《函数的单调性》课件

5.3.1函数的单调性第五章内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释1.理解导数与函数单调性的关系.(逻辑推理)2.会利用导数判断或证明函数单调性.(数学抽象)3.会利用导数求函数单调区间.(数学运算)4.理解函数图象与其导函数图象之间的关系.(直观想象)5.掌握已知函数单调性求参数取值范围的方法.(数学运算、逻辑推理)思维脉络课前篇自主预习【激趣诱思】竖直上抛的一个小物体,其高度h与时间t之间的关系是h=10t-5t2(0<t<2).求出这个函数的导函数h',作出这个函数的图象与导函数的图象,观察函数h=10t-5t2的单调性与导函数之间的关系,并总结出一般结论.由此探究函数的导数的符号与函数的单调性的关系,引出课题.【知识梳理】

一、函数的单调性与其导数的关系在某个区间(a,b)上,如果

f'(x)>0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增;在某个区间(a,b)上,如果

f'(x)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减.名师点析

“在某区间内f'(x)>0(f'(x)<0)”是“函数f(x)在此区间上单调递增(减)”的充分条件,而不是必要条件.如果出现个别点使f'(x)=0,不会影响函数f(x)在包含该点的某个区间上的单调性.例如函数f(x)=x3,在定义域

(-∞,+∞)上是增函数,但因为f'(x)=3x2,所以f'(0)=0,即并不是在定义域内的任意一点处都满足f'(x)>0.定义域的非空子集

微思考(1)如果函数f(x)在某个区间上恒有f'(x)=0,那么函数f(x)有什么特性?提示

f(x)是常数函数.(2)若函数f(x)为可导函数,且在区间(a,b)上单调递增(或递减),则f'(x)满足什么条件?提示

f'(x)≥0(或f'(x)≤0).二、函数图象的变化趋势与导数的绝对值大小的关系一般地,设函数y=f(x),在区间(a,b)上:导数的绝对值函数值变化函数的图象较大较快比较“陡峭”(向上或向下)较小较慢比较“平缓”(向上或向下)名师点析

(1)原函数的图象通常只看增减变化,而导函数的图象通常对应只看正负变化.(2)导数的绝对值大(小)对应着原函数图象的陡峭(平缓).弄清楚两个对应就能准确快速地分析函数图象的变化趋势与导数的绝对值大小的关系.微点拨明确导数值与函数图象变化趋势的关系1.在某一个区间上导数值为正,函数单调递增;导数值为负,函数单调递减.2.函数图象越陡峭,导数的绝对值越大;函数图象越平缓,导数的绝对值越小.反之,亦成立.课堂篇探究学习探究一函数与导函数图象间的关系例1(1)设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f'(x)的图象可能为(

)(2)(甘肃天水第一中学高二期末)函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是(

)答案

(1)D

(2)D解析

(1)由函数的图象可知:当x<0时,函数单调递增,导数始终为正;当x>0时,函数先增后减再增,即导数先正再为0,再负,再为0,再正,对照选项,应选D.(2)原函数先减再增,再减再增,且单调递增区间与单调递减区间的分界点情形只有选项D符合,故选D.方法技巧研究函数图象与导函数图象之间关系的方法导函数f'(x)图象在x轴上方时对应的自变量的取值区间为原函数f(x)图象上升部分对应的区间(单调递增区间),导函数f'(x)图象在x轴下方时对应的自变量的取值区间为原函数f(x)图象下降部分对应的区间(单调递减区间).变式训练

1(甘肃高二期末)已知函数y=xf'(x)的图象如图所示(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),下面四个图象中,y=f(x)的图象大致是(

)答案

C解析

当x<-1时,xf'(x)<0,∴f'(x)>0.故f(x)在(-∞,-1)上单调递增;当-1<x<0时,xf'(x)>0,∴f'(x)<0,故f(x)在(-1,0)上单调递减;当0<x<1时,xf'(x)<0,∴f'(x)<0,故f(x)在(0,1)上单调递减;当x>1时,xf'(x)>0,∴f'(x)>0,故y=f(x)在(1,+∞)上单调递增.故选C.探究二利用导数判断或证明函数的单调性例2在下列函数中,在(0,+∞)内单调递增的是(

)A.y=cosx B.y=xexC.y=x3-x D.y=lnx-x答案

B解析

A中,y'=-sin

x,当x>0时,y'的符号不确定;B中,y'=ex+xex=(x+1)ex,当x>0时,y'>0,故在(0,+∞)内单调递增;C中,y'=3x2-1,当x>0时,y'>-1;D中,y'=-1,当x>0时,y'>-1.故选B.方法技巧运用导数研究函数单调性的方法利用导数判断或证明函数的单调性时,一般是先确定函数的定义域,再求导数,最后判断导数在所给区间上的符号,从而确定函数的单调性.变式训练

2(江西南昌二中高二期末)若函数y=xcosx-sinx在某区间内单调递增,则该区间可能为(

)答案

C解析

∵y=xcos

x-sin

x,∴y'=cos

x-xsin

x-cos

x=-xsin

x.sin

x<0,y'<0,函数单调递减,故B错误;当x∈(π,2π)时,sin

x<0,y'>0,函数单调递增,故C正确;当x∈(0,π)时,sin

x>0,y'<0,函数单调递减,故D错误.故选C.探究三利用导数求函数的单调区间角度1

求不含参数的函数的单调区间例3求下列函数的单调区间:(1)f(x)=x2-lnx;(2)f(x)=cosx+x,x∈(0,π).分析根据函数解析式求出函数的导函数,根据导函数的符号确定函数单调区间.反思感悟

导数法求单调区间及注意事项(1)利用导数求函数单调区间的步骤①确定函数的定义域.②求导数f'(x).③在定义域内,解不等式f'(x)>0得到函数的单调递增区间,解不等式f'(x)<0得到函数的单调递减区间.(2)在利用导数求函数单调区间时,首先必须求出函数的定义域,然后在定义域的前提之下解不等式得到单调区间,单调区间是定义域的非空子集.(3)当一个函数的单调递增区间(或单调递减区间)有多个时,这些区间之间不能用并集符号“∪”连接,也不能用“或”连接,而只能用“,”或“和”连接.变式训练

3求下列函数的单调区间:(1)f(x)=4x-x3;(2)f(x)=ex-x.解

(1)函数定义域为R,f'(x)=4-x2.令f'(x)>0,即4-x2>0,解得-2<x<2;令f'(x)<0,即4-x2<0,解得x<-2或x>2.故函数的单调递增区间是(-2,2),单调递减区间是(-∞,-2)和(2,+∞).(2)函数定义域为R,f'(x)=ex-1.令f'(x)>0,即ex-1>0,解得x>0;令f'(x)<0,即ex-1<0,解得x<0.故函数的单调递增区间是(0,+∞),单调递减区间是(-∞,0).角度2

求含参数的函数的单调区间例4讨论函数f(x)=ax2+x-(a+1)lnx(a≥0)的单调性.分析根据函数的定义域,结合导函数零点的大小,确定原函数的单调性及单调区间.由f'(x)>0,得x>1,由f'(x)<0,得0<x<1.∴f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.综上所述,当a≥0时,f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.方法技巧解析式中含参数的函数的单调区间的求法(1)求解析式中含参数的函数的单调区间一般需要分类讨论:若函数的导函数的零点能够直接求出,则主要是根据导函数零点的大小分类讨论;若导函数的零点不能直接求出,则需要结合导函数是否存在零点分类讨论.(2)若导数的解析式是一个含参的二次三项式(或可化为二次三项式),如果二次项系数含参数,那么首先按照二次项系数为零、为正、为负分类讨论;如果二次项系数无参数,那么只需讨论导数对应方程的两个根x1,x2的大小.但是求解时要注意函数的定义域对函数的单调区间的限制.延伸探究

本例条件不变,将a≥0改为a<0,讨论函数的单调区间.探究四已知函数的单调性求参数的值或取值范围例5已知函数f(x)=x3-ax-1为增函数,求实数a的取值范围.分析f(x)为增函数→f'(x)≥0恒成立→分离参数求a的取值范围解

由已知得f'(x)=3x2-a,因为f(x)在(-∞,+∞)内是增函数,所以f'(x)=3x2-a≥0在(-∞,+∞)内恒成立,即a≤3x2对x∈R恒成立.因为3x2≥0,所以只需a≤0.又因为a=0时,f'(x)=3x2≥0,f(x)=x3-1在R上是增函数.所以实数a的取值范围为(-∞,0].方法技巧利用函数的单调性求参数,常用方法如下:(1)函数f(x)在区间D上单调递增⇒f'(x)≥0在区间D上恒成立;(2)函数f(x)在区间D上单调递减⇒f'(x)≤0在区间D上恒成立;(3)函数f(x)在区间D上不单调⇒f'(x)在区间D上存在异号零点;(4)函数f(x)在区间D上存在单调递增区间⇒∃x0∈D,使得f'(x0)>0成立;(5)函数f(x)在区间D上存在单调递减区间⇒∃x0∈D,使得f'(x0)<0成立;(6)若已知f(x)在区间D上的单调性,区间D上含有参数时,可先求出f(x)的单调区间,令D是其单调区间的非空子集,从而求出参数的取值范围.延伸探究

1若函数f(x)=x3-ax-1的单调递减区间为(-1,1),求实数a的值.延伸探究

2若函数f(x)=x3-ax-1在(-1,1)上单调递减,求实数a的取值范围.延伸探究

3若函数f(x)=x3-ax-1在(-1,1)上不单调,求实数a的取值范围.延伸探究

4若函数f(x)=x3-ax-1在区间(-1,1)上存在单调递减区间,求实数a的取值范围.解

∵f(x)=x3-ax-1,∴f'(x)=3x2-a.由题意可知f'(x)=3x2-a<0在区间(-1,1)上有解,即a>3x2在区间(-1,1)上有解,因此a>(3x2)min.由于y=3x2在区间(-1,1)上的最小值为0,因此a>0.故实数a的取值范围是(0,+∞).

素养形成构造函数研究函数的单调性典例

(1)已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf'(x)-f(x)<0,其中f'(x)是函数f(x)的导函数.若2f(m-2020)>(m-2020)f(2),则实数m的取值范围为(

)A.(0,2020) B.(2020,+∞)C.(2022,+∞) D.(2020,2022)(2)设函数f'(x)是函数f(x)的导函数,∀x∈R,f(x)+f'(x)>0,且f(1)=2,则不等式f(x)>的解集为(

)A.(1,+∞) B.(2,+∞)C.(-∞,1) D.(-∞,2)∵xf'(x)-f(x)<0,∴h'(x)<0,∴函数h(x)在(0,+∞)上单调递减.∵2f(m-2

020)>(m-2

020)f(2),∴m-2

020>0,m>2

020,即h(m-2

020)>h(2),故m-2

020<2,解得m<2

022,故2

020<m<2

022.(2)依题意,令函数g(x)=exf(x),则g'(x)=ex[f(x)+f'(x)]>0,且g(1)=2e,所以g(x)是R上的增函数,f(x)>⇔exf(x)>2e⇔g(x)>g(1),解得x>1.故选A.答案

(1)D

(2)A方法点睛当已知条件中涉及函数f(x)与f'(x)的不等关系式时,常需要构造与已知条件有关的函数,并判断出其单调性,结合单调性求解问题.常见的构造方法如下:(1)已知条件中涉及加乘型的构造方法:题目常见形式⇒原函数⇒原函数的导函数f(x)+f'(x)⇒exf(x)⇒[exf(x)]'=ex[f(x)+f'(x)]f(x)+xf'(x)⇒xf(x)⇒[xf(x)]'=f(x)+xf'(x)nf(x)+xf'(x)⇒xnf(x)⇒[xnf(x)]'=xn-1[nf(x)+xf'(x)](2)已知条件中涉及减除型的构造方法:题目常见形式⇒原函数⇒原函数的导函数变式训练

(1)已知y=f(x)为(0,+∞)上的可导函数,且有f'(x)+>0,则对于任意的a,b∈(0,+∞),当a>b时,有(

)A.af(a)<bf(b) B.af(a)>bf(b)C.af(b)>bf(a) D.af(b)<bf(a)(2)已知f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且f(1)=1,导函数f'(x)满足f'(x)<f(x)恒成立,则不等式

的解集为(

)答案

(1)B

(2)A解析

(1)不妨设h(x)=xf(x),则h'(x)=f(x)+xf'(x).∵当x>0时,有f'(x)+>0,∴当x>0时,xf'(x)+f(x)>0,即h'(x)>0,此时函数h(x)单调递增,则对于任意的a,b∈(0,+∞),当a>b时,则g(a)>g(b),即af(a)>bf(b),故选B.

当堂检测1.函数f(x)=-x3+4x2-4x的单调递增区间是(

)答案

C2.(安徽滁州高二期末)若函数f(x)=x3+2x2+mx+1在(-∞,+∞)内单调递增,则实数m的取值范围是(

)答案

A3.设函数f(x)的图象如图所示,则导函数f'(x)的图象可能为(

)答案

C解析

∵f(x)在(-∞,1),(4,+∞)上单调递减,在(1,4)上单调递增,∴当x<1或x>4时,f'(x)<0;当1<x<4时,f'(x)>0.故选C.4.若函数f(x)=-x2+alnx在区间(1,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围为(

)A.[1,+∞) B.(1,+∞)C.(-∞,1) D.(-∞,1]答案

D解析

f'(x)=-x+,∵f(x)在区间(1,+∞)上单调递减,∴f'(x)=-x+≤0在区间(1,+∞)上恒成立.∴a≤x2在区间(1,+∞)上恒成立.∵x2>1,∴a≤1.经检验,等号可取.故选D.5.(山西朔州怀仁一中高二月考)已知函数f(x)=.(1)求函数f(x)的导数;(2)求函数f(x)的单调区间.解

(1)函数f(x)=的定义域为(0,+∞),f'(x)=.(2)当f'(x)>0,即0<x<e时,函数f(x)单调递增;