《求数列的通项》课件

第四章

培优课❶求数列的通项课程标准1.掌握利用累加、累乘法求数列的通项公式.2.会用构造法解决一些简单的求通项公式问题.3.会用前n项和Sn与an的关系求通项公式.重难探究·能力素养全提升目录索引

成果验收·课堂达标检测重难探究·能力素养全提升重难探究·能力素养全提升探究点一利用累加、累乘法求数列的通项公式【例1】

已知等差数列{an}满足a3+a6=11,a6+a9=17,数列{bn}满足b1=2,bn+1-bn=2n.求{an},{bn}的通项公式.规律方法

1.求形如an+1=an+f(n)的通项公式.将原来的递推公式转化为an+1-an=f(n),再用累加法(逐差相加法)求解,即an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=a1+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n-1).2.求形如an+1=f(n)an的通项公式.探究点二利用递推公式构造等差数列求通项【例2】

已知数列{an}满足an=2an-1+2n(n≥2),且a1=1,求数列{an}的通项公式.变式探究将本例中“an=2an-1+2n”变为“an=2an-1+2n+1”,其余不变,求数列{an}的通项公式.规律方法

形如an=pan-1+pn(p≠1)的递推关系求通项公式的一般步骤第一步:等式两边同除以pn,不管这一项是pn-1或pn+1,都同除以pn.第二步:写出数列

的通项公式.第三步:写出数列{an}的通项公式.探究点三利用递推公式构造等比数列求通项【例3】

[广东广州月考]在数列{an}中,a1=2,an=4an-1-3(n≥2,n∈N*).求证:{an-1}是等比数列,并求数列{an}的通项公式.证明依题意,数列{an}中,a1=2,an=4an-1-3(n≥2,n∈N*),所以an-1=4(an-1-1)(n≥2,n∈N*),所以数列{an-1}是首项为a1-1=1,公比为4的等比数列.所以an-1=1×4n-1,an=4n-1+1.规律方法

1.形如an+1=pan+q(其中p,q为常数,且pq(p-1)≠0)可用待定系数法求得通项公式,步骤如下:第一步:假设递推公式可改写为an+1+t=p(an+t);第四步:写出数列{an}的通项公式.2.形如an+1=pan+qn+1(其中p,q为常数,pq(p-1)≠0)的递推关系求通项公式的一般步骤类似于形如an+1=pan+q求通项公式的步骤,要注意数列的下标与q的指数的对应关系.变式训练2已知数列{an}满足an+1=3an+2n+1且a1=1,求数列{an}的通项公式.解

由题意得,an+1+A·2n+1=3(an+A·2n),即an+1=3an+A·2n,故A=2,所以an+1+2n+2=3(an+2n+1),所以{an+2n+1}是以5为首项,3为公比的等比数列,所以an+2n+1=5·3n-1,即an=5·3n-1-2n+1.探究点四

利用前n项和Sn与an的关系求通项公式

【例4】

(1)已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2an-4,n∈N*,则an等于(

)A.2n+1

B.2n

C.2n-1

D.2n-2A解析

因为Sn=2an-4,所以n≥2时,Sn-1=2an-1-4,两式相减可得Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-2an-1,整理得an=2an-1,所以

=2.因为S1=a1=2a1-4,即a1=4,所以数列{an}是首项为4,公比为2的等比数列,则an=4×2n-1=2n+1,故选A.A.-3 B.-1 C.3

D.1C规律方法

已知Sn=f(an)或Sn=f(n)求数列{an}的通项公式的解题步骤第一步:利用Sn满足条件p,写出当n≥2时,Sn-1的表达式;第二步:利用an=Sn-Sn-1(n≥2),求出an或者转化为an的递推公式的形式;第三步:若求出n≥2时的{an}的通项公式,则根据a1=S1求出a1,并代入n≥2时的{an}的通项公式进行验证,若成立,则合并;若不成立,则写出分段形式.如果求出的是{an}的递推公式,则再由递推公式求通项公式.本节要点归纳1.知识清单:(1)利用累加、累乘法求通项公式.(2)形如an=pan-1+pn,an+1=pan+q,an+1=pan+qn+1等形式的递推关系求通项公式.(3)通过数列的前n项和求通项公式.2.方法归纳:累加法、累乘法、构造法、转化思想.3.常见误区:(1)构造的新数列的首项易误认为还是a1;(2)易忽略递推公式变形中的等价性.重难探究·能力素养全提升成果验收·课堂达标检测1231.已知数列{an}满足an+1=2an+3×5n,a1=6,则数列{an}的通项公式an等于(

)A.an=2n-1+5n

B.an=2n-1-5nC.an=2n-1

D.an=21n-15A123解析

设an+1+x·5n+1=2(an+x·5n),①将an+1=2an+3·5n代入①式,得2an+3·5n+x·5n+1=2an+2x·5n,等式两边消去2an,得3·5n+x·5n+1=2x·5n,两边除以5n,得3+5x=2x,则x=-1,代入①式得an+1-5n+1=2(an-5n),②由a1-51=6-5=1≠0及②式得an-5n≠0,则

=2,则数列{an-5n}是以a1-51=1为首项,以2为公比的等比数列,所以an-5n=2n-1,所以an=2n-1+5n.1232.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,an+1=Sn+1(n∈N*),则S5=

.

答案

47解析

∵an+1=Sn+1(n∈N*),即Sn+1-Sn=Sn+1(n∈N*),∴Sn+1+1=2(Sn+1)(n∈N*),∴数列{Sn+1}为等比数列,其首项为3,公比为2.则S5+1=3×24,解得S5=47.1233.[浙江宁波月考]已知数列{an}的前n项和Sn满足4an-2Sn+n2-3n-4=0,n∈N*.求证:数列{an-n}为等比数列,并求数列{an}的通项公式.证明

当n=1时,4a1-2S1+12-3-4=0,即a1=3,当n≥2时,4an-2Sn+n2-3n-4=0,4an-1-2Sn-1+(n-1)2-3(n-1)-4=0,所以4(an-an-1)-2an+2n-4=0,整理得an=2an-1-n+2,所以an-n=2[an-1-(n-1)],又a1-1=2≠0,故an-n≠0,所以{an-n}为首项是2,公比是2的等比数列,所以an-n=2n,即an=2n+n.

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