《变化率问题》课件

5.1.1变化率问题第五章内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释思维脉络1.理解平均速度和瞬时速度的关系,并能求解平均速度和瞬时速度.(数学抽象、数学运算)2.体会抛物线上割线与切线的关系,能求解抛物线上某点处的切线斜率.(数学抽象、数学运算)课前篇自主预习

【知识梳理】

一、平均速度与瞬时速度1.平均速度:物体的位移与所用时间的比值,通常指物体在某一时间段的速度.若物体运动的位移与时间的关系式是s=f(t),函数f(t)在t0与t0+Δt之间的平均速度是2.瞬时速度:在物理中,做变速运动的物体在不同的时刻,速度是不同的,我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.

变速运动物体在不同时刻瞬时速度不同名师点析

从物理的角度看,瞬时速度就是将平均速度的时间段改为时间点,即让时间段[t,t+Δt](Δt>0)或者[t+Δt,t](Δt<0)中的时间间隔|Δt|无限趋近于0,此时时间段[t,t+Δt](Δt>0)或者[t+Δt,t](Δt<0)内的平均速度就无限趋近于t时刻的瞬时速度.微练习一物体按规律s(t)=2t2运动,则其在时间段[1,2]内的平均速度为

,在t=3时的瞬时速度是

.

答案

6

12微思考平均速度与瞬时速度有什么不同?提示

平均速度表示的是运动的物体在某一段时间内的快慢程度.瞬时速度反映的是物体在运动过程的某一时刻的运动情况,能精确表示任一时刻物体运动的快慢和方向.二、割线斜率与切线斜率1.割线与切线的关系如图所示,当点Pn(xn,f(xn))沿着曲线无限趋近于点P0(x0,f(x0))时,割线P0Pn无限趋近于一个确定的位置.这个确定位置的直线P0T称为曲线在点P0处的切线.2.割线斜率与切线斜率的关系

微练习

微点拨(1)当Δx→0时,割线P0Pn的斜率称为曲线在点P0处的切线的斜率.这样就提供了求曲线上在某点处的切线斜率的一种方法.(2)曲线在某点处的切线:①与该点的位置有关.②要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如割线有极限位置,则在此点有切线,且切线是唯一的;如割线不存在极限位置,则曲线在此点处无切线.③曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个交点.课堂篇探究学习探究一求物体运动的平均速度及瞬时速度角度1

平均速度例1某质点运动的方程为f(x)=-2x2+1(x表示时间,f(x)表示位移),则该质点从x=1到x=2的平均速度为(

)A.-4 B.-8 C.6 D.-6答案

D解析

由题得该质点从x=1到x=2的平均速度为故选D.反思感悟

求物体运动的平均速度的三个步骤第一步:求时间的改变量x2-x1;第二步:求位移的改变量f(x2)-f(x1);变式训练

1质点的运动规律为s=t2+3(t表示时间,s表示位移),则在时间[3,3+Δt]中,质点的平均速度等于(

)A.6+Δt

B.6+Δt+C.3+Δt

D.9+Δt答案

A解析

平均速度为角度2

瞬时速度例2某物体的运动路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s(t)=t2+t+1表示,求物体在t=1s时的瞬时速度.延伸探究

1在本例条件不变的前提下,试求物体的初速度.延伸探究

2在本例条件不变的前提下,试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9m/s.反思感悟

求运动物体在t=t0时的瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量Δt和位移改变量s(t0+Δt)-s(t0).探究二求解曲线在某点处的割线、切线斜率例3设函数f(x)=x(x-6),则此函数图象在x=0处的切线斜率为(

)A.0 B.-1 C.3 D.-6 答案

D反思感悟

求曲线上某点(x0,f(x0))处的割线或切线斜率的步骤

答案

A

素养形成求解函数解析式中含x2或x3的函数图象在某点处的切线斜率问题

分析利用定义及立方和公式化简求解.答案

B方法点睛涉及解析式中含xα(α∈N且α≥2)的函数图象在某点处的切线斜率问题的常见的公式(1)平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2;(2)完全平方和与完全平方差公式:(a±b)2=a2±2ab+b2;(3)立方差公式:a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2);立方和公式:a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2).(4)完全立方差公式:(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3.完全立方和公式:(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3.变式训练

已知曲线y=x4+ax2+1在点(-1,a+2)处切线的斜率为8,则a的值是(

)A.9 B.6 C.-9 D.-6答案

D

当堂检测1.(河北石家庄二中高二月考)函数f(x)=x2在区间[-1,2]上的平均变化率为(

)A.-1 B.1 C.2 D.3答案

B解析

因为f(x)=x2,所以f(x)在区间[-1,2]上的平均变化率为2.已知一直线运动的物体,当时间从t变到t+Δt时,物体的位移为Δs,那么A.时间从t变到t+Δt时物体的速度B.在t时刻该物体的瞬时速度C.当时间为Δt时物体的速度D.时间从t变到t+Δt时物体的平均速度答案

B3.(陕西高二期末)某运动物体的位移s(单位:米)关于时间t(单位:秒)的函数关系式为s=2t+1,则该物体在t=1秒时的瞬时速度为(

)A.1米/秒 B.2米/秒C.3米/秒 D.4米/秒答案

B4.过曲线f(x)=x2+1上两点P(1,2)和Q(1+Δx,2+Δy)作曲线的割线,当Δx=0.1时,割线的斜率k=

;当Δx=0.001时,割线的斜率k=

.

答案

2.1

2.001解析

若Δx=0.1,则1+Δx=1.1,则f(1.1)=1.12+1=1.21+1=2.21,若Δx=0.001,则1+Δx=1.001,则f(1.001)=1.0012+