《简单复合函数的导数》课件

第五章

5.2.3简单复合函数的导数课程标准1.了解复合函数的概念.2.理解复合函数的求导法则,并能求简单的复合函数(限于形如f(ax+b))的导数.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

成果验收·课堂达标检测基础落实·必备知识全过关知识点

简单复合函数的导数

1.复合函数的概念一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成

的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作

.

2.复合函数的求导法则一般地,对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)),它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx'=yu'·ux',即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.求导遵循原则:由外及里,层层求导

xy=f(g(x))名师点睛求复合函数的导数需注意以下几点:(1)中间变量的选择应是基本函数结构;(2)关键是正确分析函数的复合层次;(3)要善于把一部分表达式作为一个整体;(4)最后要把中间变量换成关于自变量的函数.过关自诊1.函数y=(2022-8x)3的导数y'等于(

)A.3(2022-8x)2

B.-24xC.-24(2022-8x)2

D.24(2022-8x)2C解析

y'=3(2

022-8x)2×(2

022-8x)'=3(2

022-8x)2×(-8)=-24(2

022-8x)2.2.函数y=log2(x+1)是复合函数吗?是由哪些函数复合而成的?提示

是,函数y=log2(x+1)是由y=log2u及u=x+1这两个函数复合而成的.3.[北师大版教材习题]写出下列函数的中间变量,并利用复合函数的求导法则分别求出函数的导数:(2)y=sin(-x+1);(3)y=e-2x+1;解

函数的中间变量为u=-x+1,则函数y=sin(-x+1)是由函数y=sin

u与u=-x+1复合而成的.由复合函数的求导法则,可得y'=cos

u×(-1)=-cos(-x+1).解

函数的中间变量为u=-2x+1,则函数y=e-2x+1是由函数y=eu与u=-2x+1复合而成的.由复合函数的求导法则,可得y'=eu×(-2)=-2e-2x+1.(4)y=cos(x+3).解

函数的中间变量为u=x+3,则函数y=cos(x+3)是由函数y=cos

u与u=x+3复合而成的.由复合函数的求导法则,可得y'=-sin

u×1=-sin(x+3).重难探究·能力素养全提升重难探究·能力素养全提升探究点一求复合函数的导数【例1】

[人教B版教材例题]求下列函数的导数.(1)h(x)=e5x-1;分析

先分析每个复合函数的构成,再按照复合函数的求导法则进行求导.(2)f(x)=ln(2x+1);解

h(x)=e5x-1可以看成f(u)=eu与u=g(x)=5x-1的复合函数,因此h'(x)=f'(u)g'(x)=(eu)'·(5x-1)'=eu×5=5e5x-1.解

f(x)=ln(2x+1)可以看成h(u)=ln

u与u=g(x)=2x+1的复合函数,因此

规律方法

复合函数求导的步骤

变式训练1求下列函数的导数:(1)y=103x-2;(2)y=ln(ex+x2);解

令u=3x-2,则y=10u,所以yx'=yu'·ux'=10uln

10·(3x-2)'=3×103x-2ln

10.探究点二复合函数求导与导数的运算法则的综合应用【例2】

求下列函数的导数:规律方法

此类问题出错的主要因素一般有两个:一是基本初等函数的导数公式记忆有误;二是求导法则掌握不到位,尤其是对于积与商的求导法则中的符号问题出现混淆,导致运算结果出现错误.对于复杂函数求导,一般遵循先化简再求导的原则,但要注意化简过程中变换的等价性.变式训练2求下列函数的导数:(1)y=sin2x+cos2x;解

y'=(sin

2x)'+(cos

2x)'=2cos

2x-2sin

2x.探究点三与复合函数有关的切线问题规律方法

解此类问题的关键点:(1)求复合函数的导数,这是正确解答的前提条件,要注意把复合函数逐层分解,求导时不要有遗漏.(2)求切线方程,注意切线所过的点是否为切点.变式训练3[北师大版教材习题]求曲线y=ln(3x-2)在x=1处的切线的方程.又当x=1时,y=0,所以切线方程为y-0=3(x-1),即3x-y-3=0.本节要点归纳1.知识清单:(1)复合函数的概念.(2)复合函数的求导法则.(3)复合函数的导数的应用.2.方法归纳:公式法、转化法.3.常见误区:(1)求复合函数的导数时不能正确分解函数;(2)求导时不能分清是对哪个变量求导;(3)计算结果复杂化.重难探究·能力素养全提升成果验收·课堂达标检测1234561.(多选题)函数y=(x2-1)n的复合过程正确的是(

)A.y=un,u=x2-1B.y=(u-1)n,u=x2C.y=tn,t=(x2-1)nD.t=x2-1,y=tnAD123456A.-2 B.2

C.-1 D.1A123456A1234564.[天津河东质检]设f(x)=ln(2x-1),若f(x)在x0处的导数f'(x0)=1,则x0的值为(

)B1234565.设曲线y=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a=

.

答案

2解析

易知y'=aeax,切线的斜率k=ae0=a,又切线与直线x+2y+1=0垂直,故a×(-)=-1,则a=