部编版五年级数学下册第二单元：《因数与倍数》教案：通过数数活动引导学生认识因数倍数概念落实数论概念启蒙培养数学思维与表达素养

部编版五年级数学下册第二单元：《因数与倍数》教案：通过数数活动引导学生认识因数倍数概念，落实数论概念启蒙，培养数学思维与表达素养课题与学情背景信息本课为部编版五年级数学下册第二单元《因数与倍数》的起始课。课型为新概念建立课。五年级下学期的学生，其逻辑思维能力正处于从具体运算阶段向形式运算阶段过渡的关键期，对规律性、结构性的知识开始表现出较强的探究兴趣。他们已熟练掌握乘除法运算，并在以往学习中接触过“整除”的初步现象（如“平均分”、“正好分完”），但尚未从数论的角度，将除法运算中“除数”、“商”与“被除数”之间特定的相互关系，提炼并命名为“因数”与“倍数”。学生可能存在的认知冲突在于：容易将“因数”与乘法中的“乘数”混淆，认为“因数”只是乘法算式中“前面”或“后面”的那个数；同时，对“倍数”的理解可能停留在“一个数的几倍”这样的乘法计算层面，难以与除法中的整除关系建立逆关联。因此，如何通过丰富的“数数”与“分物”活动，帮助学生从具体操作中抽象出概念本质，并清晰界定两者相互依存的关系，是教学成功的关键。核心素养导向的教学目标知识与能力目标：学生在具体操作（如摆图形、分小棒）的情境中，理解因数和倍数的意义，掌握其概念。学生能准确判断两个非零自然数之间是否存在因数与倍数关系，并能用规范的数学语言进行描述，例如：“12是3的倍数，3是12的因数”。学生初步学会有序地找一个数的因数和倍数的方法，体会一个数因数的个数是有限的，倍数的个数是无限的。过程与方法目标：通过“用12个完全相同的小正方形拼摆不同长方形”的核心探究活动，让学生经历“动手操作—观察记录—抽象概括—语言表达”的完整认知过程，初步建立因数概念的几何模型（面积模型）。借助“找朋友”（如为数字“18”找因数）和“接力赛”（如写一个数的倍数）等结构化游戏，引导学生在具体实践中，通过不完全归纳法，自主发现并概括寻找因数与倍数的不同策略及其结果的特性（有限性与无限性）。情感态度与价值观目标：在探索整数内在性质（因数与倍数）的过程中，感受数学的严谨性与规律美，体验发现规律的乐趣，激发探索数论奥秘的好奇心。通过理解因数与倍数的相互依存关系，初步体会事物之间普遍联系的辩证观点。教学重难点及突破策略教学重点：理解因数和倍数的意义，掌握判断两个数之间因数与倍数关系的方法。教学难点：学生理解因数与倍数的相互依存关系，并能用规范的数学语言进行表达；初步体会寻找因数与倍数的方法及其结果的特征。突破策略：模型建构，化抽象为具体：设计“用指定数量的小正方形拼长方形”的核心活动，将“一个数可以写成哪两个整数相乘的形式”这一抽象问题，转化为“面积固定，长和宽可以是多少”的直观几何问题，使“因数对”（长和宽）触手可及。语言支架，固化关系认知：在得出具体乘法算式（如3×4=12）后，不急于给出定义，而是引导学生反复练习说：“因为3×4=12，所以12是3和4的倍数，3和4是12的因数。”通过固定句式的高频次、多情境复现，帮助学生将“乘除互逆关系”与“因数倍数关系”牢固绑定，并掌握规范表达。比较辨析，凸显方法特征：在“找因数”和“找倍数”的活动中，有意收集并对比学生的不同找法（有序与无序、全面与遗漏），通过讨论哪种方法“好、快、全”，引导学生总结出“成对有序找因数”和“依次乘自然数得倍数”的方法，并自然引出对“有限个”与“无限个”的初步感知。关系聚焦，强化依存理解：设计专门的辨析环节，出示诸如“8是倍数，4是因数”这样的孤立错误表述，引导学生运用关系句式进行修正，在“纠错”中深化对“因数与倍数不能单独存在，必须成对出现”这一核心难点的理解。教学准备与资源描述教具与学具：教师用：磁性小正方形教具12个（边长约10厘米，蓝色），可在黑板上拼贴。数字卡片若干（如2,3,4,6,12,18,24等）。用于记录学生发现的白板或大型记录纸。学生用：每两人一个学具袋，内含12个完全相同的小正方形（纸质或塑料，边长约2厘米，白色）。一张“因数倍数探索记录单”，记录单分为两部分：第一部分是表格，列有“拼出的长方形（几行×几列）”、“乘法算式”、“我的发现（因数和倍数）”；第二部分留有空白用于记录寻找指定数字（如18）因数的过程。多媒体资源：准备一段时长约2分钟的无声动画微视频（文字描述）：画面中央出现数字“12”。随后，12个小方块落下，自动排列成1×12的长条。接着，方块打散，重新排列成2×6的矩形。再次打散，排列成3×4的矩形。每次排列成功，旁边同步浮现对应的乘法算式（1×12=12，2×6=12，3×4=12）。最后，这三个算式闪烁，从每个算式的乘数位置引出箭头指向“12”，并标注“因数”；同时从“12”引出箭头指向每个乘数，标注“倍数”。画面以“12”为中心，形成一个简单的网络图。教学过程一、情境导入（教师面带笑容，手持12个磁性小正方形走上讲台，将它们吸附在白板一角。）教师话术：同学们，今天数学课，我们首先来玩一个“图形魔术师”的小游戏。看，老师手上有一些一模一样的小正方形。假设每个正方形的边长代表“1”，那么它的面积就是“1”。现在，我这里有12个这样的小正方形。我的挑战是：不剪不撕，只用这12个小正方形，你能拼出几种不同的长方形？谁愿意来当第一个魔术师？（教师邀请一名学生上台操作。学生可能尝试拼出一种，如长排一行。）预设学生回答1（操作后）：我拼了一个长长的长方形，一排摆了12个。教师回应与动作：（在记录纸上画下示意图，并写下“1×12”）太棒了！这是一种拼法，我们可以记作：每行摆1个，摆了12行。用乘法表示就是1×12。教师话术：除了这种“瘦高个”的长方形，还能拼出别的样子吗？再请一位魔术师！（另一名学生上台，可能拼出3行4列。）预设学生回答2：我拼了一个3行4列的长方形。教师回应与动作：（记录“3×4”）很好！3行，每行4个，乘法算式是3×4=12。教师话术：（转向全班）还有不同的拼法吗？请同学们开动脑筋。（学生思考，可能有人在下面小声说“2行6列”。）预设学生回答3（来自台下）：可以拼成2行，每行6个！教师回应：（记录“2×6”）非常好！2×6=12。教师话术：（指着记录纸上并列的三个算式：1×12=12，2×6=12，3×4=12）魔术暂停！请大家仔细观察这三个乘法算式。它们都有一个共同的特点，你发现了吗？预设学生回答4（学优生）：它们的结果都是12。预设学生回答5（中等生）：它们都是用两个整数相乘得到12。预设学生回答6（学困生可能疑惑）：是不是说，能拼成长方形，这两个数乘起来就得是12？教师回应：（首先肯定并提炼学优生和中等生的回答）大家观察得很准！这三个算式，都是两个整数相乘，而且它们的积都是12。（加重语气）在数学上，我们就把这些相乘的两个数，和这个积之间，建立起一种特别的关系。今天，我们就来认识这对数学中的“好朋友”——因数与倍数。（板书课题：因数与倍数）设计意图：从拼长方形游戏入手，趣味性强且直观。学生在操作中自然产生不同的乘法算式。教师的追问将学生的注意力从“拼图形”引向对“乘法算式”共同特征的观察，为引出“因数倍数”概念做好充分、自然的铺垫。预设不同层次回答，确保全体学生都能参与到观察与思考中。二、探究新知1.建立概念：从算式中提炼关系教师话术：我们以3×4=12这个算式为例。（手指算式）在乘法里，3和4都叫乘数，12叫积。从今天我们学习的“因数与倍数”这对好朋友的角度看，它们的关系可以这样说，请大家仔细听，然后跟我一起说：因为3×4=12，所以，12是3和4的倍数，3和4是12的因数。（板书这句话，并在“倍数”和“因数”下画重点号）来，全班一起说一遍。（学生齐读）教师话术：谁能像老师这样，看着1×12=12这个算式，说一说谁是谁的因数，谁是谁的倍数？预设学生回答：因为1×12=12，所以12是1和12的倍数，1和12是12的因数。教师追问评价：说得很完整！注意，我们说的时候，要像这位同学一样，把两个因数都说全：“12是1和12的倍数”，“1和12是12的因数”。小组讨论规则：现在，请同桌两人为一组，互相说一说2×6=12这个算式中，因数与倍数的关系。一个人说，另一个人当小裁判，听听他说得是不是又完整又准确。（教师巡视，倾听并指导表达不完整的同桌）讨论场景预设：大部分学生能模仿说出。常见问题可能是只说“6是因数，12是倍数”，遗漏另一个因数“2”，或表述不完整。教师引导精讲：（针对巡视发现的问题）老师听到有的同学说“6是因数，12是倍数”。这样说，意思不完整，也不准确。就像我们不能只说“小明是同学”一样，必须说清楚“小明是谁的同学”。在数学里，我们也必须说完整：“谁”是“谁”的因数，“谁”是“谁”的倍数。因数与倍数，就像一对双胞胎，总是相互依存，一起出现的。请大家再完整地说一次2×6=12的关系。（学生再次齐说）2.深化理解：在除法中确认关系，拓展外延教师话术：大家说得越来越好了。既然乘法中3×4=12，可以说12是3和4的倍数。那么，根据乘除法的关系，12÷3=4，你能从这个除法算式中，找到因数和倍数吗？预设学生回答：因为12÷3=4没有余数，可以说12是3和4的倍数，3和4是12的因数。教师回应：太棒了！你发现了判断两个数是否有因数倍数关系的另一个重要方法：如果整数a除以整数b（b≠0）得到的商是整数而且没有余数，我们就说a是b的倍数，b是a的因数。（板书此定义）所以，判断时，看乘法可以，看除法（能否整除）也可以。教师话术：现在，我们来玩一个“找朋友”游戏。我这里有一些数字卡片。（出示卡片2,6,12,18,24）请你从这些数中，任选两个，判断它们之间是否有因数或倍数的关系，并用完整的句子说出来。比如，我选12和6，我说：因为12÷6=2，所以12是6的倍数，6是12的因数。谁想来试试？（学生踊跃尝试，教师引导表达规范，并适时加入如“18和2”、“24和12”等组合，巩固认知。）3.探索方法：学习如何寻找一个数的因数和倍数探究活动一：找18的因数教师话术：刚才我们说的是两个数之间的关系。现在，如果我只给你一个数，比如18，你能找出它所有的因数吗？因数就是能整除它的那些数。请拿出你们的探索记录单，在第二部分，试着找出18的所有因数，看谁找得又全又快，而且有顺序。（学生独立尝试，教师巡视，发现不同的寻找策略：无序尝试、从1开始试除、成对寻找等。）小组讨论规则：现在，请四人为一小组，交流一下：(1)你找到了18的哪些因数？(2)你是怎么找到的？你的方法有什么优点？(3)18的因数找完了吗？你怎么知道？（学生小组讨论，教师巡视，聆听典型方法。）讨论场景预设：组A：我们找到了1,2,3,6,9,18。是一个个用除法试的，从1试到18。组B：我们也是这些，但我们从1开始，1×18=18，找到一对；2×9=18，又找到一对；3×6=18，再找到一对。这样成对找，不容易漏。组C：我们也在想找完了没有，发现找到6的时候，和3重复了（3×6和6×3），感觉再往下找7、8，除不尽，可能就找全了。学生代表发言：代表（来自组B）：我们组找到了1,18，2,9，3,6。我们是用成对找的方法。从1开始，看1乘几等于18，找到1和18；然后看2乘几等于18，找到2和9；接着看3，找到3和6；再看4，不行；5也不行；6已经和3重复了，就停止了。我们认为找全了。教师追问评价：你们的“成对找”方法太有智慧了！而且注意到了“重复了就停止”，这说明你们在有序地思考。（板书：18的因数：1,2,3,6,9,18）我们一般按从小到大的顺序写。大家数一数，18有几个因数？（6个）是的，一个数的因数的个数是有限的。我们找到最大的时候（18），找因数的旅程就结束了。探究活动二：找3的倍数教师话术：找因数有方法了，那找一个数的倍数呢？比如，请找出3的倍数。你想怎么找？预设学生回答：用3去乘1、乘2、乘3……教师话术：好，我们就按这个思路，一起说，我来写：3×1=3，3×2=6，3×3=9，3×4=12……（板书：3的倍数：3,6,9,12…）教师提问：能写完吗？省略号是什么意思？预设学生回答：写不完，有无数个。教师总结：对！一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身（比如3），没有最大的倍数。设计意图：第一步，通过固定句式训练，将概念与乘除法算式绑定，并强力规范数学语言。第二步，引入除法判断准则，打通概念理解的另一路径，并通过“找朋友”游戏进行变式练习。第三步是方法教学，通过“找18的因数”和“找3的倍数”两个对比鲜明的任务，让学生在自主探究和小组交流中，体会不同策略，并通过教师引导，总结出有序成对找因数（有限）、依次乘自然数找倍数（无限）的方法及其结果特性，完成从“关系判断”到“集合寻找”的能力提升。三、巩固练习1.基础题（关系判断与表达）题干：根据算式，说出哪个数是哪个数的倍数，哪个数是哪个数的因数。(1)35÷7=5(2)8×9=72(3)56÷8=7(4)3×20=60预期答案与教师讲解：(1)35是7和5的倍数，7和5是35的因数。强调除法算式同样适用。(2)72是8和9的倍数，8和9是72的因数。(3)56是8和7的倍数，8和7是56的因数。(4)60是3和20的倍数，3和20是60的因数。追问：“20是60的因数”这句话成立吗？成立，因为60÷20=3。防止学生认为只有“小”的才是因数。易错点：学生可能只说“35是倍数”，或“7是因数”。教师讲解：这就像介绍两个人，必须说清楚“谁是谁的谁”。单独说“因数”或“倍数”是没有意义的，必须指明一对相互依存的关系。2.应用题（概念应用与寻找）题干：新年联欢会上，老师准备了24块糖果，打算平均分给表演节目的同学，要求每人分得的糖果数一样多，正好分完。每人可能分到几块糖？（每人至少分2块）预期答案与易错分析：此题实为找24的因数（排除1）。24的因数有：1,2,3,4,6,8,12,24。排除1，所以每人可能分到2,3,4,6,8,12,24块。易错点：学生可能漏掉因数，尤其是成对寻找时漏掉中间如4、6等；也可能忘记排除“每人1块”这个不符合题意（“至少分2块”）的情况。教师讲解时，应引导学生先列出所有因数，再根据题意筛选，培养审题和结合实际情况解决问题的能力。3.挑战题（综合思维与规律初探）题干：观察下面各数的因数，你有什么发现？6的因数：1,2,3,68的因数：1,2,4,89的因数：1,3,916的因数：1,2,4,8,16（1）上面这些数中，因数个数是奇数个的有哪些？因数个数是偶数个的有哪些？（2）像6这样的数（除了它本身，所有因数的和等于它本身：1+2+3=6），在数学上有一个有趣的名字叫“完全数”。你能试着找出20以内另一个这样的“完全数”吗？（提示：它的因数有1,2,4,7,14）预期答案与思维点拨：（1）因数个数是奇数个的有：1,4,9,16（都是平方数，因为因数成对出现，平方数中间有一个重复的因数导致个数为奇）。偶数个的有：6,8。此题引导学有余力的学生初步感知因数个数的奇偶性与数本身特性的关联。（2）另一个20以内的完全数是28（因数1,2,4,7,14，1+2+4+7+14=28）。教师可简单介绍“完全数”作为数学文化拓展，激发兴趣，并让学生体会因数之和的奇妙性质。四、课堂小结教师话术：同学们，今天这节“因数与倍数”的探秘之旅真是收获满满！让我们一起来梳理一下今天的宝藏地图。（教师利用板书和关键词，引导学生回顾）教师话术：我们首先从拼长方形的游戏中（指记录），发现了像1×12=12，2×6=12，3×4=12这样的等式。从这里，我们认识了数学世界里一对形影不离的好朋友——因数和倍数。我们学会了判断它们的方法：既可以看乘法，也可以看除法（能否整除）。更关键的是，我们学会了如何规范地介绍它们：（示范说）因为a×b=c，所以c是a和b的倍数，a和b是c的因数。必须成对说，说明谁是谁的谁。教师话术：接着，我们掌握了寻找它们的方法。找一个数的因数，可以从1开始，成对地找，这样有序又全面，而且我们知道一个数的因数个数是有限的。找一个数的倍数，可以用这个数依次乘自然数，倍数有无数多个，最小是它本身。教师话术：（情感升华）因数与倍数，就像打开了整数王国的一扇新大门。门后面，有像“完全数”这样有趣的秘密，还有我们以后要认识的质数、合数、公因数、公倍数等更多的朋友。今天，我们不仅学到了知识，更学会了有序思考的方法和严谨表达的习惯。数学的严谨之美，就体现在我们每一个清晰的思考和每一句完整准确的表达中。希望大家带着这把“因数倍数”的钥匙，去发现数学王国里更多奇妙的规律！五、作业布置必做作业：同步练习册第X页第1、2、3、4题。第1、2题重点练习关系判断与表达；第3、4题练习寻找指定数的因数和倍数（各写5个）。探究作业：列出24和30的所有因数。比一比，看看这两个数有哪些相同的因数？你能给这些相同的因数起个名字吗？（为下节课“公因数”做铺垫）选做作业（挑战星空）：你知道吗？古希腊数学家非常喜欢研究“完全数”。6是第一个完全数，28是第二个。你能通过网络或书籍，查一查第三个完全数是多少吗？它有什么特点？把你的发现简要记录下来。作业评价量表（Rubric）：优秀（4-5颗星）：必做作业全对，表达绝对规范；探究作业能正确找出因数