天津大学概率论与数理统计11-13

教材：概率论与数理统计作者:天津大学数学系出版社:高等教育出版社参考书：《应用概率统计》梁冯珍等编

《概率论与数理统计》盛骤等编《ProbabilityandStatisticalInference》RobertB.,JohnWiley&Son,sInc.教材：应用概率统计（第四版）作者:宋占杰胡飞出版社:天津大学出版社参考书：《应用概率统计》梁冯珍等编

《概率论与数理统计》盛骤等编《ProbabilityandStatisticalInference》RobertB.,JohnWiley&Son,sInc.作业要求

16开白质对折，写清题号，不用抄题，每次3-5个，一般1周交一次。不准抄作业.每班一组，选出组长负责收发作业，缺作业下一次补交考试要求平时成绩10％,即全交作业、全勤10分，缺作业1次，旷课1次以上，每次扣除平时成绩1分.

期末成绩90％，无期中考试在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象.1.确定性现象

“同性电荷必然互斥”,“水从高处流向低处”,实例自然界所观察到的现象:确定性现象、随机现象“函数在间断点处不存在导数”等.确定性现象的特征条件完全决定结果.在一定条件下可能出现也可能不出现的现象称为随机现象.实例1

在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察正反两面出现的情况.2.随机现象

结果:有可能出现正面也可能出现反面.实例2抛掷一枚骰子,观察出现的点数.结果有可能为:1,2,3,4,5或

6.实例3

出生的婴儿可能是男，也可能是女.

也有数学家将数学分为三类，1.确定性数学、随机数学和模糊数学。确定性现象：１个大气压下水100°沸腾；天津１年分四季；人是一定要死的；2.模糊现象：高矮、胖瘦、高低、美丑，军训累的三分象人，７分象鬼。3.随机现象（1）可重复的：掷骰子，抛硬币，摸球，（2）不可重复的：明天下雨，张三购买彩票中奖，球赛，人生。

序言?概率论是研究什么的？确定性现象：随机现象：概率论——研究和揭示随机现象的统计规律性的科学

二、随机数学发展概述随机现象内在规律偶然性必然性1

概率起源及发展骰子：公元前3500年埃及人用距骨(astragalus)游戏。踝骨(tatus)

后跟骨(heelbone)公元前1400年古巴比伦，出现了对面和为7的骰子，用土烧制。1642年，伽利略发表论文，研究了掷三枚骰子出现6×6×6＝216种情况，其中10点27次，9点25次。学科创立

十七世纪中叶，法国贵族德美黑在骰子赌博中，由于有紧急事务要处理,中途必须停止赌博，这样要靠对胜负的预测对赌资进行合理分配。但不知用什么比例分配合理，就写信向当时法国最高的数学家帕斯卡请教，正是这封信使概率论向前迈出了第一步。意大利帕斯卡(Pascal,1623-1662)和当时第一流的数学家费尔玛(Fermat,1608-1665)一起，以及荷兰数学家惠更斯(Huygens,1629-1695)研究了这个关于骰子赌博的问题，于是一个新的数学分支——概率论登上了历史舞台。著名的赌注分配问题

甲、乙两个赌徒按某种方式下注赌博，约定先胜t局者将赢得全部赌注，但进行到甲胜r局，乙胜s局（r<t,s<t)时，因故中止，问如何分配赌注合理?

例如,先胜6局者胜,5:2终止比赛.掷两枚均匀的骰子,几点出现的机会多?著名的概率三分布

(i)二项分布(binomialdistribution),瑞士数学家伯努利[1](J.Bernoulli)常微分方程或高等数学中有著名的伯努利方程y`=p(x)y+q(x)y^n,其子DanielBernoulli和弟弟JohannBernoulli均为著名数学家，一家三代出八名数学家)在1713年，即去世后八年，出版了《猜算术》一书，介绍了著名的伯努利实验，以独立试验为基础,考虑每次试验成功的概率为p,失败的概率为q=1-p,则进行n次试验，成功k次的概率为：著名的概率三分布(ii)泊松分布(Poissondistribution),经过124年之后，法国数学家S.D.Poisson于1837年用法文出版了他的概率著作，首次给出了泊松分布，作为二项分布的近似,事件发生K次的概率为：著名的概率三分布(iii)负二项分布(negativebinomialdistribution).概率论创始人之一，法国数学家帕斯卡[1](B.Pascal)1654年前后研究杨辉三角(亦称帕斯卡三角)，研究等到第n(n=k,k+1,….)次试验才成功k次时发现了负二项分布，正是这一工作引导牛顿发现了分数和负指数的函数二项展开式，但后来匈牙利数学家波利亚(G.Polya)进行过深入研究，因此负二项分布除了称为帕斯卡分布外，也称为波利亚分布，其概率为：乌克兰数学家伯恩斯坦(S.N.Bernstein)利用二项分布的思想，于1911年构造了伯恩斯坦多项式(或称伯恩斯坦算子)对魏尔斯特拉斯(Weierstrass)定理给出了构造性证明，轰动一时.其实,伯恩斯坦1904年在他24岁时,就因为解决了希尔伯特(Hilbert)1900年提出的20世纪的20个难题中第19个而闻名于世[1].他还于1917年试图给出概率论的公理化体系,结果这一工作于1933年由年轻的科尔莫戈罗夫完成，科尔莫戈罗夫成为20世纪最伟大的数学家.公理化体系创立

1933年，前苏联数学家科尔莫哥洛夫(1903-1987)提出了概率论公理化结构，综合了前人的成果，明确定义了基本概念，使其成为严谨的数学分支。从此，开始探索自然界大量偶然现象背后的必然规律，随之发展了数理统计、随机过程，覆盖自然科学和社会科学的各个领域。目前，概率论与决定论成为对立统一于自然界的两大描述体系。2

数理统计人口普查：古代因为服役、税收统计人口，发现男女人口比大致为1：1胚胎（细胞）115：100出生105：100（23：22）成年100：100中年95：100老年1：3最近公布的10岁儿童可怕统计结果117：100问题：农村生育政策，生男孩只生一个，生女孩五年后生二胎，上述结果是否是政策失误？

古希腊用于突围孟德尔－豌豆实验－遗传规律医疗改革：1847年维也纳妇产医院产妇因产褥热死亡率高达10.7%.Semmelweis医生用统计说明其改革成功:1840-1846死亡率10.7%1847死亡率5.2%1848死亡率1.3%断案－《静静的顿河》小说著作权之争Kryukov—Makingtime1000:589肖洛霍夫—Thewayandtheroad1000:656静静的顿河1000:646肖洛霍夫因之1965年获诺贝尔文学奖.正态分布(normaldistribution)棣莫佛（DeMoivre1669－1754)首先发现正态分布的规律性,1716年开始讨论,1721年成型,1733年11月12日发表论文,但无人注意.高斯（Gauss1777-1855）1809年发现并推广这一分布,故数学界长期称为Gaussdistribution.拉普拉斯（Laplace1749－1827）1783年曾指出正态分布曲线适于表示误差.有棣--拉定理.皮尔逊（Pearson）1893年为其平反.由于其常见称normaldistribution.T分布（Gosset1876--1937）:1908年用Student笔名发表论文指出这一分布,论文题目：Theproblemerrorofmeam1889年毕业Winche-Ster和牛津大学,去啤酒厂当酿酒师,因不合格被解雇,在Dubin城搞数据统计.1906—1907在伦敦大学随统计学之父皮尔逊研究统计.1939年小皮尔逊指出著名的T分布由Gosset发现.

分布F分布3随机过程Brown运动:1827年，Brown在显微镜下发现花粉的无规则运动,将此奇怪现象公诸于世,无人能解释原因.1900年，法国数学家Bachelier给出

一维Brown运动粗略模型,其博士论文为《投机的理论》，研究证券价格的涨落，开创近代金融数学的先河，但他的结果几十年之后才得到认可.1905年,Einstein首次进行量化分析,认是花粉运动源自分子无规则热运动,每秒碰撞次.Wiener1918年发表系列论文,成功解决这一问题,故称Wiener—Einstein过程.

Markov过程(1856—1922):十九世纪末用矩阵研究马氏链,开始随机过程理论.Erlang因研究电话问题得到了Poisson过程,创立了排队论.Feller研究了生灭过程.平稳过程:从辛欣研究大数定律开始，1934年完成.鞅论:莱维（Levy.PaulPierre,1886-1971）

1930－1955年创立.

杜悖(J.Doob)研究停时.随机积分:伊藤清(1915—日),87年获Wolf奖,97年有人因研究Ito微分方程的解而获诺贝尔经济奖.最优停时:1名秘书,100人应征,如何选?Gilbert和Mosteller1966年证明37%规则,前37个不要,第38个后开始超过前面就定下来,

选中最优率为1/e=0.367879.而随机取这一结果仅1%.４中国的贡献中国古代数学领先，近现代落后，目前前四不可能，比足球强，陈省身先生生前呼吁：再造二十一世纪数学大国。历史著名数学家30位中国排2个；数学诺贝尔奖（菲尔兹和沃尔夫）只有2个；二十世纪前100名数学家，2个；概率中二项分布，二项展开式系数－杨辉三角；杨辉在1261年《详解九章算法》中谈到引自《释锁算数》(该书失传，说贾宪用过）；国外叫朱世杰三角，1303年；帕斯卡1654年发现，称帕斯卡三角，晚400年;德国1527年发现。

４正确树立人生观选择无处不在，委屈、不公无处不在，概率的发展本身充满不公正，要正确看待失败、诬陷、打击，好好活着；1.购物买名牌，平均寿命长，倒霉时三个月就坏；2.清华整体比天大强，但对某个专业，某些人未必谁强，有出息3.交友牢记：路遥知马力，日久见人心；4.出行乘飞机，可以放心，出事故是小概率事件；5.不要发生守株待兔、因噎废食的事情；6.数学模型是逼近，人活1000岁的概率1/10^10^36,平均太阳系毁灭次，出现一个；7.委屈是大概率事件，不及格是小概率事件，面对打击时想“天将降大任于我”

第一章古典概型与概率空间随机事件及其运算概率的公理化定义及其运算条件概率和乘法公式事件的独立性

第一章随机事件与概率

1.1样本空间与随机事件1.1.1随机实验对随机现象进行观察和试验；掷硬币:正反面;掷骰子：1,2,3,4,5,6;特性：a)可重复性(条件不变);b)结果不唯一(情况可以预见);c)试验之前不能定结果（不可预见）

对某事物特征进行观察,统称试验.若它有如下特点,则称为随机试验,用E表示3.（不确定性）试验前不能预知出现哪种结果

基本术语

1.可在相同的条件下重复进行（可重复性）2.（可预见性）试验结果不止一个,但能明确所有的结果样本空间——随机试验E所有可能的结果样本空间的元素,即E的直接结果,称为组成的集合称为样本空间

记为

样本点(or基本事件)常记为，={}E1:抛一枚硬币，分别用“H”和“T”表示出正面和反面;E2:将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况；E3:将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数E4:掷一颗骰子，可能出现的点数；E5:记录某网站一分钟内受到的点击次数；做实验第一次成功所需实验次数E6:记录某地一昼夜的温度E7:在一批灯泡中任取一只，测其寿命;任选一人，记录他的身高和体重。随机实验的例子随机事件例：写出E1到E6的样本空间：1：{H,T}

2：{HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}3：{0,1,2,3}

随机事件定义一

在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。随机事件一般用大写英文字母A,B,C……等表示。例：在E2中，“出现‘正反反(HTT)’”，“出现两次正面”

“三次出现同一面”等都是随机事件，可将依次记为A,B,C。在E7中，“灯泡的寿命超过500小时”是一随机事件，我们可用D表示此事件。任何事件均可表示为样本空间的某个子集.例如对于试验E2

，以下A、

B、C即为三个随机事件:A＝“至少出现一个正面”＝{HHH,HHT,HTH,THH，HTT，THT，TTH}；

B=“三次出现同一面”={HHH,TTT}C=“恰好出现一次正面”={HTT，THT，TTH}再如，试验E6中D＝“灯泡寿命超过1000小时”＝{x:1000<x<T(小时）}称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素。基本事件

——仅由一个样本点组成的子集它是随机试验的直接结果,每次试验必定发生且只可能发生一个基本事件.复合事件

—多个个样本点组成的集合.2.两个特殊事件:

（1）必然事件——全体样本点组成的事件,记为,每次试验必定发生的事件.如“掷一粒骰子点数小于7

”。（2）不可能事件：不包含任何样本点的事件,在试验中不可能出现的事情，记为Ф。如“掷一粒骰子掷出8点”。

三、事件之间的关系

既然事件是一个集合，因此有关事件间的关系、运算及运算规则也就按集合间的关系、运算及运算规则来处理。

1.包含关系

“事件A发生必有事件B发生”记为A

BA＝B

A

B且B

A.2.和事件：事件A与事件B至少有一个发生”，记作AB2’n个事件A1,A2,…,An至少有一个发生，记作3.积事件:事件A与事件B同时发生，记作A

B＝AB3’n个事件A1,A2,…,An同时发生，记作A1A2…An4.差事件：A－B称为A与B的差事件,表示事件A发生而事件B不发生思考：何时A-B=?何时A-B=A？5.互斥的事件（也称互不相容事件）：若事件A与事件B不可能同时发生，即AB＝

6.互逆的事件：如果A

B＝

,且AB＝

事件A发生导致B也发生A是B的子集

A与B相等A与B相等

A与B不相容A与B无公共元素

A的对立事件A的余集

A与B至少有一个发生A与B的并集

A与B同时发生A与B的交集

A发生而B不发生A与B的差集记号概率论集合论事件与集合的关系及运算对照：五、事件的运算1、交换律：A

B＝B

A，AB＝BA2、结合律：(A

B)

C＝A(BC)，

(AB)C＝A(BC)3、分配律：(A

B)C＝(AC)(BC)，

(AB)

C＝(AC)(B

C)4、对偶(DeMorgan)律：例1：某人买五次彩票，用Ai表示某人第i次中奖，则以下事件如何表示（1）恰有一次中奖（2）恰有两次中奖（3）至少一次中奖（4）一次也未中奖（5）不多于三次中奖（6）至少两次中奖（7）五次全部中奖例2:甲种产品畅销,乙种产品滞销的对立事件为A.甲种产品滞销,乙种产品畅销B.甲乙两种产品均畅销C.甲乙两种产品均滞销D.甲种产品滞销或乙种产品畅销

概率的定义从直观上来看，事件A的概率是描绘事件A发生的可能性大小的量?P（A）应具有何种性质？?*抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？*掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？出现单数点的概率为多少？*向目标射击，命中目标的概率有多大？某人向目标射击，以A表示事件“命中目标”，P（A）=？?定义:事件A在n次重复试验中出现nA次，则比值nA/n称为事件A在n次重复试验中出现的频率，记为fn(A).

即

fn(A)＝nA/n.§1.2概率与频率历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。实验者nnHfn(H)DeMorgan204810610.5181Buffon404020480.5069K.Pearson1200060190.5016K.Pearson24000120120.5005

频率的性质(1)0

fn(A)

1；(2)fn(

)＝1；fn(

)=0(3)可加性：若AB＝

，则

fn(A

B)＝fn(A)＋fn(B).实践证明：当试验次数n增大时，fn(A)逐渐趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)，作为事件A的概率1.2概率的公理化定义通过对古典概型概率的直观理解，将概率的定义进行推广，给出概率的公理化定义。1.定义设是随机试验S对应的样本空间，对于每个事件A，均有实数P(A)满足条件：(1)非负性：P(A)≥0；(2)规范性：P(

)＝1； (3)可列可加性：设A1，A2，…,是一列两两互不相容的事件，即AiAj＝，(ij),i,j＝1,2,…,有

P(A1

A2

…

)＝P(A1)＋P(A2)+….(1.1)则称P(A)为事件A的概率。2.概率的性质(1)不可能事件的概率是0；(2)有限可加性：设A1，A2，…An,是n个两两互不相容的事件，即AiAj＝

，(ij),i,j＝1,2,…,n,则有

P(A1

A2

…

An)＝P(A1)＋P(A2)+…P(An);如果事件A、B互不相容，则P(A

B)＝P(A)＋P(B)特别地

(3)单调不减性：若事件A

B，则P(A)≥P(B)事件差：P(A-B)=P(A)-P(AB)(4)可分性：对任意两事件A、B，有

P(A)＝P(AB)＋.

(6)

(加法公式)对于任意两事件A,B

有

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)

推论1:设A1,A2,A3为任意三个事件，则有：

P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)-P(A1A2)

-P(A1A3)-P(A2A3)+P(A1A2A3)

推论2:

对于任意n个事件A1,A2,…

，An，则有：

P(A1∪A2∪…∪An)=

例2:设事件A.B仅发生一个的概率为0.3,P(A)+P(B)=0.5,则事件A.B至少发生一个的概率为多少?例3:已知,P(A)=1/2，P(B)=1/3,在下列三种情况下分别求的值

(1)A与B互不相容,

(2)

(3)P(AB)=1/4.解例1SABAB例3、某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸的人数分别占全体市民人数的30%,其中有10%的人同时定甲,乙两种报纸.没有人同时订甲丙或乙丙报纸.求从该市任选一人,他至少订有一种报纸的概率.EX解:设A,B,C分别表示选到的人订了甲,乙,丙报例4在1

10这10个自然数中任取一数，求（1）取到的数能被2或3整除的概率，（2）取到的数即不能被2也不能被3整除的概率，（3）取到的数能被2整除而不能被3整除的概率。解:设A={取到的数能被2整除};B={取到的数能被3整除}故例5

设A,B满足P(A)=0.6,P(B)=0.7,

在何条件下，

P(AB)取得最大(小)值？最大(小)值是多少？解最小值在时取得——最小值——最大值最大值在时取得

最小值是否正确？

例5中回答当时,

取得这相