新课标人教版第二十章数据的分析导学案

同学们，我们已经学习了数据的收集与整理，知道了如何通过调查、实验等方式获取数据，并对数据进行初步的整理和呈现，比如制作统计表、绘制统计图。然而，仅仅呈现数据是不够的，我们更希望通过对数据的分析，从中提取有用的信息，做出合理的判断和预测。本章我们将深入学习如何对收集到的数据进行分析，掌握描述数据集中趋势和离散程度的常用统计量，为我们后续的学习和生活中的决策提供有力的工具。一、学习目标1.理解并掌握算术平均数、加权平均数的概念，能够根据具体问题计算平均数，体会“权”的意义和作用。2.理解中位数、众数的概念，会求一组数据的中位数和众数，能结合具体情境解释其实际含义。3.了解方差、标准差的概念，会计算一组数据的方差和标准差，能利用它们来衡量数据的波动情况。4.能够根据实际问题的需要，选择合适的统计量来描述数据的集中趋势或离散程度，体会统计在现实生活中的应用。5.经历数据收集、整理、分析的过程，培养数据分析观念，发展数感和统计观念，提高应用数学解决实际问题的能力。二、知识回顾在进入本章学习之前，我们先来回顾一下与本章内容相关的一些基础知识：1.数据的收集方法：主要有普查和抽样调查。普查得到的结果比较准确，但耗费人力、物力和时间较多；抽样调查则是从总体中抽取样本进行调查，具有省时省力的特点，但结果可能存在误差。2.数据的整理与表示：我们学过用频数分布表、频数分布直方图、条形图、折线图、扇形图等来整理和描述数据。这些图表能帮助我们直观地了解数据的分布情况。三、知识梳理与要点解析（一）核心概念一：数据的集中趋势当我们面对一组数据时，首先想知道的是这组数据整体上偏向于哪个值，也就是数据的“中心”在哪里。描述数据集中趋势的统计量主要有平均数、中位数和众数。1.算术平均数*定义：一般地，对于n个数x₁,x₂,...,xₙ，我们把(x₁+x₂+...+xₙ)/n叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，记为`x̄`（读作“x拔”）。*意义：平均数是反映数据集中趋势最常用的量，它利用了所有数据的信息，但容易受极端值（个别偏大或偏小的数据）的影响。*计算：直接将所有数据求和，再除以数据的总个数。2.加权平均数*定义：如果n个数中，x₁出现f₁次，x₂出现f₂次，...，xₖ出现fₖ次（这里f₁+f₂+...+fₖ=n），那么这n个数的平均数可以表示为`x̄`=(x₁f₁+x₂f₂+...+xₖfₖ)/n，这个平均数叫做加权平均数，其中f₁,f₂,...,fₖ叫做权。*“权”的意义：“权”反映了该数据在整体中的重要程度或出现的频繁程度。权越大，对应的数据对平均数的影响就越大。*应用场景：当数据重复出现或需要考虑各数据的重要性不同时，使用加权平均数。例如，计算考试成绩时，不同科目的学分不同，其“权”也不同。3.中位数*定义：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。*意义：中位数不受极端值的影响，有时能更好地反映数据的集中趋势。*求法步骤：1.将数据按大小顺序排列；2.确定数据个数是奇数还是偶数；3.找出中间位置的数或中间两个数的平均数。4.众数*定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。*意义：众数反映了一组数据中出现次数最多的那个数据，也常被用于描述“多数水平”。*说明：一组数据的众数可能不止一个，也可能没有众数（当所有数据出现的次数都相同时）。思考与辨析：平均数、中位数和众数都是描述数据集中趋势的统计量，它们各有特点。你能举例说明在不同情境下，应该如何选择合适的统计量来描述数据的“平均水平”吗？（二）核心概念二：数据的波动程度仅仅知道数据的集中趋势还不够，我们还需要了解数据的分散情况，即数据之间的差异有多大。描述数据波动程度（离散程度）的统计量主要有方差和标准差。1.方差*定义：设有n个数据x₁,x₂,...,xₙ，各数据与它们的平均数`x̄`的差的平方分别是(x₁-`x̄`)²,(x₂-`x̄`)²,...,(xₙ-`x̄`)²，我们用这些平方差的平均数，即用S²=[(x₁-`x̄`)²+(x₂-`x̄`)²+...+(xₙ-`x̄`)²]/n来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差。*意义：方差越大，数据的波动越大，数据越不稳定；方差越小，数据的波动越小，数据越稳定。*计算步骤：1.计算这组数据的平均数`x̄`；2.计算每个数据与平均数的差；3.将这些差平方；4.求这些平方差的平均数。2.标准差*定义：方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，记为S。*意义：与方差一样，标准差也是用来衡量数据波动程度的量。它的单位与原数据的单位一致，有时更便于理解。*计算：S=√S²(即方差的算术平方根)。思考与辨析：为什么在计算方差时，要对每个差取平方？直接取绝对值求平均不行吗？（提示：平方运算可以放大偏差的影响，更能反映数据的离散程度；同时避免了正负抵消。）四、典例精析例1：平均数与加权平均数的计算某班在一次数学测验中，5名同学的成绩分别是：85分、90分、95分、80分、90分。（1）求这5名同学的平均成绩。（2）若该次测验中，平时作业占20%，课堂表现占30%，期末测验占50%，小明的平时作业、课堂表现、期末测验成绩分别为80分、90分、85分，求小明的总评成绩。思路点拨：（1）直接应用算术平均数公式计算。（2）这里涉及到不同“权重”的计算，应用加权平均数公式，注意各项成绩对应的“权”分别是20%（0.2）、30%（0.3）、50%（0.5）。例2：中位数与众数的确定某商店一周内出售某品牌运动鞋的尺码（单位：码）如下：39,40,41,42,40,41,40,42,43,40。（1）求这组数据的中位数和众数。（2）如果你是店主，下周进货时，你会如何参考这些数据？思路点拨：（1）求中位数需先将数据排序；众数是出现次数最多的数据。（2）众数反映了最畅销的尺码，应作为进货的重要参考。例3：方差的计算与应用甲、乙两名射击运动员在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩如下（单位：环）：甲：9,5,7,8,7,6,8,6,7,7乙：2,4,6,8,7,7,8,9,9,10（1）分别计算甲、乙两组数据的平均数和方差。（2）根据计算结果，评价哪名运动员的成绩更稳定。思路点拨：（1）先计算平均数，再根据方差公式计算方差。（2）方差小的运动员成绩更稳定。五、巩固练习1.某学习小组的6名同学在一次数学测试中的成绩分别为：75,80,85,90,85,95。则这组数据的平均数是______，中位数是______，众数是______。2.某校规定学生的体育成绩由三部分组成：早锻炼及体育课外活动占20%，体育理论测试占30%，体育技能测试占50%。小颖的上述三项成绩依次为92分、80分、84分，则小颖这学期的体育成绩是多少？3.数据1,2,3,4,5的方差是______，标准差是______。4.甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数经统计计算后填入下表：班级参加人数平均字数方差:---:-------:-------:---甲班55135190乙班55135110根据上表信息，哪一个班级的学生成绩波动较小？为什么？六、学习反思与小结1.本章核心知识回顾：*描述数据集中趋势的三个主要统计量：______、______、______。*描述数据离散程度的两个主要统计量：______、______。2.知识间的联系与区别：*平均数、中位数、众数各自的优缺点是什么？在什么情况下选用它们较为合适？*方差和标准差的关系是什么？它们的数值大小与数据波动程度有何关系？3.学习中遇到的困难及解决方法：4.对生活中数据分析应用的思考：你能举出生活中哪些地方用到了本章所学的统计量吗？七、拓展延伸*阅读材料：了解“去掉一个最高分，去掉一个最低分”这种评分方法的原因，它与平均数、中位数的关系。