《等比数列的性质及应用》课件

第四章

4.3.1第2课时等比数列的性质及应用课程标准1.能够根据等比数列的定义和通项公式推出等比数列的常用性质.2.能够运用等比数列的性质解决有关问题.3.能够运用等比数列的知识解决简单的实际问题.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

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等比数列{an}的常用性质1.若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则

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2.an=am·

(q为公比,m,n∈N*).

3.在等比数列{an}中,公比为q,每隔k项取出一项,取出的项按原来顺序组成新数列,该数列仍然是等比数列,公比为

.

5.a1an=a2an-1=…=aman-m+1.可以将两项的乘积进行转化

aman=apaqqn-mqk+1名师点睛等比数列{an}的增减性(1)当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时,{an}是递增数列.(2)当q>1,a1<0或0<q<1,a1>0时,{an}是递减数列.(3)当q=1时,{an}是常数列;当q<0时,{an}是摆动数列.过关自诊1.若{an}为等比数列,则m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)是aman=apaq的充要条件吗?若不是,则是什么条件?提示

不是.在等比数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则一定有aman=apaq,反之则不一定,如{an}是常数列.故是充分不必要条件.2.[北师大版教材习题]将公比为q的等比数列a1,a2,a3,a4,…依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2,a2a3,a3a4,….此数列是(

)A.公比为q的等比数列

B.公比为q2的等比数列C.公比为q3的等比数列

D.不一定是等比数列B所以新数列{anan+1}是公比为q2的等比数列.3.在正项等比数列{an}中,a4a8a12=8,则log2a2+log2a14=

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答案

2重难探究·能力素养全提升重难探究·能力素养全提升探究点一等比数列性质的应用【例1】

已知{an}为等比数列.(1)若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5;(2)若an>0,a5a6=9,求log3a1+log3a2+…+log3a10的值.∵an>0,∴a3+a5>0,∴a3+a5=5.(2)根据等比数列的性质,得a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9,∴a1a2…a9a10=(a5a6)5=95,∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2…a9a10)=log395=10.变式探究1在例1(1)中,添加条件a1a7=4,其他条件不变,求an.解

由等比数列的性质得a3a5=a1a7=4,又由例1(1)知a3+a5=5,解得a3=1,a5=4或a3=4,a5=1.由an>0知公比q>0,若a3=1,a5=4,则q=2,an=2n-3;若a3=4,a5=1,则q=,an=25-n.变式探究2把例1(2)的条件改为“an>0,公比q为3,a1a2a3…a30=3300”,求log3a1+log3a2+…+log3a10的值.解

由已知得a1a2a3…a30=(a1a2a3…a10)·q100(a1a2a3…a10)·q200(a1a2a3…a10)=q300(a1a2a3…a10)3=3300,又q=3,∴a1a2a3…a10=1,则log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2…a10)=log31=0.规律方法

应用等比数列性质的解题策略(1)等比数列的性质是等比数列的定义、通项公式等基础知识的推广与变形,熟练掌握和灵活运用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等比数列问题.(2)应用等比数列的性质解题的关键是发现问题中涉及的数列各项的下标之间的关系,充分利用①若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则aman=apaq;②若m+n=2t(m,n,t∈N*),则aman=进行求解.探究点二等比数列的综合问题【例2】

有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数和第四个数的和是16,中间两个数的和是12.求这四个数.分析

用两个未知数表示这四个数,结合已知条件列方程组.变式探究1将本例中的条件改为“有四个实数,前三个数依次成等比数列,它们的积是-8,后三个数依次成等差数列,它们的积为-80”,求这四个数.探究点三等比数列的实际应用【例3】

[北师大版教材习题]某工厂2016年产值为200万元,计划从2017年开始,每年的产值比上一年增长20%.问至少从哪年开始,该厂的年产值可超过1200万元?(lg2≈0.3,lg6≈0.78)解

每年的产值构成等比数列{an},a1=200,公比q=1+20%=1.2.由an=200×1.2n-1>1

200,得n>1+log1.26≈1+9.75=10.75,n≥11.即至少从2026年开始,该厂的年产值可超过1

200万元.规律方法

等比数列实际应用的求解策略(1)一般地,产值增长率问题、银行利息问题、细胞繁殖等实际问题,往往与等比数列有关,可建立等比数列模型进行求解.(2)建立等比数列模型进行运算时,往往涉及指数、对数方程或不等式的问题,要注意运算的正确性,还要善于进行估算,对于近似计算问题,答案要符合实际问题的需要.变式训练一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2KB,然后每3分钟自身复制一次,复制后所占内存是原来的2倍,那么

分钟后,该病毒占据内存64MB(1MB=210KB).

答案

45

解析

由题意,得每3分钟病毒占的内存容量构成一个等比数列,设病毒占据内存64

MB时自身复制了n次,即2×2n=64×210=216,解得n=15,从而所用时间为15×3=45(分钟).本节要点归纳1.知识清单:(1)等比数列的性质及应用.(2)等比数列中项的设解技巧.(3)等比数列的实际应用.2.方法归纳:定义法、类比、分类讨论.重难探究·能力素养全提升成果验收·课堂达标检测123451.已知各项均为正数的等比数列{an},a2a9=8,a5=2,则公比q为(

)B123452.在等比数列{an}中,a4=24,a6=6,则a5=(

)A.12 B.-12 C.±12 D.15C123453.对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是(

)A.a1,a3,a9成等比数列B.a2,a3,a6成等比数列C.a2,a4,a8成等比数列D.a3,a6,a9成等比数列D解析

根据等比数列的性质,若m+n=2k(m,n,k∈N*),则am,ak,an成等比数列.故a3,a6,a9成等比数列.123454.试写出一个无穷等比数列{an},同时满足:(1)a4=1;(2)数列{|an|}单调递减;(3)数列{an}不具有单调性,则当n∈N*时,an=

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解析

由题意可设an=a4·qn-4=qn-4,因为数列{an}不具有单调性,数列{|an|}单123455.已知数列{an}为等比数列.(1)若a1+a2+a3=21,a1a2a3=216,求an