十字相乘法课件2025-2026学年北师大版八年级数学下册

4.4十字相乘法新课引入新知探索典例分析课堂小结作业布置整式乘法因式分解互逆(x+2)(x+3)=(x+2)(x-3)=(x-2)(x+3)=

(x-2)(x-3)=

x2+5x+6

x2-x-6

x2+x-6

x2-5x+6

(x+a)(x+b)

=x2+(a+b)x+ab

公式特征：1、二次三项式2、二次项系数为1时，常数项可分成两数之积3、一次项系数是这两数之和

十字相乘法新课引入新知探索典例分析课堂小结作业布置

形如

x2+px+ab的二次三项式，若p=a+b,则可以分解为(x+a)(x+b).

x2+px+ab=(x+a)(x+b)

1a1b

1·a+1·b=p

关键：拆常数，凑一次项

十字相乘法

像这样，利用十字交叉线分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.xaxbxx

a

b

ax+bx=px

新课引入新知探索典例分析课堂小结作业布置引例

因式分解：x2+4x+31

1

1

3

1×3+1×1=4

解：

原式

=(x+1)(x+3)

十字相乘法典例分析新课引入新知探索课堂小结作业布置例1将下列各式分解因式：（1）x2+3x+21

1

1

2

1×2+1×1=3

解：

原式

=(x+1)(x+2)

十字相乘法典例分析新课引入新知探索课堂小结作业布置

变式：

因式分解：x2+5x+61

1

1

6

解：

原式

=(x+2)(x+3)

1×2+1×3=5

1

2

1

31-1

1-61

-2

1-31

2

1

3答：p可能是7，5，-7，-5思考：若x2+px+6可以分解因式，则p可能是？

十字相乘法典例分析新课引入新知探索课堂小结作业布置

例1：

（2）x2-7x+6

（3）x2-4x-21

（4）x2+2x-151-1

1-61×(-1)+1×(-6)=-7

解：

(2)x2-7x+6=(x-1)(x-6)1-7

1

31×3+1×(-7)=-4

(3)x2-4x-21=(x-7)(x+3)151-31×(-3)+1×5=2

(4)x2+2x-15=(x+5)(x-3)练习：（1）x2-5x-6

（2）x2-6x+8（3）x2+3x-10

解：

（1）

原式=(x-6)(x+1)（2）原式=(x-2)(x-4)（3）原式=(x+5)(x-2)

十字相乘法常数项为正，分成同号两数相乘；常数项为负，分成异号两数相乘典例分析新课引入新知探索课堂小结作业布置

例2：

因式分解：(1)x2+12xy-13y2

（2）x4+5x2-6

1-1

1

131×13+1×(-1)=12

解：

原式=(x-y)(x+13y)1

6

1-11×(-1)+1×6=5

解：原式=(x2+6)(x2-1)=(x2+6)(x+1)(x-1)

十字相乘法典例分析新课引入新知探索课堂小结作业布置

例2：

因式分解：(3)

(m+n)-6

(m+n)51×5+1×(-6)=-1

解：原式=(m+n-6)(m+n+5)练习：（1）a2+8ab+12b2

（2）a4-5a2+4

（3）

（2）原式=(a2-4)(a2-1)=(a-2)(a+2)(a-1)(a+1)

解：

（1）原式=(a+2b)(a+6b)（3）原式=(a+b-1)(a+b-3)

十字相乘法典例分析新课引入新知探索课堂小结作业布置mnx2+px+ab分解因式二mnx2+px+ab=(mx+a)(nx+b)其中p=mb+na

man

bm·b+n·a=p

x2+px+ab分解因式一x2+px+ab=(x+a)(x+b)其中p=a+b

拆、凑

1a1

b1·a+1·b=p

新知探索新课引入典例分析课堂小结作业布置

例3：

把下列各式分解因式：（1）2x2-7x+3（2）6x2-7x-5练习：分解因式：2x2+5x-12=(2x-3)(x+4)1

1

2

31

3

2

11-1

2-31

-3

2-11

-3

2-1

1×(-1)+2×(-3)=-7

(1)解：

原式

=(x-3)(2x-1)2

1

3-5

2×(-5)+3×1=-7

(2)解：

原式

=(2x+1)(3x-5)

十字相乘法典例分析新课引入新知探索课堂小结作业布置

变式：

把下列各式分解因式：

（2）5x2+6xy-8y2

（3）4m2+8mn+3n2

1

2

5-4

1×(-4)+5×2=6

(1)解：

原式

=(x+2y)(5x-4y)2

1

2

3

2×3+2×1=8

(2)解：

原式

=(2m+n)(2m+3n)

十字相乘法典例分析新课引入新知探索课堂小结作业布置

例4：

因式分解：（1）(x2-4x)2-(x2-4x)-20

1

-5

141×(-5)+1×4=-1

解：原式=(x2-4x-5)(x2-4x+4)1

-5

111×(-5)+1×1=-4

=(x-5)(x+1)(x-2)2

分析：令x2-4x=A，则原式=A2-A-20

∴原式=(A-5)(A+4)

注意：分解因式要彻底

十字相乘法典例分析新课引入新知探索课堂小结作业布置例5：分解因式：(x2-3x+2)(x2-3x-4)-72

1

8

1-101×(-10)+1×8=-2

=(A+8)(A-10)1

2

1-51×(-5)+1×2=-3

即原式=(x2-3x+8)(x2-3x-10)

分析：令x2-3x=A，则原式=(A+2)(A-4)-72

解：

令x2-3x=A，

则原式=(A+2)(A-4)-72

=A2-2A-80=

(x2-3x+8)(x+2