【《保角变换法综述》1400字】

保角变换法综述目录TOC\o"1-3"\h\u25738保角变换法综述 1304021.1解析函数 190731.2保角变换法定义 1179981.3常用的保角变换 2解析函数若函数f(z)在z0及其领域上处处可导，则称f(z)在z0点解析。若f(z)在区域A上没一点都解析，则可称f(z)是区域A上的解析函数。根据复变函数的理论，解析函数是一类具有特殊性质的复变函数，它的一个重要性质是其实部与虚部都满足拉普拉斯方程，正是由于这个性质使得它在静电场问题中发挥着十分重要的作用。其中一个应用方式就是保角变换，保角变换的基本原理就是利用解析函数所代表的几何性质，使得原边值问题中区域的边界变得更为简单，然后再求出简单的边界问题的解，最后再逆变换回原边值问题得到它的解。因此，解析函数的方法可以用来求解边界复杂的问题，成为解决平面静电场的行之有效的工具。由于解析函数是定义在二维平面内的函数，只能解决平面静电场场的问题。而静电场是三维的，难以适用，但如果研究的场在空间某方向是均匀的，那么只需在垂直于该方向的平面上研究它，即平面静电场。在没有电荷的区域，静电场的电势满足二维拉普拉斯方程，我们可将电场的电势用解析函数的实部或虚部表示。保角变换法定义保角变换法简单来说即为：以原平面为基础，若将原平面用Z表示，该平面上每个点表示为(x,y)，在原平面边界复杂的难解的情况下，建立另一平面ζ,取z=ω(ξ)，使得原Z平面上的每一个点都有平面ζ的点(u,v)与其对应，若在z平面上去一条曲线C，且令某一点在C曲线上移动，相应的在平面ζ上也会有一条曲线。如果ω(ξ)是解析的并且它的导数不为零，那么在Z平面上的两条夹角为θ的曲线，经过上述的变换，在平面ζ上划出的两条曲线夹角不变仍为θ（如REF_Ref102656317\h图2.1，REF_Ref102656322\h图2.2所示）。这种变换即z=ω(ξ)为保角变换。图STYLEREF1\s2.SEQ图\*ARABIC\s11原平面曲线夹角图STYLEREF1\s2.SEQ图\*ARABIC\s12ζ平面上曲线夹角2.3常用的保角变换线性变换ζa与b是复常数，此变换实际上就是把图像变为它按比率例放大的相似形状，形状不变（此类一般不单独使用）。幂函数和根式幂函数ζZ在原点的交角放大为n倍。在原点以外任一有限远点，其交角保持不变。常用于使πn根式变换ζ为式2.2的逆变换，在原定的交角缩小1n指数函数及对数函数指数函数ζz平面上的平行于实轴的直线y=C变成了ζ平面上的过原点的射线，而平行于虚轴的直线x=C变成ζ平面上以原点为圆心，对数函数 ζ式2..4的逆变换，也就是圆变为了直线，常用于使2π的角域变为2π的带域。分式线性变换ζ分式变换不仅将圆保持为圆，而且对于圆的对称点保持为对称点（相对圆的一对对称点相当于电像法中的一对原、像电荷，平面视为圆的半径r→∞反演是分式线性变换的特例，其中a=0，d=0，bc变换可化为ζ=c即可分解成为相继的三个变换z施瓦兹-克里斯多菲变换施瓦兹-克里斯多菲是对多角形边界求变换关系的一种常规方法，通过它可以导得把多边形边界变换成无限长直线或圆周的变换式。（如图2.3与图2.4）dz