《等比数列前n项和的性质及应用》课件

第2课时等比数列前n项和的性质及应用第四章内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释思维脉络1.掌握等比数列前n项和的性质及其应用.(数学抽象)2.能够运用学过的数列知识解决等差与等比数列的综合问题.(数学运算)3.能够运用等比数列的知识解决有关实际问题.(数学建模)课前篇自主预习【激趣诱思】某人准备购买一辆汽车,向银行贷款6万元,其中规定一年期以上贷款月均等额还本付息(即利息按月以复利计算,每期付款数额相同,一个月为一期,购买后一个月开始付款,以后每月付款一次),共付36期,月利率为0.4575%,那么这个人每月还多少钱呢?【知识梳理】

等比数列前n项和的性质公比为q的等比数列{an}的前n项和为Sn,关于Sn的性质常考的有以下四类:(1)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠-1).(2)当n是偶数时,S偶=S奇·q;当n是奇数时,S奇=a1+S偶·q.(3)Sn+m=Sm+qmSn=Sn+qnSm.(4)数列{an}为公比不为1的等比数列⇔Sn=A-Aqn,A≠0,q≠0且q≠1.微练习已知等比数列{an}的前3项和为1,前6项和为9,则它的公比q等于(

)A.

B.1

C.2

D.4答案

C解析

∵S3=1,S6=9,∴S6-S3=8=a4+a5+a6=S3q3=q3,即q3=8,∴q=2.课堂篇探究学习探究一等比数列前n项和的性质例1(1)在等比数列{an}中,若S2=7,S6=91,则S4=

.

(2)已知等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且(a1+a3+…+a2n-1)-(a2+a4+…+a2n)=80,则公比q=

.

(3)若数列{an}是等比数列,且其前n项和为Sn=3n+1-2k,则实数k等于

.

分析根据所给题目特征选择运用等比数列前n项和的性质求解.解析

(1)∵数列{an}是等比数列,且易知公比q≠-1,∴S2,S4-S2,S6-S4也构成等比数列,即7,S4-7,91-S4构成等比数列,∴(S4-7)2=7(91-S4),解得S4=28或S4=-21.又S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=(a1+a2)(1+q2)=S2(1+q2)>0,∴S4=28.方法技巧等比数列前n项和的性质(1)若数列{an}为非常数列的等比数列,且其前n项和为Sn=A·qn+B(A≠0,B≠0,q≠0,q≠1),则必有A+B=0;反之,若某一非常数列的前n项和为Sn=A·qn-A(A≠0,q≠0,q≠1),则该数列必为等比数列.(2)若等比数列{an}的前n项和为Sn,则(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n).特别地,如果公比q≠-1或虽q=-1但n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成等比数列.(3)当等比数列{an}的项数为偶数时,偶数项的和与奇数项的和之比等于(2)(云南楚雄高二质量检测)已知等比数列{an}共有32项,其公比q=3,且奇数项之和比偶数项之和少60,则数列{an}的所有项之和是(

)A.30 B.60 C.90 D.120答案

(1)B

(2)D解析

(1)设S2=k,S4=3k,由数列{an}为等比数列(易知数列{an}的公比q≠-1),得S2,S4-S2,S6-S4为等比数列.又S2=k,S4-S2=2k,∴S6-S4=4k.(2)设等比数列{an}的奇数项之和为S1,偶数项之和为S2,则S1=a1+a3+a5+…+a31,S2=a2+a4+a6+…+a32=q(a1+a3+a5+…+a31)=3S1.又S1+60=S2,则S1+60=3S1,解得S1=30,S2=90,故数列{an}的所有项之和是30+90=120.探究二等差数列与等比数列的综合问题例2已知Sn是无穷等比数列{an}的前n项和,且公比q≠1,1是

S2和

S3的等差中项,6是2S2和3S3的等比中项.(1)求S2和S3;(2)求数列{an}的前n项和;(3)求数列{Sn}的前n项和.分析先利用等差中项与等比中项求出S2与S3,进而求出a1与公比q,再写出Sn,根据Sn的特点求{Sn}的前n项和.反思感悟

数列综合问题的关注点(1)等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点,特别是等差与等比数列的通项公式、前n项和公式,以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点.(2)利用等比数列前n项和公式时应注意公比q的取值,熟悉两种数列的性质,知道它们的推导过程,利用好性质,可降低题目的难度,解题时有时还需利用条件联立方程组求解.变式训练

2已知等差数列{an}和各项均为正数的等比数列{bn}满足a1=b1=1,a2+a4=10,b3=a5.(1)求{an}的通项公式;(2)求数列{bn}的前n项和.解

(1)设等差数列{an}公差为d,等比数列{bn}公比为q,q>0,因为a1=b1=1,a2+a4=10,b3=a5,所以1+d+1+3d=10,q2=1+4d,∴d=2,q=3.因此an=1+(n-1)×2=2n-1,bn=1×3n-1=3n-1.(2)数列{bn}的前n项和探究三数列在经济生活中的应用例3某企业进行技术改造,有两种方案.甲方案:一次性贷款10万元,第一年便可获利1万元,以后每年比前一年增加30%的利润;乙方案:每年贷款1万元,第一年可获利1万元,以后每年比前一年增加5千元.两种方案的使用期都是10年,到期一次性归还本息.若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计息,试比较两种方案,哪种方案净获利更多?(1.0510≈1.629,1.310≈13.786,1.510≈57.665)方法技巧银行存款中的单利是等差数列模型,利息按单利计算,本金为P元,每期利率为r,存期为n,则本利和公式为S=P(1+nr);复利是等比数列模型,按复利计算的一种储蓄,本金为P元,每期利率为r,存期为n,则本利和公式为S=P(1+r)n.变式训练

3(1)现存入银行8万元,年利率为2.50%,若采用1年期自动转存业务,则第5年末的本利和是(

)A.8×1.0253万元 B.8×1.0254万元C.8×1.0255万元 D.8×1.0256万元(2)李先生为今年上高中的儿子办理了“教育储蓄”.从8月1号开始,每个月的1号都存入100元,存期三年,已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7‰.到期时,李先生一次可支取本息

元.

答案

(1)C

(2)3

779.82解析

(1)定期自动转存属于复利问题,5年末的本利和是8×(1+2.50%)5=8×1.0255万元.(2)设第n个月存入的100元到期利息为an,则a1=100×2.7‰×36,{an}是公差d=-100×2.7‰的等差数列.∴数列{an}的前36项和S36=36a1+d=36×100×2.7‰×36-18×35×100×2.7‰=179.82,3年共存入本金100×36=3

600(元).∴到期一次可支取3

600+179.82=3

779.82(元).

素养形成分期付款问题求解策略典例

“五一”期间,某商场为了促进商品销售,特定优惠方式,即购买某种家用电器有两种付款方式可供顾客选择,家用电器价格2150元.第一种付款方式:购买当天先付150元,以后每月的这一天都交付200元,并加付欠款利息,每月利息按复利计算,月利率1%;第二种付款方式:购买当天先付150元,以后每个月付款一次,10个月付清,每月付款金额相同,每月利息按复利计算,月利率1%.试计算两种付款方式每月所付金额及购买这件家电总共所付金额.(1.0110≈1.105)解

第一种付款方式:购买时付出150元,则欠款2

000元,按要求共10次付清,则以后:第一次应付a1=200+2

000×0.01=220(元);第二次应付a2=200+(2

000-200)×0.01=200+1

800×0.01=218(元);……第n次应付an=200+[2

000-(n-1)×200]×0.01=200+20-(n-1)×2(元).每次所付的款额顺次构成数列{an},{an}是以220为首项,-2为公差的等差数列,10次付款总和为S10=10×220+×(-2)=2

200-90=2

110(元).所以实际共付2

110+150=2

260(元).第二种付款方式:购买时付出150元,余款10个月后增值为2

000(1+1%)10.设每月付款x元.依题意可得x+x(1+1%)+x(1+1%)2+…+x(1+1%)9=2

000(1+1%)10.所以实际共付210×10+150=2

250(元).方法点睛假设贷款额为a,年(月)利率为p,采用“等额本息还款法”,每年(月)还款数为x,则有以下两种方法:①可以把分期付款理解为零付整取,到最后一次付款时,一次冲掉应付款和利息,设每月等额还x元,则有等式:x+x(1+p)+x(1+p)2+…+x(1+p)n-1=a(1+p)n,可解得

.②还可以理解为每次付款后冲掉部分应付款及相应利息.设每次还款x元,每次还款后欠款所组成的数列为{an},则有a1=a(1+p)-x,a2=a1(1+p)-x=a(1+p)2-x[1+(1+p)],a3=a(1+p)3-x[1+(1+p)+(1+p)2],……an=a(1+p)n-x[1+(1+p)+(1+p)2+…+(1+p)n-1].令an=0,则化归为第①种情况.

当堂检测1.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2=1,S4=4,则a7+a8=(

)A.40 B.30 C.27 D.9答案

C解析

由于{an}是等比数列,所以S2,S4-S2,S6-S4,S8-S6也成等比数列,其中S2=1,S4-S2=3,所以S6-S4=3×3=9,S8-S6=9×3=27,所以a7+a8=S8-S6=27.2.已知项数为奇数的等比数列{an}的首项为1,奇数项之和为21,偶数项之和为10,则这