人教版八年级上册数学期末复习学案

人教版八年级上册数学期末复习学案亲爱的同学们，期末考试的脚步日益临近，这既是对我们整个学期学习成果的检验，也是一次查漏补缺、巩固提升的好机会。这份复习学案旨在帮助大家系统梳理本学期所学的数学知识，明确重点、难点，掌握解题方法与技巧，希望能为大家的期末复习提供有力的支持。请大家务必结合教材、课堂笔记和平时作业，认真对待每一个知识点，做到心中有数，从容应考。一、三角形（一）知识梳理与回顾1.三角形的基本概念：*三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。*三角形的基本元素：边（三条）、角（三个内角、三个外角）、顶点。*三角形的表示方法：如△ABC。2.三角形的三边关系：*三角形任意两边之和大于第三边。*三角形任意两边之差小于第三边。*作用：判断三条线段能否组成三角形；已知两边，确定第三边的取值范围。3.三角形的内角和与外角：*三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。*直角三角形的两个锐角互余。*三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角。*三角形外角的性质：*三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。*三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。*三角形的外角和等于360°。4.三角形的分类：*按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。*按边分：不等边三角形、等腰三角形（等边三角形是特殊的等腰三角形）。5.三角形中的重要线段：*高线（高）：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。（注意钝角三角形高的位置）*中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段。（三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心）*角平分线：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段。*三角形具有稳定性。（二）重点、难点与易错点剖析*重点：三角形三边关系；三角形内角和定理及外角性质；三角形的高、中线、角平分线的概念及性质。*难点：三角形三边关系的灵活应用；钝角三角形高的画法及理解；三角形外角性质的应用。*易错点：*运用三边关系时，忽略“任意”两边；在求第三边范围时，忘记“大于两边之差，小于两边之和”。*画钝角三角形的高时，容易画错垂足位置。*混淆三角形的内角与外角的概念及性质。（三）典型例题解析例题1：已知三角形的两边长分别为a和b（a<b），则第三边长c的取值范围是_________。若此三角形的周长为奇数，且a=3，b=4，则c=_________。思路点拨：直接运用三角形三边关系。第二问在第一问的基础上，先确定c的范围，再结合周长为奇数及a、b的值确定c的具体值。简要解答：b-a<c<a+b；因为a=3，b=4，所以1<c<7。周长为3+4+c=7+c，要为奇数，则c为偶数。所以c可以是2、4、6。例题2：如图，在△ABC中，∠B=60°，∠C=70°，AD是∠BAC的平分线，AE是BC边上的高，求∠DAE的度数。思路点拨：先利用三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再由角平分线求出∠BAD的度数。在Rt△ABE中求出∠BAE的度数，∠DAE=∠BAE-∠BAD。简要解答：∠BAC=180°-60°-70°=50°，∠BAD=25°。∠BAE=90°-∠B=30°，所以∠DAE=30°-25°=5°。（四）方法与技巧总结*涉及三角形边长问题，优先考虑三边关系定理。*求角度问题，牢记内角和定理及外角性质，善于从图形中识别外角与内角的关系。*对于三角形中的重要线段，要理解其定义，并能在不同类型的三角形中准确画出。（五）自我检测与巩固练习1.下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A.1，2，3B.2，3，4C.2，2，5D.3，4，82.在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是______三角形。3.三角形的三条高所在的直线交于一点，这个点的位置在锐角三角形的______，直角三角形的______，钝角三角形的______。二、全等三角形（一）知识梳理与回顾1.全等形与全等三角形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形；能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。2.全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。3.全等三角形的性质：*全等三角形的对应边相等。*全等三角形的对应角相等。*全等三角形的对应边上的高、中线、对应角的平分线相等。*全等三角形的周长相等，面积相等。4.全等三角形的判定方法：*SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等。*SAS（边角边）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。*ASA（角边角）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。*AAS（角角边）：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。*HL（斜边、直角边）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（仅适用于直角三角形）5.角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。*逆定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。（二）重点、难点与易错点剖析*重点：全等三角形的性质；全等三角形的判定方法（SSS,SAS,ASA,AAS,HL）及其应用；角平分线的性质与判定。*难点：根据已知条件选择合适的判定方法证明两个三角形全等；辅助线的添加；利用全等三角形解决实际问题。*易错点：*对“对应”二字理解不清，找错对应边、对应角。*运用SAS判定时，忽略“夹角”条件，误用“边边角”。*证明过程不规范，条件书写不全或理由不充分。*忽略三角形全等判定的前提条件（如SSS需要三边对应相等）。（三）典型例题解析例题3：已知：如图，点A、F、C、D在同一直线上，AF=DC，AB∥DE，AB=DE。求证：△ABC≌△DEF。思路点拨：由AF=DC可推出AC=DF；由AB∥DE可推出∠A=∠D；已知AB=DE。具备了SAS的条件。简要解答：∵AF=DC，∴AF+FC=DC+FC，即AC=DF。∵AB∥DE，∴∠A=∠D。在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠A=∠D，AC=DF，∴△ABC≌△DEF(SAS)。例题4：已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E。求证：CD=DE。思路点拨：要证CD=DE，可考虑证明它们所在的三角形全等，即△ACD和△AED。已知AD平分∠BAC，可得∠CAD=∠EAD；AD是公共边；∠C=∠AED=90°，可用AAS或ASA证全等。也可直接利用角平分线的性质定理得出结论。简要解答：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，∴CD=DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）。（或用AAS证明△ACD≌△AED）（四）方法与技巧总结*证明三角形全等的基本思路：1.已知两边：找夹角（SAS）或第三边（SSS）。2.已知两角：找夹边（ASA）或一角的对边（AAS）。3.已知一边一角：*边为角的对边：找另一角（AAS）。*边为角的邻边：找夹这个角的另一边（SAS）或找另一个角（ASA或AAS）。*注意图形中的隐含条件，如公共边、公共角、对顶角等。*当题目中涉及角平分线且有垂直条件时，可优先考虑角平分线的性质定理。*证明线段或角相等时，若它们不在同一个三角形中，常通过证明它们所在的两个三角形全等来实现。（五）自我检测与巩固练习1.如图，△ABC≌△DEF，∠A=50°，∠B=60°，则∠F=______°。2.下列条件中，不能判定△ABC≌△A'B'C'的是（）A.AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C'B.∠A=∠A'，∠B=∠B'，AB=A'B'C.AB=A'B'，∠A=∠A'，BC=B'C'D.∠A=∠A'，AB=A'B'，AC=A'C'3.已知：如图，AB=AD，∠B=∠D。求证：BC=DC。三、轴对称（一）知识梳理与回顾1.轴对称图形与轴对称的概念：*轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。*轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。2.轴对称的性质：*如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。*轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。*成轴对称的两个图形全等。3.线段的垂直平分线：*定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。*性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。*判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。4.用坐标表示轴对称：*点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y)。*点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y)。*点(x,y)关于直线x=a对称的点的坐标为(2a-x,y)。*点(x,y)关于直线y=b对称的点的坐标为(x,2b-y)。（后两条了解即可）5.等腰三角形：*定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。*性质：*等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。*等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。*判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。6.等边三角形：*定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。*性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°。*判定：*三个角都相等的三角形是等边三角形。*有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。7.含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。（二）重点、难点与易错点剖析*重点：轴对称的概念及性质；线段垂直平分线的性质与判定；等腰三角形的性质与判定；等边三角形的性质与判定。*难点：区分轴对称图形与轴对称；利用轴对称的性质解决几何问题；等腰三角形“三线合一”性质的灵活应用；含30°角的直角三角形性质的应用。*易错点：*混淆“轴对称图形”和“两个图形成轴对称”的概念。*忽略线段垂直平分线性质和判定中的“垂直”条件。*运用等腰三角形性质时，找不准顶角和底角，或误用“三线合一”（必须是顶角平分线、底边上的中线、底边上的高）。*对等边三角形的特殊性理解不够，忽略其是特殊的等腰三角形。（三）典型例题解析例题5：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，∠B=50°，求∠BAD的度数。思路点拨：由AB=AC知△ABC是等腰三角形，AD是底边上的中线，根据“三线合一”，AD也是顶角∠BAC的平分线和底边上的高。先求∠BAC，再求∠BAD。简要解答：∵AB=AC，∴∠B=∠C=50°。∠BAC=180°-50°×2=80°。∵AD是BC边上的中线，∴AD平分∠BAC（三线合一）。∴∠BAD=1/2∠BAC=40°。例题6：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=3cm，求AB的长。思路点拨：直接利用含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半。这里∠A=30°，所对的直角边是BC。简要解答：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∴BC=1/2AB（或AB=2BC）。∵BC=3cm，∴AB=6cm。（四）方法与技巧总结*解决与轴对称相关的问题，关键是抓住对称轴，利用对称轴是对应点连线的垂直平分线这一性质。*遇到等腰三角形的问题，要联想到“等边对等角”和“三线合一”。“三线合一”是证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据。*判定等腰三角形的两种思路：一是证明两边相等，二是证明两角相等。*等边三角形具有等腰三角形的一切性质，且三边相等，三角相等，每个角都是60°，解题时要充分利用这些特