信号与线性系统教学资料 第7讲

信号与线性系统第7讲教材位置:第3章傅立叶变换的性质

§3.8内容概要:介绍傅立叶变换的性质、傅立叶变换的计算2026/5/15信号与线性系统－第7讲2开讲前言－前讲回顾常用函数的傅立叶变换指数函数－可收敛的阶跃函数、冲击函数、符号函数傅立叶变换积分的技巧－变换更换、分项对比周期函数的傅立叶变换指数函数、三角函数的傅立叶变换周期函数的傅立叶变换及其频谱离散性信号能量的频域表示功率谱和能量谱信号的有效带宽、波形的有效脉宽2026/5/15信号与线性系统－第7讲3开讲前言－本讲导入已有傅立叶变换的知识信号的正交分解周期信号的傅立叶级数与频谱非周期信号频谱的连续与傅立叶变换的引入频谱密度函数周期信号的傅立叶变换常用信号的傅立叶变换傅立叶变换在信号能量频域分析的作用为了更好的利用傅立叶变换进行信号分析需要进行傅立叶变换性质的分析，以从数学的角度提高计算傅立叶变换的能力2026/5/15信号与线性系统－第7讲4§3.8傅立叶变换的性质1、线性性若

f1(t)F1(j),f2(t)F2(j)则af1(t)+bf2(t)aF1(j)+bF2(j)其中a、b均为常数。2026/5/15信号与线性系统－第7讲5§3.8傅立叶变换的性质2、时延性f(t-t0)若f(t)F

(j)则F

(j)F[f(t-t0)]=证:根据FT的定义，有同理F[f(t+t0)]=F

(j)2026/5/15信号与线性系统－第7讲6§3.8傅立叶变换的性质－举例f1(t)t0A

f2(t)t0A

2

20

()

2

4

6

相位谱8

2

例：求矩形脉冲的频谱函数。解：门函数的频谱函数为)2()(wttwSaAjF2=由时延性可得显然|F1(j)|=|F2(j)|

2026/5/15信号与线性系统－第7讲7§3.8傅立叶变换的性质－举例课堂练习对图示波形进行傅立叶变换答案2026/5/15信号与线性系统－第7讲8§3.8傅立叶变换的性质3、频移性则f(t)e

F(j-)j

ctj

c证明：根据傅里叶的定义有若f(t)

F(j)j

ctj

c即f(t)e

F(j-)同理可得j

ctj

c

f(t)e-

F(j+)频谱F(jω)搬移±jωc2026/5/15信号与线性系统－第7讲9§3.8傅立叶变换的性质即f(t)cos

ct[F(j+jc)+F(j-jc)]/2同理：

F[f(t)sinct]=[F(jjc

)-F(j-jc

)]/2j2026/5/15信号与线性系统－第7讲10§3.8傅立叶变换的性质求矩形调幅信号G(t)•cos

ct的频谱函数.解:门函数的频谱为G(t)t0A

2

2A

2

4

G(j

)0

6

2

4

2026/5/15信号与线性系统－第7讲11§3.8傅立叶变换的性质矩形调幅信号的频谱图Atf(t)=G(t)•cos

ct

2

2A

2-

c2

c+2

c-½[G(j+j

c)+G(j-j

c)]0

2026/5/15信号与线性系统－第7讲12§3.8傅立叶变换的性质4、比例性（尺度变换特性）时域中函数尺度变化f(t)=sint在0t2π间有一个完整的正弦波。f(t)沿t轴压缩三倍，新函数应记为f(3t)=sin3t.f(t)沿t轴扩展两倍，新函数应记为f(t/2)=sin(t/2).0f(t)=sint.1tπ2π01π2πtf(3t)=sin3t.012πt结论：代表信号的函数f(t)沿时间轴压缩或扩展而成的新函数，当a是大于1的正实数时，表示信号压缩了a倍,当a是小于1的正实数时，表示信号扩展了1/a倍2026/5/15信号与线性系统－第7讲13§3.8傅立叶变换的性质傅里叶变换的尺度变化关系表达式证明：傅里叶变换表达式：令x=at,则t=x/a,dt=1/ada

若a>0，当t=

，x=,t=-,x=-

若a<0,当t=

，x=-,t=-,x=

综合两种情况，便可求证特别对于a=-1f(-t)F(-jω)结论信号在时域中的时间函数压缩（扩展）a倍，它在频域中的频谱函数要扩展（压缩）a倍。对于a=-1的情况，时域中沿纵轴反褶等效频域中沿纵轴反褶。2026/5/15信号与线性系统－第7讲14§3.8傅立叶变换的性质尺度变化图解f(t/2)t01-

f(t)t01

2

22

2

0

2

2F(2j)(a)a=0.5(b)a=1f(2t)t01

4

4

4

0

2

F(j)2

4

(c)a=24

0

1/2F(j/2)4

22026/5/15信号与线性系统－第7讲15§3.8傅立叶变换的性质等效脉宽和等效频宽对任意形状的f（t）和F(j

)，有傅里叶变换若令、Bs分别为f（t）和F(jω)等效宽度，根据等效脉冲宽度和等效频带宽度的定义，可以推导等效脉冲宽度和等效频带宽度之积为常数0f（0）f（t）t

0F（0）F（jω）

ωBs2026/5/15信号与线性系统－第7讲16§3.8傅立叶变换的性质5、奇偶性e-jt=cost-jsint

频谱函数的实部与模量是频率的偶函数，虚部与相位是频率的奇函数。如果f(t)是t的偶函数，则频谱函数只有实部，如果f(t)是t的奇函数，则频谱函数只有虚部，2026/5/15信号与线性系统－第7讲17§3.8傅立叶变换的性质－举例课堂练习已知利用奇偶性质计算傅立叶变换【解答】函数x(t)实的偶函数2026/5/15信号与线性系统－第7讲18§3.8傅立叶变换的性质6、微分性时域微分证明：若f(t)F(j)傅里叶反变换的原函数2026/5/15信号与线性系统－第7讲19§3.8傅立叶变换的性质频域微分若f(t)F(j)则2026/5/15信号与线性系统－第7讲20§3.8傅立叶变换的性质7、积分性时域积分特性证明：若f(t)F(j)如果F(o)=0，或将

=0点除去不计2026/5/15信号与线性系统－第7讲21§3.8傅立叶变换的性质频域积分特性若f(t)F(j)则2026/5/15信号与线性系统－第7讲22§3.8傅立叶变换的性质－举例课堂练习已知冲击函数的傅立叶变换，利用积分性质求阶跃函数的傅立叶变换？已知阶跃函数的傅立叶变换，利用微分性质求冲击函数的傅立叶变换？2026/5/15信号与线性系统－第7讲23§3.8傅立叶变换的性质－举例利用微分、积分性质，求图示波形的傅立叶变换【解答】实函数奇函数纯虚函数奇函数§3.8傅立叶变换的性质－举例利用积分性质的注意事项函数求导后丢失的直流分量2026/5/15信号与线性系统－第7讲25§3.8傅立叶变换的性质8、卷积性时域卷积证明若令a=t-

，da=dt2026/5/15信号与线性系统－第7讲26§3.8傅立叶变换的性质频域卷积若f(t)F(j)g(t)G(j)，则f(t)g(t)2026/5/15信号与线性系统－第7讲27§3.8傅立叶变换的性质9、对称性

f(t)

F(j

则F(jt)2f(-)证明

上式右边，将变量

用一个虚设变量x代替，可得：相应用ω替代t有将变量x用t代替，则得2026/5/15信号与线性系统－第7讲28§3.8傅立叶变换的性质如果f(t)

是t的偶函数,其频谱函数只有实部R（

），且为偶函数，此时

2f(-)=2f()=F

[F(jt)]=F

[R(t)]由此可知:偶函数f(t)

有频谱函数R(

，则与R(

形式相同的时间函数R(t的频谱函数为2f()。f(t)=(t)（1）t0(a)f()=2

()（2

）

0(c)R()=11t0(b)正变换R(t)=11

t0(d)反变换偶函数时域和频域的对称性2026/5/15信号与线性系统－第7讲29§3.8傅立叶变换的性质f(t)t01

2

2(a)

2

0t2

R(t)4

(c)

4

0

4

2

R()

2(b)02

2

2

f()(d)解：f(t)=1|t|<0|t|>

2

2其傅里叶变换2wtt)(SaF(j)=则根据偶函数的对称性，它的傅里叶变换为F

[F(jt)]=2f()=2