《等比数列的前n项和》课件

第四章

4.3.2第1课时等比数列的前n项和课程标准1.掌握等比数列的前n项和公式的推导方法.2.掌握等比数列的前n项和公式,能够运用公式解决相关问题.3.理解并掌握错位相减法求数列前n项和的方法及应用.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

成果验收·课堂达标检测基础落实·必备知识全过关知识点1

等比数列的前n项和公式若等比数列的首项为a1,公比为q,则它的前n项和Sn=

.

q不明确时,要分类讨论

名师点睛1.当等比数列的公比未知或是代数式时,求等比数列的前n项和公式常需分q=1与q≠1两种情况进行分类讨论.2.当q≠1时,等比数列的前n项和Sn有两个求解公式:当已知a1,q,n时,用过关自诊1.若等比数列{an}的公比q不为1,其前n项和为Sn=Aqn+B,则A与B有什么关系?2.等比数列{an}的前n项和公式中涉及a1,an,n,Sn,q五个量,已知几个量方可以求其他量?提示

A=-B.提示

三个.3.[人教B版教材例题]已知等比数列{an}的公比q=,a8=1,求这个数列前8项的和S8.知识点2

错位相减法求数列的和推导等比数列前n项和的方法叫做

,一般适用于求一个等差数列与一个

数列对应项的

所构成的数列的前n项和.

错位相减法

等比

积过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)只有等比数列才能用错位相减法求前n项和.(

)(2)求数列{n·3n}的前n项和可用错位相减法.(

)×√重难探究·能力素养全提升重难探究·能力素养全提升探究点一等比数列前n项和公式的应用【例1】

在等比数列{an}中,Sn为其前n项和,解决下列问题:(2)若Sn=189,q=2,an=96,求a1和n.分析

(1)根据条件,建立关于首项和公比的方程组,求出首项和公比后利用前n项和公式求解.(2)根据已知条件和前n项和公式建立方程组求解.规律方法

等比数列前n项和公式的应用问题在等比数列{an}的五个量a1,q,an,n,Sn中,a1,q和n是最基本的元素,当条件与结论间的联系不明显时,均可以用a1,q和n表示an与Sn,从而列方程组求解.在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的.这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用.C32【例2】

设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2+S4=S6,求其公比q.分析根据前n项和公式建立公比q的方程求解,但必须先对q的值分q=1和q≠1进行讨论.解

若q=1,则S2=2a1,S4=4a1,S6=6a1,显然满足S2+S4=S6,所以q=1符合题意;若q≠1,则

,整理得(q2+1)(q+1)2(q-1)2=0,解得q=-1(q=1舍去).综上,公比q的值等于1或-1.变式探究本例中,若条件改为“数列{an}是等比数列,其前n项和为Sn,且S3=3a3”,求其公比q的值.解

(方法1)当q=1时,S3=3a1=3a3,符合题意;规律方法

等比数列前n项和公式的关注点(1)在利用等比数列的前n项和公式时,若其公比不确定,则应对公比分q=1和q≠1两种情况进行讨论.(2)当n的值较小时,求Sn可以直接利用Sn=a1+a1q+a1q2+…求解,这样与探究点二利用分组求和法求数列的前n项和【例3】

已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=t,点(Sn,an+1)在直线y=3x+1上.(1)当实数t为何值时,数列{an}是等比数列?(2)在(1)的结论下,设bn=log4an+1,cn=an+bn,Tn是数列{cn}的前n项和,求Tn.解

(1)因为点(Sn,an+1)在直线y=3x+1上,所以an+1=3Sn+1.当n≥2时,an=3Sn-1+1.于是an+1-an=3(Sn-Sn-1),即an+1-an=3an,an+1=4an.又当n=1时,a2=3S1+1,即a2=3a1+1=3t+1,令

=4,即a2=4a1,即3t+1=4t,所以当t=1时,a2=4a1,此时数列{an}是等比数列.规律方法

一般情况下形如cn=an±bn,其中数列{an}与{bn}一个是等差数列,另一个是等比数列,求数列{cn}的前n项和,分别利用等差数列和等比数列前n项和公式求和即可.(2)由(1),可得an=4n-1,an+1=4n,所以bn=log4an+1=n,cn=4n-1+n,那么Tn=c1+c2+…+cn=(40+1)+(41+2)+…+(4n-1+n)=(40+41+…+4n-1)探究点三用错位相减法求数列的前n项和规律方法

错位相减法求和的解题策略(1)如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项乘积组成,此时可把式子Sn=a1+a2+…+an两边同乘公比q,得到qSn=a1q+a2q+…+anq,两式错位相减整理即可求出Sn.(2)错位相减法求和是一种非常重要的求和方法,这种方法的计算过程较为复杂,对计算能力要求较高,应加强训练.要注意通过训练,掌握在错位相减过程中的几个关键环节,避免出错.(3)使用错位相减法求和时得到的结论,可以将n=1,2代入验证是否正确.变式训练3求数列an=n·2n的前n项和.解

设前n项和为Sn,则Sn=1×21+2×22+3×23+…+n·2n,则2Sn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)·2n+n·2n+1,两式相减,得-Sn=1×21+(22+23+24+…+2n)-n·2n+1,于是-Sn=(21+22+23+24+…+2n)-n·2n+1本节要点归纳1.知识清单:(1)等比数列前n项和公式的推导.(2)等比数列中与前n项和有关的基本运算.(3)分组求和法和错位相减求和法的应用.2.方法归纳:公式法、分组求和法、错位相减求和法.3.常见误区:等比数列前n项和公式中项数的判断易出错.重难探究·能力素养全提升成果验收·课堂达标检测123456C1234562.在等比数列{an}中,其前n项和为Sn,a1=5,S5=55,则公比q等于(

)A.4 B.2C.-2 D.-2或4C1234563.设Sn为数列{an}的前n项和,an=1+2+22+…+2n-1,则Sn的值为(

)A.2n-1 B.2n-1-1C.2n-n-1 D.2n+1-n-2D123456答案

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1234565.[北师大版教材习题]求下列等比数列{an}的前n项和:(1)a1=1,q=3,n=10;123456(4)a1=6,q=2,an=192.1234566.求和:Sn=x+2x2+3x3+…+nxn(x≠0).