新人教版八年级上第十五章中考分式方程应用题练习题解析

新人教版八年级上第十五章中考分式方程应用题练习题解析同学们好，今天我们来一同探讨新人教版八年级上册第十五章分式方程在中考应用题中的常见题型与解题策略。分式方程应用题是初中数学的重点和难点，也是中考中常考的知识点之一。它不仅考察我们对分式方程解法的掌握，更重要的是考察我们分析问题、解决实际问题的能力。很多同学在面对这类题目时，常常感到无从下手，或者在列方程环节出现困难。那么，如何才能准确、高效地解决这类问题呢？接下来，我们将通过几道典型的中考练习题，逐步剖析解题思路，总结解题方法。一、行程问题——找准路程、速度与时间的关系行程问题是应用题中的“老熟人”，分式方程在其中也扮演着重要角色。解决这类问题，核心在于抓住“路程=速度×时间”这一基本关系，并根据题意找出等量关系。例题1：甲、乙两地相距若干千米，一辆货车从甲地出发，每小时行驶60千米，另一辆客车从乙地出发，每小时行驶80千米。若两车同时出发，相向而行，经过t小时相遇。如果货车先出发1小时，客车才从乙地出发，那么两车经过1.5小时相遇。求甲、乙两地的距离。解析：首先，我们需要审清题意，明确已知条件和所求问题。题目中涉及两种情况：一是两车同时出发相向而行；二是货车先出发1小时，客车再出发，之后相遇。所求的是甲、乙两地的距离。设甲、乙两地的距离为s千米。（当然，也可以设第一次相遇时间t为未知数，但此处直接设距离s，根据两种情况下距离相等来列方程，可能更直观。）在第一种情况中，两车同时出发，相向而行，t小时相遇。则货车行驶的路程为60t千米，客车行驶的路程为80t千米，由于是相向而行，两者路程之和等于总距离s，即：s=60t+80t=140t①在第二种情况中，货车先出发1小时，那么货车先行驶了60×1=60千米。之后客车出发，经过1.5小时相遇。在这1.5小时内，货车行驶了60×1.5千米，客车行驶了80×1.5千米。那么，总距离s就等于货车先行驶的路程加上两车共同行驶1.5小时的路程之和。即：s=60×1+60×1.5+80×1.5②此时，我们发现①式和②式都等于s，所以可以联立：140t=60×1+60×1.5+80×1.5不过，等等，这样似乎我们设了s和t两个未知数，但题目中并没有要求求t。或许，我们可以换一种设法。仔细想想，第二种情况中，客车行驶了1.5小时，货车则行驶了(1+1.5)小时。那么，总距离s也可以表示为货车行驶的总路程加上客车行驶的路程。即：s=60×(1+1.5)+80×1.5这样，我们直接可以计算出s的值了。咦？那这道题似乎不需要列分式方程？是我选择的例题不够典型吗？或者，我们可以稍微修改一下题目条件，让它更贴合分式方程的应用。比如，我们可以将题目改为：“甲、乙两地相距350千米，一辆货车从甲地出发前往乙地，每小时行驶60千米。货车出发半小时后，一辆客车从乙地出发前往甲地，客车的速度比货车快20千米/小时。两车相遇时，货车一共行驶了多少小时？”这样一改，就需要用到分式方程了。我们来尝试解一下修改后的题目：设两车相遇时，货车一共行驶了x小时。因为货车先出发半小时，所以客车行驶的时间为(x-0.5)小时。客车速度为60+20=80千米/小时。根据题意，货车行驶的路程加上客车行驶的路程等于总距离350千米，可得：60x+80(x-0.5)=350解这个方程：60x+80x-40=350140x=390x=390/140=39/14≈2.79（小时）不过，这依然是一个整式方程。看来要设计一个自然的行程问题分式方程例题，需要让速度或时间中含有未知数的分式形式。更典型的行程问题分式方程例题：小明骑自行车从家去学校，平常速度为每小时12千米，恰好准时到校。某天因为逆风，他的速度降低了2千米/小时，结果迟到了15分钟。求小明家到学校的距离。解析：这道题就非常适合用分式方程来解决了。1.审清题意，找出已知量和未知量：*平常速度：12km/h*逆风速度：12-2=10km/h*平常所用时间：设为t小时（可作为中间量，也可以直接设距离）*逆风所用时间：t+15/60=t+0.25小时（注意单位统一，15分钟=0.25小时）*未知量：小明家到学校的距离，设为s千米。2.找出等量关系：平常所用时间+0.25小时=逆风所用时间即：s/12+0.25=s/103.设未知数，列出方程：设小明家到学校的距离为s千米。根据上述等量关系，得：s/12+1/4=s/10(这里将0.25化为1/4，有时分数形式更便于计算)4.解方程：为了消除分母，方程两边同时乘以60（12、10、4的最小公倍数）：5s+15=6s移项，得：6s-5s=15解得：s=155.验根：将s=15代入原方程的分母12、10中，分母均不为0。左边=15/12+1/4=5/4+1/4=6/4=3/2右边=15/10=3/2左边=右边，且s=15千米符合实际意义。6.作答：小明家到学校的距离为15千米。反思：这道题的关键在于理解“迟到了15分钟”所代表的等量关系，即逆风行驶时间比平常行驶时间多了15分钟。通过设距离为未知数，根据时间差列出分式方程求解。在解应用题时，单位的统一非常重要，比如这里的15分钟要转化为小时。二、工程问题——明确工作总量、工作效率与工作时间工程问题也是分式方程应用题的“常客”。其基本关系是“工作总量=工作效率×工作时间”。通常，我们会将工作总量看作单位“1”。例题2：一项工程，甲队单独完成需要10天，乙队单独完成需要15天。若甲队先做若干天后，由乙队接替甲队完成剩余的工程，两队共用了12天完成。问甲队先做了多少天？解析：1.审清题意，找出已知量和未知量：*甲队单独完成时间：10天，所以甲队工作效率为1/10（每天完成工程的1/10）*乙队单独完成时间：15天，所以乙队工作效率为1/15*两队共用时间：12天*未知量：甲队先做的天数，设为x天。2.找出等量关系：甲队完成的工作量+乙队完成的工作量=总工作量“1”甲队工作了x天，乙队工作了(12-x)天。3.设未知数，列出方程：设甲队先做了x天，则乙队做了(12-x)天。根据题意，得：(1/10)x+(1/15)(12-x)=14.解方程：方程两边同时乘以30（10和15的最小公倍数）：3x+2(12-x)=303x+24-2x=30x+24=30x=65.验根：将x=6代入原方程分母，分母均不为0。左边=(1/10)*6+(1/15)*(12-6)=6/10+6/15=3/5+2/5=1=右边。x=6符合实际意义。6.作答：甲队先做了6天。例题3（稍复杂工程问题）：某工厂接到一批零件加工任务，甲车间单独完成需要40天，乙车间单独完成需要60天。如果甲车间先单独加工10天，然后乙车间加入，与甲车间共同加工剩余的零件，那么还需要多少天才能完成任务？解析：1.审清题意，找出已知量和未知量：*甲车间效率：1/40每天*乙车间效率：1/60每天*甲先单独做10天，然后甲乙合作x天。*未知量：甲乙合作的天数x。2.找出等量关系：甲先做的工作量+甲乙合作的工作量=总工作量“1”3.设未知数，列出方程：设还需要x天才能完成任务。甲先做10天的工作量为(1/40)*10甲乙合作x天的工作量为(1/40+1/60)*x可得方程：(1/40)*10+(1/40+1/60)x=14.解方程：先化简方程左边：10/40+(3/120+2/120)x=1/4+(5/120)x=1/4+(1/24)x方程变为：1/4+(1/24)x=1移项：(1/24)x=1-1/4=3/4x=(3/4)÷(1/24)=(3/4)*24=185.验根与作答：经检验，x=18是原方程的解，且符合题意。答：还需要18天才能完成任务。反思：工程问题中，将工作总量设为“1”是常用技巧，这样各队的工作效率就是其单独完成时间的倒数。对于合作问题，效率是各部分效率之和。关键在于理清工作的阶段和各阶段的工作量。三、购物与销售问题——关注单价、数量与总价这类问题与我们的日常生活密切相关，常涉及单价、数量、总价的关系，以及打折、利润等概念。例题4：某校为了开展“阳光体育”活动，计划购买一批篮球和足球。已知购买2个篮球和3个足球共需花费380元；购买4个篮球和5个足球共需花费680元。（1）求每个篮球和每个足球的售价分别是多少元？（2）若学校计划购买这种篮球和足球共50个，总费用不超过4800元，那么最多可购买多少个篮球？解析：第（1）问是典型的二元一次方程组应用，我们先解决它，为第（2）问做铺垫。（1）设每个篮球售价x元，每个足球售价y元。根据题意，得：2x+3y=380①4x+5y=680②①×2-②得：(4x+6y)-(4x+5y)=760-680y=80将y=80代入①：2x+3*80=380→2x=380-240=140→x=70所以，每个篮球70元，每个足球80元。（2）这一问可以用不等式解决，但如果我们想让它与分式方程结合，可以修改条件。比如：“若学校计划用4800元购买这种篮球和足球，且购买的足球数量是篮球数量的1.5倍。那么可以购买多少个篮球？”修改后第（2）问解析：设可以购买m个篮球，则购买足球的数量为1.5m个。根据题意，购买篮球的费用加上购买足球的费用等于总费用4800元，可得：70m+80*(1.5m)=480070m+120m=4800190m=4800m=4800/190=480/19≈25.26由于m必须为正整数，所以m=25。此时总费用为70*25+80*37.5=1750+3000=4750元，小于4800元。若m=26，则足球39个，费用70*26+80*39=1820+3120=4940>4800元，超出预算。所以最多可购买25个篮球。嗯，这个修改后的第（2）问依然是整式方程。看来要让购物问题自然地出现分式方程，通常需要涉及到“单价变化”、“数量变化导致总价不变”或者“用同样的钱买不同数量”等情境。更典型的购物分式方程例题：小李同学到文具店购买笔记本，若买单价为3元的笔记本，他带的钱正好可以买若干本。他想了想，决定买单价为4元的进口笔记本，结果发现这样比原来少买了2本，且带的钱还剩余2元。小李带了多少钱？解析：设小李带的钱为x元。如果买3元的笔记本，可以买x/3本。如果买4元的笔记本，可以买(x-2)/4本。根据题意，买4元的比买3元的少2本，可得：x/3-(x-2)/4=2解方程：两边同乘12：4x-3(x-2)=244x-3x+6=24x+6=24x=18经检验，x=18是原方程的解，且符合题意。答：小李带了18元钱。反思：这道题通过两种购买方式下笔记本数量的差异来构建等量关系，从而列出分式方程。关键在于用含未知数的代数式表示出两种情况下的购买数量。四、总结与解题技巧通过以上几种典型题型的分析，我们可以总结出解分式方程应用题的一般步骤和注意事项：1.审清题意，明确等量关系：这是解决应用题的前提。仔细阅读题目，找出题目中的已知条件和所求问题，分析量与量之间的关系，特别是找出能够表示题目全部含义的等量关系。这往往是最关键也最困难的一步。可以尝试画线段图、列表格等方法帮助理解。2.设出恰当的未知数：设未知数时要明确所设未知数代表的具体含义，并注意单位。可以直接设未知数，也可以间接设未知数。3.根据等量关系