忆，易于保密。甲企业乙企业利润总额资金占用资金利润率500万元5000万元3000万元40000万元16.7%12.5%比较两厂经济效益比较两厂经济效益不可比不可比不可比不可比可比

二、相对指标的种类和计算方法（一）结构相对指标

1、概念：是总体部分数值与总体全部数值对比计算的比重，反映总体内部结构的合理程度。其计算公式为：2、注意问题：分子与分母指标性质相同；各组结构相对数之和等于1或100%；一般用百分数表示。二、相对指标种类—结构相对数

（二）比例相对指标

1、概念：是同一总体中各组成部分的数值对比计算的相对指标，以表明总体中各部分之间的比例关系。其计算公式为：2、注意问题：分子与分母指标性质相同；分子与分母的位置可以互换；一般用百分数表示，也可用一比几或几比几表示。二、相对指标种类—比例相对数

（三）比较相对指标

1、概念：是同一时间的同类指标在不同空间（或场合）的对比，表明现象在不同空间条件下的数量对比关系。其计算公式为：2、注意问题：分子与分母是同一指标；分子与分母的位置可以互换；一般用百分数或倍数表示。二、相对指标种类—比较相对数

（四）强度相对指标

1、概念：是是两个性质不同而又有一定联系的现象的总量指标数值之比，用以反映现象的强度、密度、普遍程度或利用程度。其计算公式为：2、注意问题：分子与分母指标性质不相同；分子与分母的位置可以互换，有正、逆指标两种；一般用复名数表示，也可用百分数或千分数表示。二、相对指标种类—强度相对数3、常用的强度相对指标：一类是反映一个国家或地区经济实力的指标，如：人均国内生产总值、人均钢产量等；二类是反映社会服务满足需要状况的指标，

如：每千人拥有商店数、每千人拥有病床数等；三类是反映企业经济效益的指标，

如：资金利税率、全员劳动生产率等。

4、作用：能正确表明一个国家或地区的经济实力和社会服务能力；能客观反映和考核企业的经济效益；为编制计划和规划提供依据。二、相对指标种类—强度相对数

（五）动态相对指标

1、概念：是同一指标在不同时间对比的结果，反映现象发展变化的快慢程度。其计算公式为：2、注意问题：分子与分母是同一指标；分子与分母的位置不可以互换；一般用百分数或倍数表示。二、相对指标种类—动态相对数

（六）计划完成程度相对指标

1、概念：又称计划完成相对数或计划完成率，它是现象在一定时间内的实际完成数与计划任务数对比的结果，用来反映社会经济现象的计划完成程度。其计算公式为：

注意问题：等于100%是正好完成计划，大于或小于100%是否超额应考虑现象的性质；分子与分母的位置不可以互换；一般用百分数表示。二、相对指标种类—计划完成程度相对数2、计算由于计划任务数的性质不同，可以用绝对数、相对数和平均数计算。

1.根据绝对数或平均数计算：用基本公式计算。

2.根据相对数计算：检查提高率和降低率现象的计划完成程度。如：某企业生产某产品，本年度计划单位成本降低6%，实际执行结果降低8%，则

计算结果表明，企业单位成本实际比计划多降低2.12%。二、相对指标种类—计划完成程度相对数

如：某企业某年劳动生产率计划规定提高5%，实际执行结果提高了7%，则计算结果表明，企业劳动生产率实际比计划提高了1.9%。上述计算过程可用公式：二、相对指标种类—计划完成程度相对数二、相对指标种类—计划完成程度相对数3.计划执行进度的考核

例：某企业2004年计划产量为10万件，而实际至第三季度末已生产了8万件，全年实际共生产11万件。则：4.中长期计划的检查（以5年计划为例）二、相对指标种类—计划完成程度相对数（1）水平法：是五年计划只规定计划末年应达到的水平时使用，如钢产量、粮食产量等计划执行情况的检查。其计算公式为：

注意问题：提前完成计划时间的检查。如在计划执行期内有连续一年（无论是否日历年度）的产量或产值达到计划规定的末年水平，则所余时间为提前的时间。如：P63表3.2资料。第一年第二年第三年第四年第五年上半年下半年一季度二季度三季度四季度一季度二季度三季度四季度产量363921191010111212131516

[例]

某产品按五年计划规定，最后一年的产量应达到45万吨，计划执行情况如表3.2所示。

表3.2某企业某产品产量计划完成情况

说明，该产品产量计划超额24.44%完成。

提前完成的时间：第四年的二季度起至第五年的第一季度止的连续一年中，正好达到了计划规定的45万吨水平，则产量计划提前3个季度完成。第一年第二年第三年第四年第五年上半年下半年一季度二季度三季度四季度一季度二季度三季度四季度产量363921191010111212131516如第五年一季度的12改为13后，问提前完成计划的时间？13设第五年的第一季度用了x天，则：x=60(天),余90-60=30(天),则提前10个月完成五年计划。

注：日历日数，按标准天数每月30天，每季度90天，每年360天计算。二、相对指标种类—计划完成程度相对数

（2）

累计法：是五年计划规定累计应达到的水平时使用，如基本建设投资额、新增生产能力等计划执行情况的检查。其计算公式为：

注意问题：提前完成计划时间的检查。如从计划执行之日起累计完成数达到计划任务要求，则所余时间为提前的时间。二、相对指标种类—计划完成程度相对数三、运用相对指标原则(一)相对指标的可比性原则在计算相对指标时，用于对比的两个指标在含义、内容、范围、时间、空间、计量单位、计算价格和计算方法等方面要保持一致，这样才具有可比性。

（二）相对指标与总量指标结合运用的原则（三）各种相对数结合运用的原则一、集中趋势与平均指标二、数值平均数三、位置平均数四、正确运用平均指标的原则★第二节集中趋势的度量★第三节集中趋势的度量

一、集中趋势与平均指标

1、概念

集中趋势也称趋中性，是指一组数据向某一中心值靠拢的倾向。作为中心的数值就称为中心值，反映数据（变量）分布中心点的位置所在。集中趋势的测度就是要寻找数据分布的中心值或代表值，以反映某一数量标志数值的一般水平。

平均指标又称平均数，就是在同质总体内，将总体各单位某一数量标志的数量差异抽象化，用以反映总体在一定时间、地点、条件下的一般水平的指标。

特点：（1）同质性（2）代表性（3）抽象性第三节集中趋势的度量平均指标数值平均数位置平均数众数中位数几何平均数调和平均数算术平均数

2、作用：（1）反映数据分布的一般水平，作为论断事物的一种数量标准或参考。（2）用于同类现象在不同空间条件下的对比，反映现象之间的差异。（3）可用于某一现象总体在不同时间上发展水平的对比，说明现象发展变化的趋势或规律性。（4）可以分析现象之间的依存关系，进行数量上的推算。二、数值平均数——算术平均数统计中计算平均数最常用的方法。基本公式为

注意：算术平均数与强度相对数的区别：研究对象不同平均数：同质总体强度相对数：不同总体反映问题不同平均数：现象的一般水平强度相对数：强度、密度、普遍程度依存关系不同平均数：分子分母有直接依存关系强度相对数：分子分母没有直接依存关系

例：人均粮食产量与人均粮食消费量;1、简单算术平均数适用于：未分组资料。计算公式为2、加权算术平均数适用于：分组资料。计算公式为

注意：（1）用组距数列计算时应首先计算组中值；二、数值平均数——算术平均数

（2）加权算术平均数的大小受两个因素的影响变量值（x）的大小；权数（f）的大小：平均数接近于次数大的组的变量值；远离次数小的组的变量值。次数对平均数影响的实质是次数比重的影响，即频率的影响，用频率计算的公式为:例：根据下表资料，计算50名工人平均日加工零件数。二、数值平均数——算术平均数某车间50名工人日加工零件平均数计算表按零件数分组（件）组中值（x）人数（f）xf110以下110-115115-120120-125125-130130-135135以上107.5112.5117.5122.5127.5132.5137.5358141064322.5562.5940.01715.01275.0795.0550.00.060.100.160.280.200.120.086.4511.2518.8034.3025.5015.9011.00合计—506160.01.00123.2如用频率计算为：

3、算术平均数的数学性质（1）各变量值与其平均数的离差之和等于零

（2）各变量值与其平均数的离差平方和为最小值4、算术平均数的特点应用广泛；容易受极值影响；当组距数列为开口组时，平均数代表性差。二、数值平均数——算术平均数二、数值平均数——调和平均数1、概念：又称倒数平均数，是各变量值倒数的算术平均数的倒数。

2、简单调和平均数—调和平均数独立应用形式

例：某蔬菜市场，早市蔬菜的价格为每斤1.2元，午市的价格为每斤1.5元，晚市的价格为每斤1元，如早、中、晚各买1元的蔬菜，试计算日平均价格为多少？解：根据平均价格的计算公式计算得：二、数值平均数——调和平均数根据上述计算过程可得到简单调和平均数的计算公式为3、加权调和平均数—加权算术平均数的变形例：根据下表资料，计算50名工人平均日加工零件数。很明显，计算结果与加权算术平均法相同。

某车间50名工人日加工零件平均数计算表按零件数分组（件）组中值（x）零件总数（件）（xf）人数（人）（f）110以下110-115115-120120-125125-130130-135135以上107.5112.5117.5122.5127.5132.5137.5322.5562.5940.01715.01275.0795.0550.0358141064合计—6160.050二、数值平均数——调和平均数二、数值平均数——调和平均数根据上述计算过程可得到加权调和平均数的计算公式为4、相对数或平均数计算平均数

注意：相对数或平均数不能直接相加，故计算平均数时应根据其原公式，再结合掌握的资料选择加权算术平均法或加权调和平均法进行计算。下面以相对数计算平均数为例介绍。例：某公司所属三个工厂计划完成情况如下表：二、数值平均数——调和平均数某公司所属三个工厂计划完成情况工厂计划完成程度（%）实际产值（万元）计划产值（万元）甲乙丙951021101200180010501263.161764.71954.55合计—40503982.42则，该公司的平均产值计划完成程度为如上表中已知条件为计划产值，则应用加权算术平均法计算。二、数值平均数——调和平均数注意：加权算术平均法和加权调和平均法应用的条件。如果掌握的资料是算术平均数基本形式的分母时，用加权算术平均数计算；如果掌握的资料是算术平均数基本形式的分子时，则用加权调和平均数计算。5、调和平均数的特点数列中有一个变量值为零，无法计算；也容易受极值影响；当数列有开口组时，平均数代表性差。二、数值平均数——几何平均数

概念:是若干个变量值连乘积开其项数次方的方根，也称“对数平均数”。适用于：计算平均比率和平均速度。

1、简单几何平均数适用于：未分组资料2、加权几何平均数适用于：分组资料二、数值平均数——几何平均数

例如：一位投资者持有一种股票，1996年、1997年、1998年和1999年收益率分别为4.5%、2.0%、3.5%、5.4%。计算该投资者在四年内的平均收益率。平均收益率＝103.84%-100%=3.84%3、几何平均数的特点数列中有一个标志值等于零或负值时，无法计算；受极值影响较算术平均数和调和平均数要小；应用范围小。三、位置平均数——众数1、概念总体中出现次数最多的变量值。2、确定方法（1）未分组资料与单项变量数列：用概念确定。

例1，无众数：原始数据:10591268一个众数：原始数据:659855两个众数：原始数据:252828364242三、位置平均数——众数甲城市家庭对住房状况评价的分组资料回答类别甲城市户数(户)百分比(%)

非常不满意

不满意

一般

满意

非常满意24108934530836311510合计300100.0

例2，甲城市家庭对住房状况评价资料如下∵不满意的108户，占总户数的36%，为最多∴该城市家庭对住房状况评价的众数是：M0=不满意三、位置平均数——众数

（2）组距数列：第一步，确定众数所在组；用概念确定第二步，用近似公式计算式中，L、U—分别表示众数组的下限、上限；△1、△2—分别表示众数组次数与前一组次数、后一组次数之差；

d—众数组的组距。三、位置平均数——众数

例，仍用前述50名工人日加工零件数的资料，计算日加工零件数的众数。某车间50名工人日加工零件平均数计算表按零件数分组（件）组中值人数（人）向上累计向下累计110以下110-115115-120120-125125-130130-135135以上107.5112.5117.5122.5127.5132.5137.53581410643816304046505047423420104合计—50——三、位置平均数——众数

解：第一步，确定众数所在组：次数最多的是14人，对应的日加工零件数在120—125件组内。第二步，用近似公式计算日产零件数的众数：三、位置平均数——中位数2、确定方法（1）未分组资料：中间位置用（n+1)/2确定Me50%50%1、概念总体中各变量值按大小顺序排列，居中间位置的标志值就是中位数。三、位置平均数——中位数例：5个人的年龄为（岁）：2422212620

排序: 2021222426

则，年龄的中位数

22（岁）6个人的年龄为（岁）:105 91268

排序: 56891012

则，年龄的中位数

三、位置平均数——中位数（2）单项变量数列按确定中间位置，然后与累计次数比较确定中位数某车间工人日产零件数分组表按日产零件数分组（件）人数（人）向上累计向下累计234524804630241041501801801567630合计180——例，某车间工人日产零件数资料如下表三、位置平均数——中位数（3）组距数列第一步，确定中位数所在组：同单项变量数列第二步，用近似公式计算三、位置平均数——中位数式中，L、U—分别表示中位数组的下限、上限；

sm-1、sm+1—分别表示中位数组以下各组的累计次数、以上各组的累计次数；

d—中位数组的组距。

例，50名工人日加工零件数的资料，计算日加工零件数的中位数。

解：第一步，确定中位数所在组：三、位置平均数——中位数第二步，用近似公式计算得日产零件数的众位数：三、位置平均数——四分位数

1、概念：将总体各标志值按大小顺序排列，处于四分之一位置的标志值称第一个四分位数或下四分位数，用“Q1”表示；处于四分之三位置的标志值称第三个四分位数或上四分位数，用“Q3”表示。

Q1Q2Q31/41/41/41/42、确定方法（1）未分组资料计算

例：某班组日产量（件）资料为：17，19，22，24，25，28，34，35，36，37，38下四分位数(Q1)位置=上四分位数(Q3)位置=未分组数据三、位置平均数——四分位数三、位置平均数——四分位数

（2）分组资料计算第一步，确定四分位数的位置下四分位数(Q1)位置=∑f4上四分位数(Q3)位置=3∑f4分组数据

注意：如数列是单项数列，可用处于四分之一、四分之三位置的次数与累计次数比较确定四分位数。注意：如数列项数不是4的倍数,下四分位数、上四分位数可用插值法求解。三、位置平均数——四分位数某城市家庭对住房状况评价的分组表户数(户)累计频数

非常不满意

不满意

一般

满意

非常满意2410893453024132225270300合计300—例：某城市家庭对住房满意状况评价的资料下解：∵

Q1位置=(300)/4=75

Q3位置=(3×300)/4=225∴从累计次数看，Q1在“不满意”这一组别中；Q3在“一般”这一组别中。则

Q1=不满意

Q3

=一般三、位置平均数——四分位数

（2）近似计算四分位数式中，XL1，XL3_—分别为Q1与

Q3

所在组的下限；f1，f3—分别为Q1与

Q3

所在组的次数；d1，d3—分别为Q1与

Q3

所在组的组距；SQ1-1，SQ3-1—分别为Q1与

Q3

所在组以前一组的累计次数；三、位置平均数——四分位数某车间50名工人日加工零件数分组表按零件数分组(件)频数(人)累积次数105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~140358141064381630404650合计50—例：根据50名工人日加工零件数资料计算四分位数。解：Q1位置=50/4=12.5Q3位置=3×50/4=37.5各种平均数之间的关系1、算术平均数、调和平均数和几何平均数三者的关系（1）各变量值相等时（2）各变量值不相等时2、算术平均数、众数和中位数三者的关系左偏分布均值

中位数

众数均值=中位数=

众数对称分布

右偏分布众数

中位数

均值中位数与算术平均数的距离是中位数与众数距离的二分之一，即四、正确应用平均数的原则（一）平均数只适用于同质总体（二）用组平均数补充说明总平均数（三）用分配数列补充说明平均数（四）集中趋势指标与离中趋势指标结合应用

集中趋势是数据分布的一个特征，概括反映各变量值向中心值聚集的程度；离中趋势是数据分布的另一个重要特征，反映的是各变量值远离其集中趋势度量值的程度。离中趋势的度量常用标志变异指标来描述。标志变异指标也称标志变动度或离散程度指标，是反映各变量值远离其中心值的程度，即反映数列中各标志值的变动范围或离散程度。作用：可以衡量平均数代表性大小；反映社会经济活动的均衡