《等比数列的性质及应用》课件

第2课时等比数列的性质及应用第四章内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释思维脉络1.能够根据等比数列的定义和通项公式推出等比数列的常用性质.(逻辑推理)2.能够运用等比数列的性质解决有关问题.(数学运算)3.能够运用等比数列的知识解决简单的实际问题.(数学建模)课前篇自主预习【激趣诱思】对任一等差数列{an},在计算a7+a10和a8+a9,a10+a40和a20+a30时你发现了什么规律?能把你发现的规律作一般化推广吗?在等比数列中有类似的结论吗?【知识梳理】

名师点析

等比数列{an}的增减性(1)当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时,{an}是递增数列.(2)当q>1,a1<0或0<q<1,a1>0时,{an}是递减数列.(3)当q=1时,{an}是常数列;当q<0时,{an}是摆动数列.微思考(1)若{an}为等比数列,则m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)是aman=apaq的充要条件吗?如果不是,则是什么条件?提示

不是.在等比数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则一定有aman=apaq,反之则不一定,如{an}是常数列.故是充分不必要条件.(2)将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2,a2a3,a3a4,…,则此数列是等比数列吗?其公比是什么?提示

由于

=q2,n≥2且n∈N*,所以{anan+1}是以q2为公比的等比数列.课堂篇探究学习探究一等比数列性质的应用方法技巧应用等比数列性质的解题策略(1)等比数列的性质是等比数列的定义、通项公式等基础知识的推广与变形,熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等比数列问题.(2)应用等比数列的性质解题的关键是发现问题中涉及的数列各项的下标之间的关系,充分利用①若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则aman=apaq;②若m+n=2t(m,n,t∈N*),则aman=进行求解.变式训练

1(1)在等比数列{an}中,a1,a99是方程x2-10x+16=0的两个根,则a50的值为(

)A.10 B.16 C.±4 D.4(2)在等比数列{an}中,a1a2=1,a5a6=9,则a3a4=(

)A.3 B.±3 C.

D.±答案

(1)C

(2)A解析

(1)依题意,得a1a99=16,而a1a99=,所以a50=±4.(2)在等比数列{an}中,a1a2=1,a5a6=9,所以a1a2a5a6=9.又a3a4=a1a6=a2a5,所以(a3a4)2=9.又a3a4与a1a2的符号相同,故a3a4=3.探究二等比数列的综合问题例2有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数和第四个数的和是16,中间两个数的和是12.求这四个数.分析用两个未知数表示这四个数,结合已知条件列方程组.所以,当a=4,d=4时,所求四个数为0,4,8,16;当a=9,d=-6时,所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.方法技巧等比数列的项的巧妙设法

延伸探究

1将本例中的条件改为“有四个实数,前三个数依次成等比数列,它们的积是-8,后三个数依次成等差数列,它们的积为-80”,再求这四个数.探究三等比数列的实际应用例32020年12月17日凌晨1时59分,嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆,这是我国首次实现了地外天体采样返回,标志着中国航天向前又迈出了一大步.月球距离地球约38万千米,有人说:在理想状态下,若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n次其厚度就可以超过地球到月球的距离,那么至少对折的次数n是(

)(lg2≈0.3,lg3.8≈0.6)A.40 B.41 C.42 D.43答案

C解析

设对折n次时,纸的厚度为an,每次对折厚度变为原来的2倍,由题意知{an}是以a1=0.1×2为首项,公比为2的等比数列,所以an=0.1×2×2n-1=0.1×2n,令an=0.1×2n≥38×104×106,即2n≥3.8×1012,所以lg

2n≥lg

3.8+12,即0.3

n≥0.6+12,解得n≥42,所以至少对折的次数n是42,故选C.方法技巧等比数列实际应用的求解策略(1)一般地,产值增长率问题、银行利息问题、细胞繁殖等实际问题,往往与等比数列有关,可建立等比数列模型进行求解.(2)建立等比数列模型进行运算时,往往涉及指数、对数方程或不等式的问题,要注意运算的正确性,还要善于进行估算,对于近似计算问题,答案要符合实际问题的需要.变式训练

2一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2KB,然后每3分钟自身复制一次,复制后所占内存是原来的2倍,那么开机后

分钟,该病毒占据内存64MB(1MB=210KB).

答案

45解析

由题意,得每3分钟病毒占的内存容量构成一个等比数列,设病毒占据64

MB时自身复制了n次,即2×2n=64×210=216,解得n=15,从而复制的时间为15×3=45(分钟).变式训练

3某工厂2019年年底制订生产计划,要使工厂的总产值到2027年年底在原有基础上翻两番,则总产值年平均增长率为(

)答案

A解析

设2019年年底总产值为a,年平均增长率为x,则a(1+x)8=4a,得x=-1,故选A.

素养形成等比数列性质的活用典例

在等比数列{an}中,a2=2,a6=162.试求a10.分析利用等比数列的通项公式或项的性质求解.解

(方法1)设等比数列{an}的公比为q.由an=am·qn-m,∴a6=a2q4,即162=2q4,得q4=81,∴a10=a6q4=162×81=13

122.方法点睛本题三种方法均使用了等比数列的性质,其中方法1使用了公式an=amqn-m求出q;方法2使用了等比数列中a2,a6,a10成等比数列,即

=a2a10;方法2与方法3使用的性质相同,但解法不同.

当堂检测1.(河南百强校“领军考试”高二联考)已知各项均为正数的等比数列{an},a2a9=8,a5=2,则公比q为(

)答案

B2.(天津高二期末)在等比数列{an}中,a4=24,a6=6,则a5=(

)A.12 B.-12 C.±12 D.15答案

C解析

由等比数列{an},可知

=a4a6=24×6=144,解得a5=±12.3.在等比数列{an}中,若a2=8,a5=64,则公比q为(

)A.2 B.3 C.4 D.8答案

A解析

由a5=a2q3,得q3=8,所以q=2.4.对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是(

)A.a1,a3,a9成等比数列 B.a2,a3,a6成等比数列C.a2,a4,a8成等比数列 D.a3,a6,a9成等比数列答案

D解析

根据等比数列的性质,若m+n=2k(m,n,k∈N*),则am,ak,an成等比数列.即a3,a6,a9成等比数列.5.在等比数列{an}中,a1+a2=30,a3+a4=120,则a5+a6=

.

答案

480解析

根据等比数列的性质可知a1+a2,a3+a4,a5+a6也成等比数列,即(a3+a4)2=(a1+a2)(a5+a6),6.已知数列{an}为等比数列.(1)若a1+a2+a3=21,a1a2a3=216,求an