三角形全等的判定SSS例题及练习题

三角形全等的判定SSS例题及练习题三角形全等的判定是平面几何中的基础与核心内容，而“边边边”（SSS）判定定理更是我们证明三角形全等时最常用、也最直观的方法之一。掌握SSS判定，不仅能帮助我们解决各类几何证明题，更能培养我们的逻辑推理能力与空间想象能力。本文将通过例题解析与针对性练习，帮助同学们深入理解并灵活运用SSS判定定理。一、SSS判定定理回顾边边边（SSS）判定定理：如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。简而言之，若在△ABC与△DEF中，AB=DE，BC=EF，AC=DF，则△ABC≌△DEF（SSS）。这一定理的依据是三角形的稳定性：只要三角形的三条边长确定，其形状和大小就唯一确定，因此可以判定全等。二、典型例题精析例题1：直接应用SSS判定全等题目：已知在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，BC为公共边。求证：△ABC≌△DCB。分析：要证明两个三角形全等，我们先观察已知条件是否满足SSS定理的要求，即三组对应边是否分别相等。证明：在△ABC和△DCB中，∵AB=DC（已知），AC=DB（已知），BC=CB（公共边，注意顶点对应顺序），∴△ABC≌△DCB（SSS）。点评：本题是SSS判定定理的直接应用。关键在于准确找出对应边，特别是公共边这一隐含条件，它往往是证明的突破口。在书写证明过程时，要注意将对应顶点的字母写在对应的位置上，以清晰体现全等关系。例题2：结合简单计算的SSS判定题目：已知点B是线段AC的中点，且AD=CE，BD=BE。求证：△ABD≌△CBE。分析：题目中提到“点B是线段AC的中点”，这通常意味着AB=BC，这是一个重要的隐含条件。我们需要将这个条件与已知的AD=CE，BD=BE结合起来，看是否能满足SSS的条件。证明：∵点B是线段AC的中点（已知），∴AB=BC（线段中点的定义）。在△ABD和△CBE中，∵AB=CB（已证），AD=CE（已知），BD=BE（已知），∴△ABD≌△CBE（SSS）。点评：本题的关键在于从“中点”这一条件中提炼出“AB=BC”这一对对应边相等。在很多几何问题中，诸如中点、角平分线、垂直平分线等条件，往往能提供边或角的等量关系，需要同学们敏锐地捕捉并加以利用。三、练习题（一）填空题1.如图，若AB=AD，BC=DC，要利用SSS判定△ABC≌△ADC，则还需补充的条件是_________（填边）。（图形提示：两个三角形共用边AC）2.已知△ABC的三边长分别为5、6、7，△DEF与△ABC全等，则△DEF的三边长可能是_________。（二）解答题3.已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB。求证：△ABD≌△CDB。（图形提示：四边形ABCD，连接了对角线BD）4.已知：如图，点A、E、C、F在同一条直线上，且AE=CF，AB=FD，BC=DE。求证：△ABC≌△FDE。（图形提示：A、E、C、F依次在同一直线上，形成两个三角形△ABC和△FDE）5.如图，AC与BD交于点O，且AO=CO，BO=DO，求证：△AOB≌△COD。（图形提示：两条线段AC、BD相交于O点）（三）思考题6.你能利用SSS判定定理说明为什么“用三根木条钉成的三角形框架，它的大小和形状是固定不变的”吗？四、练习题参考答案与提示（一）填空题1.AC=AC（或直接填AC，因为是公共边）2.5、6、7（或其他三边对应相等的组合，顺序可调整）（二）解答题3.证明：连接BD。在△ABD和△CDB中，∵AB=CD（已知），AD=CB（已知），BD=DB（公共边），∴△ABD≌△CDB（SSS）。*提示：连接四边形的对角线是常用的辅助线作法，可将四边形问题转化为三角形问题。*4.证明：∵AE=CF（已知），∴AE+EC=CF+EC（等式的性质），即AC=FE。在△ABC和△FDE中，∵AB=FD（已知），BC=DE（已知），AC=FE（已证），∴△ABC≌△FDE（SSS）。*提示：当线段相等的条件不是直接针对两个三角形的对应边时，需要通过线段的和差关系进行转化。*5.证明：在△AOB和△COD中，∵AO=CO（已知），BO=DO（已知），AB=CD（需注意：题目未直接给出AB=CD，此处应为AC与BD交于O，且AO=CO，BO=DO，故应是AB和CD并非直接条件。正确对应边应为：AO=CO，BO=DO，以及公共顶点O所对的边，即AB和CD并非对应边。正确的是：在△AOB和△COD中，∵AO=CO（已知），BO=DO（已知），AB=CD（此条件不存在，题目条件是AO=CO，BO=DO，故应证△AOB≌△COD(SSS)，此时第三边应为AB和CD吗？不，应是：哦，正确的对应边是AO=CO，BO=DO，以及AB和CD吗？不，两个三角形是△AOB和△COD，其三组对应边分别是AO与CO，BO与DO，AB与CD。但题目中只给了AO=CO，BO=DO。所以，题目是否有误？或者，原图中AB和CD是否相等？*此处题目设定应为：已知AO=CO，BO=DO，求证△AOB≌△COD。此时，第三组对应边是AB和CD吗？不，SSS需要三组边对应相等。因此，原题条件应隐含AB=CD，或者，更可能的是，这两个三角形的对应边是AO=CO，BO=DO，以及公共边？不，它们没有公共边。因此，最可能的是题目正确，我们需要证明的是△AOB≌△COD，而其三组对应边是AO=CO，BO=DO，以及AB=CD。但题目未给AB=CD。这说明我可能在图形提示理解上有误。两条线段AC、BD相交于O点，形成的△AOB和△COD，其三组对应边应为AO与CO，BO与DO，AB与CD。因此，若题目条件仅为AO=CO，BO=DO，则无法用SSS证明全等，应用SAS（对顶角相等）。此处题目可能设置有误，或我之前的理解有误。为符合SSS练习要求，我们假设题目中还有AB=CD这一条件，或者，正确的题目是利用SAS。但既然是SSS练习题，我们修正题目为：“AO=CO，BO=DO，AB=CD，求证△AOB≌△COD。”*修正后的证明：在△AOB和△COD中，∵AO=CO（已知），BO=DO（已知），AB=CD（已知），∴△AOB≌△COD（SSS）。*（若原题确实没有AB=CD，则此题不适合用SSS，此处按SSS练习要求调整，特此说明。）*（三）思考题6.提示：因为三角形框架的三条边长是固定的。根据SSS判定定理，所有具有这三条边长的三角形都是全等的，即它们的形状和大小完全相同。因此，三角形框架具有稳定性。五、小结SSS判定定理是证明三角形全等的重要工具，其核心在于找到三组对