《数列求和》课件

习题课——数列求和第四章课标阐释思维脉络1.巩固等差数列、等比数列的前n项和公式.(逻辑推理)2.进一步熟练掌握错位相减法求和.(数学运算)3.理解并掌握数列求和的裂项相消法、分组求和法与并项转化法.(数学运算)课堂篇探究学习探究一公式法求和例1(天津河东高二期末)已知数列{bn}满足b1=1,bn+1=bn.(1)求{bn}的通项公式;(2)求b2+b4+b6+…+b2n的值.变式训练

1(河南开封高二期中)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a2=3,a7=13.(1)求数列{an}的通项公式;探究二裂项相消法求和方法技巧裂项相消法求和的实质是将数列中的通项分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的,其解题的关键就是准确裂项和消项.(1)裂项原则:一般是前边裂几项,后边就裂几项,直到发现被消去项的规律为止.(2)消项规律:消项后前边剩几项,后边就剩几项,前边剩第几项,后边就剩倒数第几项.(3)常见的裂项方法

探究三分组求和法求和例3已知数列{cn}的首项c1=3,cn=2np+nq(n∈N*,p,q为常数),且c1,c4,c5成等差数列.求:(1)p,q的值;(2)数列{cn}的前n项和Sn.分析先将c1,c4,c5用p,q表示,根据c1,c4,c5成等差数列建立关于p,q的方程组,即可求得p,q的值,从而得到数列的通项公式.这时每一项都是由一个等比数列和一个等差数列中的项的和构成,可分别求和后再相加.解

(1)由c1=3,得2p+q=3.因为c4=24p+4q,c5=25p+5q,且c1+c5=2c4,所以3+25p+5q=25p+8q,解得p=1,q=1.(2)由(1)知cn=2n+n,所以Sn=(2+22+…+2n)+(1+2+…+n)=2n+1-2+.方法技巧分组求和法的解题策略当一个数列本身不是等差数列也不是等比数列,但如果它的通项公式可以拆分为几项的和,而这些项又构成等差数列或等比数列时,就可以用分组求和法,即原数列的前n项和等于拆分成的每个数列前n项和的和.变式训练

3设等差数列{an-bn}的公差为2,等比数列{an+bn}的公比为2,且a1=2,b1=1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列{2an+2n}的前n项和Sn.解

(1)因为a1=2,b1=1,所以a1-b1=1,a1+b1=3,依题意可得an-bn=1+2(n-1)=2n-1,an+bn=3×2n-1,(2)由(1)可知2an+2n=2n-1+5×2n-1,故Sn=(1+3+…+2n-1)+5×(1+2+…+2n-1)=+5×(2n-1)=5×2n+n2-5.探究四并项转化法求和例4已知数列-1,4,-7,10,…,(-1)n·(3n-2),…,求其前n项和Sn.分析该数列中正负项交替出现,且各项的绝对值构成等差数列,故可用并项转化法求和.解

当n为偶数时,令n=2k(k∈N*),Sn=S2k=-1+4-7+10+…+(-1)n(3n-2)=(-1+4)+(-7+10)+…+[(-6k+5)+(6k-2)]方法技巧并项转化法求和的解题策略(1)一般地,当数列中的各项正负交替,且各项的绝对值成等差数列时,可以采用并项转化法求和.(2)在利用并项转化法求和时,因为数列的各项是正负交替的,所以一般需要对项数n进行分类讨论,但最终的结果却往往可以用分段形式来表示.延伸探究

本例中,将条件改为“已知数列{an}的前n项和Sn=1-5+9-13+…+(-1)n-1·(4n-3)”,求S15+S22-S31的值.探究五错位相减法求和例5已知各项均为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn,S3=12,且2a1,a2,a3+1成等比数列.(1)求{an}的通项公式及Sn;(2)若bn=,{bn}的前n项和为Tn,求Tn.分析(1)列方程组求出等差数列{an}的首项和公差;(2)由于所给数列中{an}是一个等差数列,{bn}是一个等比数列,因此利用错位相减法求Tn.反思感悟

错位相减法求和的关注点(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列的公比为负数的情形.(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时,应将两式“错项对齐”,以便下一步准确写出Sn-qSn的表达式.若公比是字母参数,则应先对参数加以讨论(一般情况下,分公比等于1和不等于1两种情况分别求和).解

∵Tn=a1+2a2+3a3+…+nan,∴当n=1时,T1=1;当n≥2时,Tn=1+4×30+6×31+…+2n·3n-2,①3Tn=3+4×31+6×32+…+2n·3n-1,②①-②,得-2Tn=-2+4+2(31+32+…+3n-2)-2n·3n-1=2+2×-2n·3n-1=-1+(1-2n)·3n-1.

素养形成分类讨论思想在数列求和中的应用分析数列的通项公式为分段函数的形式,因此该数列的奇、偶项呈现不同的规律,奇数项是首项为1,公差为4的等差数列,偶数项为首项为9,公比为9的等比数列,在求和时,应对奇数项和偶数项分别求解.方法点睛分段数列求和的技巧性很强,一般是转化为等差数列与等比数列求解.解题时需要对数列的项数及奇数项、偶数项的项数进行分类讨论.需要特别说明的是在分段数列中,规律是隔项成等差数列或成等比数列,因此数列的公差或公比与平时的公差、公比有所不同,解题时要特别留意.

当堂检测1.数列{an}的前n项和Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n,则S27=(

)A.-13 B.13 C.14 D.-14答案

C解析

S27=1-2+3-4+…+25-26+27=(1-2)+(3-4)+…+(25-26)+27=27-13=14.A.120 B.180C.240 D.360答案

C解析

由题意得S30=(a1+a3+…+a29)+(a2+a4+…+a30)=(1+2+…+15)+(1+2+…+15)=×2=240.3.若数列{an}的通项公式是an=8n,其前n项和为Sn,且Snbn=1,数列{bn}的前n项和为Tn,则T10等于(

)答案

B4.已知数列{an}的通项公式是an=2n+3n+1,则数列{an}的前n项和Sn=

.

答案

276.(陕西西安阎良高二期末)在各项都是正数的等比数列{an}中,a1=1,a9=4a7.(1)求数列{an}的通项公式;(2)记Sn为数列{an}的前n项和,若Sm=31,求正整数m的值.解

(1)设等比数列{an}的公比为q,则q>0,∵a1=1,a9=4a7,∴q8=4q6,解得q=2,∴an=2n-1.解得m=5.类型1

公式法

B

【解析】

类型2

倒序相加法

DA.8

096

B.8

094

C.4

048

D.4

047

【解题技巧】将一个数列倒过来排列,当它与原数列相加时,若有规律可循,并且容易求和,则这样的数列求和时可用倒序相加法.

44.5

类型3

错位相减法

.

.

.

..

.

类型4

裂项相消法

D

【解题技巧】裂项相消法求和的关键是将数列的通项公式裂为两个结构相同的式子之差，求和时需要在前后多呈现几项，找出相消的规律（相邻项相消、隔项相消等），确保正确求和.

CA.30

B.31

C.40

D.41

【解题技巧】裂项相消法求和的实质是将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去