《等比数列的前n项和》课件

第1课时等比数列的前n项和第四章内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释思维脉络1.掌握等比数列的前n项和公式的推导方法.(逻辑推理)2.掌握等比数列的前n项和公式,能够运用公式解决相关问题.(数学运算)3.理解并掌握错位相减法求数列前n项和的方法及应用.(数学运算)课前篇自主预习【激趣诱思】在信息技术高度发展的今天,人们可以借助手机、计算机等快速地传递有关信息.在这样的背景下,要求每一个人都要“不造谣,不信谣,不传谣”,否则要依法承担有关法律责任.你知道这其中的缘由吗?如图所示,如果一个人得到某个信息之后,就将这个信息传给3个不同的好友(称为第1轮传播);每个好友收到信息后,又都传给了3个不同的好友(称为第2轮传播)……依次下去,假设传播的过程中都是传给不同的人,则每一轮传播后,信息传播的人数就构成了一个等比数列1,3,9,27,81,….如果信息按照上述方式共传播了20轮,那么知晓这个信息的人数共有多少?这就涉及我们今天要学习的“等比数列的前n项和”公式.【知识梳理】

一、等比数列的前n项和公式若等比数列的首项为a1,公比为q,则它的前n项和名师点拨(1)当等比数列的公比未知或是代数式时,求等比数列的前n项和公式常需分q=1与q≠1两种情况进行分类讨论.(2)当q≠1时,等比数列的前n项和Sn有两个求解公式:当已知a1,q,n时,用微练习(1)在等比数列{an}中,Sn为其前n项和,若a1=3,q=4,则S5=

.

(2)在等比数列{an}中,Sn为其前n项和,若a1=,a6=16,则S6=

.

答案

(1)1023

(2)二、错位相减法求数列的和推导等比数列前n项和的方法叫做错位相减法,一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项的积所构成的数列的前n项和.微练习下列数列中,可以用错位相减法求和的是(

)A.{n2}

B.{n+3n}答案

C解析

C项中的数列是一个等差数列与一个等比数列对应项的积构成的,故可用错位相减法求和.课堂篇探究学习探究一等比数列前n项和公式的应用例1在等比数列{an}中,Sn为其前n项和,解决下列问题:(1)若a1+a3=10,a4+a6=,求S5;(2)若Sn=189,q=2,an=96,求a1和n.分析(1)根据条件,建立关于首项和公比的方程组,求出首项和公比后利用前n项和公式求解.(2)根据已知条件和前n项和公式建立方程组求解.方法技巧等比数列前n项和公式的应用问题在等比数列{an}的五个量a1,q,an,n,Sn中,a1与q是最基本的元素,当条件与结论间的联系不明显时,均可以用a1与q表示an与Sn,从而列方程组求解.在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的.这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用.答案

(1)C

(2)32例2设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2+S4=S6,求其公比q.分析根据前n项和公式建立公比q的方程求解,但必须先对q的值分q=1和q≠1进行讨论.反思感悟

等比数列前n项和公式的关注点(1)在利用等比数列的前n项和公式时,若其公比不确定,则应对公比分q=1和q≠1两种情况进行讨论.(2)当n的值较小时,求Sn可以直接利用Sn=a1+a1q+a1q2+…求解,这样与

相比较,可以防止忘记分类讨论丢掉q=1时的特殊情况.延伸探究

本例中,若条件改为“数列{an}是等比数列,其前n项和为Sn,且S3=3a3”,求其公比q的值.探究二错位相减法求和方法技巧错位相减法求和的解题策略(1)如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项乘积组成,此时可把式子Sn=a1+a2+…+an两边同乘公比q,得到qSn=a1q+a2q+…+anq,两式错位相减整理即可求出Sn.(2)错位相减法求和是一种非常重要的求和方法,这种方法的计算过程较为复杂,对计算能力要求较高,应加强训练.要注意通过训练,掌握在错位相减过程中的几个关键环节,避免出错.(3)使用错位相减法求和时得到的结论,可以将n=1,2代入验证是否正确,如本例中当n=1时,因此所得结果正确.变式训练

2求数列an=n·2n的前n项和.解

设前n项和为Sn,则Sn=1×21+2×22+3×23+…+n·2n,则2Sn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)·2n+n·2n+1,两式相减,得-Sn=1×21+(22+23+24+…+2n)-n·2n+1,于是-Sn=21+(22+23+24+…+2n)-n·2n+1=-n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1,故Sn=(n-1)·2n+1+2.

素养形成分类讨论法求等比数列的前n项和典例

求数列1,2a,4a2,8a3,…的前n项和Sn.易错警示

等比数列与等差数列相比,具有更多的特殊性,例如,等比数列中的任何一项均不能为零,等比数列的求和公式中,要分q=1和q≠1两种情况分别求解,因此当等比数列中的项含有字母时,要注意分类讨论.

当堂检测答案

C2.在等比数列{an}中,其前n项和为Sn,a1=5,S5=55,则公比q等于(

)A.4 B.2C.-2 D.-2或4答案

C解析

依题意可得

=55,代入上式验证得q=-2.3.在公比为整数的等比数列{an}中,如果a1+a4=18,a2+a3=12,那么该数列的前8项和为(

)A.513 B.512

C.510

D.答案

C答案

76.已知数列{an}是首项、公比都为5的等比数列,bn=anlog25an(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Sn.

C

CA.6

B.7

C.8

D.9

CA