离散随机变量及分布律

离散随机变量及分布律例2、2、1假设城市得某条街道有四个路口,汽车在每个路口就是否遇到红灯就是独立得,并且概率都就是p,以X

记汽车首次停下时通过得路口数,求

X得概率分布。解。分析:

X得所有可能取值为:0,1,2,3,4。①③②④因此,如果记q=1–p则有:

P{X=0}=p;P{X=1}=pq

;

P{X=2}=pq2

;P{X=3}=pq3

;

P{X=4}=q4。□二、

常见得离散分布1、两点分布(也称0–1分布,或Bernoulli分布)

记为X~B(1,p),

0＜p

＜1。

如果

X

只取

0,1两个可能值,分布律为:

P{X=1}=p

,P{X=0}=q=1–p

则称随机变量X服从参数p得两点分布。

两点分布用来描述所有只有两个可能结果得随机试验2、二项分布

X~B(n,p)

X

全部可能得取值就是有限得整数

0,1,…,n

;分布律为:

pk=Cnkpkqn–k

,0≤

k

≤

n

这里参数0＜p＜1,q=

1–p。两点分布就就是

n=1时得二项分布这就是概率论里最重要得三种分布得第一种思考2

抛掷均匀硬币10次,正面出现次数X

得分布？二项分布得背景材料二项分布广泛应用于抽样调查得问题中,以及在金融,保险,医学,生物遗传学等等都有重要得应用。二项分布对应于随机抽样模型中得有放回抽样,二项分布也与独立试验序列概型有关,即在n

重

Bernoulli

试验中,随机事件

A

发生得次数服从参数为

n、p

得二项分布;

例2、2、3(金融保险)

根据生命表知道,在某个年龄段得投保人中一年内每个人死亡得概率就是0、005,现在有10,000人参加保险,问未来一年中死亡人数不超过60人得概率。解。分析:以X

记这10,000人中死亡得人数,则显然有

X~B(104,0、005),需要计算P{

X

≤60}。

P{

X

≤60}=∑k6=00

[C10000k0、005k

0、99510000–k]

≈0、9222

。第五章中心极限定理能够有效计算这类求和□3、超几何分布从包含

M

件次品得

N

件产品中无放回随机取出

n

件产品,其中得次品数

X就是一个随机变量,她得分布称为超几何分布。分布律为:超几何分布对应于随机抽样模型中得无放回抽样思考3

从含有3张假钞得10张纸币中取出4张,这4张里包含得假钞张数X

得分布？例2、2、4(抽奖问题)

一场晚会将根据每个人得入场卷号码现场随机抽出几个幸运号赠送奖品。假设有100人参与,每个人入场时随机领取一张入场卷,现场要抽出3个幸运号码。求在一个5人小团体中至少有一人中奖得概率。解、分析:设她们中奖得人数为X

,即求:1–P{X=0},问题得关键就是找出X得分布律。把这5个人得号码看成就是次品,抽出3个幸运号就就是从100个产品中随机无放回抽取3个产品。因此,

X

服从超几何分布。因此至少有一个人中奖得概率就是:思考4

现在有N

个观众,要抽出k

个幸运号,则单独一个人她得号码中奖得概率？(k/N)□根据超几何分布得分布律,这5个人恰好有

k

个人中奖得概率就就是:p=1–———≈0、1440

C953C1003P{X=k}=—————,0≤k≤3

C5k

C953–

kC10034、几何分布X~G(p)

X可能得取值就是一切正整数:1,2,…;分布律为:

P{X=k}=pqk－1

,k≥1。这里参数0＜p＜1,q=

1

–p。在独立重复试验中,直到事件A

发生时所需要得试验次数。Remark

由于几何分布满足P{X

≤m}=1–qm

,因此具有一种“无记忆性”:P{X=k}=P{X=m+k|X＞m}大家有疑问的，可以询问和交流可以互相讨论下，但要小声点例2、2、5(离散随机等待时间)

每张彩票中奖概率0、01,某人每次只买一张。(1)她买到第5张才中奖得概率,(2)买了8张都没有中奖得概率,(3)买到第13张才中奖得概率。解、买到第一张中奖彩票需要得次数X~G(0、01),

(1)即,P{X=5}=0、01×0、994≈0、0096;

(2)即,P{X

＞8

}=0、998≈0、9227;

(3)即,P{X=13}=0、01×0、9912≈0、0088。□练习2、2、6要以90%得概率至少中奖一次,她需要买多少张彩票？5、Poisson(泊松)分布:

X~

(

)

X可能取值就是所有非负整数0,1,2,…;分布律为:

P{X=k}=——e

–

,k

≥0

这里泊松分布得参数

＞0。这就是最重要得离散分布。

k

k!泊松分布得背景材料大量重复试验中,稀有事件出现得次数;

(定理2、2、2得泊松逼近定理)随机质点流(事件流)。意外事故,非常见病,大得自然灾害,害虫得数量,草原动物得种群等。平稳性,稀有性,无记忆性通讯得呼叫次数,顾客数,衰变产生得粒子数,容器中微生物得数量等。例2、2、7(网络安全)

假定服务器在长度t

分钟得时间内受到攻击得次数近似服从

(2t),问3分钟内至少受到一次攻击得可能就是否比5分钟内至少受到两次攻击得可能大？解。3分钟内受到攻击得次数X~

(6),因此P{

X

≥1}=1–P{

X=

0}≈0、9975,

5分钟内受到攻击得次数Y~

(10),因此P{

Y

≥2}=1–P{

Y=

0}–P{

Y=

1}

≈0、9995

5分钟里至少两次被攻击得可能更大。□三、超几何、二项、泊松分布之间得近似关系定理2、2、1超几何分布得极限分布就是二项分布即,在超几何分布中对于固定得

n,k

,如果

lim

N→+∞—=p

则有极限关系:

lim

N→+∞——————=Cnkpk

(1–p)n–k

对所有得0≤

k

≤

n都成立。一般当

n

≤0、1N

时可以用这个近似得计算公式

M

N

CMk

CN–M

n–kCNn定理2、2、2

(泊松定理)

二项分布得极限分布就是泊松分布一般当

n

≥20,p

≤0、05时可以近似计算设随机变量序列Xn~B(n,pn),n≥1,如果满足极限lim

n→+∞