导数构造新函数-同构法

课题同构新天地，放缩大舞台

在成立或恒成立命题中，很有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如我们能找到这

考点分析个函数模型(即不等式两边对应的同-函数)，无疑大大加快解决问题的速度.找到这个函数

模型的方法，我们就称为同构法.

授课内容

在成立或恒成立命题中，很有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如我们能找到这个函数模

型(即不等式两边对应的同••函数)，无疑大大加快解决问题的速度.找到这个函数模型的方法，我们就称为

同构法.如，若尸(x)20能等价变形为/卜(刈2/[/?(刈，然后利用/(x)的单调性，(如递增，再转化为

^(A-)>/<V)),这种方法我们就可以称为同构不等式(等号成立时，称为同构方程)，简称同构法.当然，用

同构法解题，除要有同构法的思想意识外，对观察能力、对代数式的变形能力的要求也是比较高的.正所谓,

同构解题，观察第一！同构出马，谁与争锋！同构思想放光芒，转化之后天地宽！

一、地位同等要同构，主要针对双变量；方程组上下同构，合二为一泰山移.

/(\)二/3)></)O/($)—fM-kx]</(x2)-k0

(1)Xy-x2

=点为增函数。

<—U.<占)。fM-f(x2)>M一-")=fM+—</(x2)+—

(2)花一工2刀/玉工2MW

oy=/(x)+人为减困数。

X

含有地位同等的两个变量X，W，或〃国等不等式，进行''尘归尘，土归土”式的整理，是一种常见变形,

如果整理(即同构)后不等式两边具有结构的一致性，往往暗示单调性(需要预先设定两个变量的大小).

二、指对跨阶想同构，同左同右取对数.

同构基本模式：

同右：eaIne"blnbf/(x)=AInx

(1)积型：aeaV」lnb=•同左:aea<(inb)e'nhtf(x)=xex

取对：«+In<In/?+In(in/(x)=x+lnx

mw

例：Z/lnxNme'oFinxZNee'。

x

说明：上述三个方法“取对”是最快捷和直观的

同右：-^—<———>

IneahibInx

0ax

(2；商型：—<—=>«同左：Wf/(x)=

abaIn/?x

取对：a-h\a<hi/?-In(inb)ff(x)=x-\nx

'同右：/±lnea<b+\nb^f[x)=ex±Inx

(3)和差型:+a>\nb±h=><

同左：ea±a>elnb±In〃T/(x)=ex±x

例：e'"+ax>ln(x+l)+x+l<=>e,a+ax>ein{x+}14-In(x+1)<=>6tx>In(x+1)

三、无中生有去同构，凑好形式是关键，凑常数或凑参数，如有必要凑变量.

(1)aeax>Inx-■>axe<lx>x\nx

(2、>aln(ax—，/)—a<->—es>In«(A—1)—1<->et-ln</—In«>ln(.v—1)—1

—―—>ex+x-In〃>ln(x-1)+x—1="+ln(x-])<=>x-Ina>In(x—1)

(3)ax>log,xo<z>(xlna)ex'n(>>xlnx

Ina

Inr

注意：因为a'、log〃x互为反函数，所以还可以这样转化优>log“x=优>xolna>」。

x

对于某些不等式，两边互为反函数比较隐蔽，需要出众的观察和做题量。

,1-../\11X—111

如：—e+\t—er+1t>x<=>—>------<=>—>—

aaaexcie~

四、同构放缩、切线放缩.

xxlxxxx

,、e>x+\^>e->x^>>e>ex^e>—x\e>\-hx-^—te<—(()<x<2\

(I)422-「卜

ex>ar+l(x>0,0<6/<l)

xZ=e'+mx>lnx+1,—=^-，nx>x-lnx4-i,—='一、>lnx-x+l;

变形：x+.r/

V/="+2EX2x+2]nX+1/2/=e"2inx24工+21nxi

x1

Inx<A:-1=>Inex<x=>InA:<—,In<x-1=>In-2,Inx>1——nxIn工Nx—1,

⑵ex

Inx<—fx--(x>l),lnx>—―(x>1);Inx<67(x-l)(x>1,6/>1)

2\x)x+1

ex

变形：x+lnx=Inxe\x-\nx=\n一

例1:对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数。

Ar

⑴log2x-)l-2>0

kxlogaXX

解析：log2x-1c•2^>0»xlog2x>kx-2«(logzx)•2>kx,2匕,/(x)=x•2.

(2)e2^--\ny^>0

2

解析：e2Zr-^lnVx>0<=>e2^>^Inx<=>2Axe2Zr>xlnx<=>2Axe2Xx>(lnx)eInx,/(x)=xex.

(3)x2Inx-niex>0

解折：x2]n%—me工N0oxlnxN?e"=Inx+InQnx)N；+ln?,/(x)=x+Inx.

(4)a(eax+l)>2^x+—jinx

解析：。(。⑪+1)>2(x+^)Inx<=>axe^•¥ax>2x2lnx+2lnx=x2lnr2+Inx2

oax•+ar>Inx2•e*nx2+Inx2,/(r)=xex+x.

(5)«In(x-1)+2(x-1)>ar+2^v

解析：aln(x-1)+2(x—1)>ox4-2ex<=>aln(x-1)+2(x-1)>aInex+2ex,/(x)=olnx+2x

(6)x+a\x\x+e~x>x<4(x>1)

解析：x+alnx+e-x>xa«x+e-x>xa-lnxa«e-x-lne-x>xa-lnxa,f(x)=x-Inx.

(7)e~x-2x-\nx=^

解析：e-x—2x-Inx=0<=>e-x-x=r+lnx<=>e~x+lne-x=x+Inx.f(x)=x+Inx.

(8)x2ex+Inx=0

解析：x2ex+lnx=0<=>xex="-<=>xex=-ln-<=>exlnex=-ln-,/(x)=x\nx.

XXXXX

例2：已知不等式优>log,M〃>0,awl),对Vx£(0,+oo)恒成立，则.的取值范围......

x,nflxlna

解析：Q”>logaxOe>"=(xlna)e>xlnx

Ina

(xlna)exIna>(lnx)e,nx-»/(x)=xex(1)

ex,nalnex,na>xInx->/(x)=x\nx(2)(三种模式，只需写一种)

xlna+ln(xIna)>Inx+ln(lnx)-*f(x)=x+inx(3)

tfl1(3)得，xlna>Inx.即lna>",由导数法可得Ina从而a>K.

xe

例3：若对任意x>0,恒有«(e<n+1)>2卜+-}In工,则实数a的最小值为---------

解析：Q(e"+1)>2(x+^)lnx«ax(e"+1)>(x2+l)lnx2=(e"+^Ine^>(x2+l)lnx2.

【枳型同构】

令/(幻=。+1)也无，则/(幻=加4+亨，/〃(刈=：-2=裳，

易知/'(外在(0,1)匕递减,在(1,+8)上递增,所以尸。)之尸(1)=2>0.

所以〃幻在(0,+8)单调递增.

则(❷⑪+l)lneax>(r2+l)lnx2«f(eax)>f(x2)«e«>x2ax>2Inx«>a>手.

由导数法易证.所以故答案为答案：

xeQN3ee

例4：已知函数/(6二-一〃人(G-〃)+〃(〃>0),若关于x的不等式/(x)>0恒成立，则实数〃的取值范

围是()

A.^e2]R(0,e2)C.[l,^2]D.(l,e2)

答案：B.

解析:/(x)=ex-a)n(ax—a)+a>0<=>^ex>lna(x-1)-1c=>ex-lna-Ina>ln(x-1)—1

oex-Ina+x-lna>+ln(x-1),【和差型同构】

令g(x)=ex+x.显然g(x)为增函数.

则原命题又等价于g(%-Ina)>gQn(x-1))<=>x-Ina>ln(x—1)<=>Ina<x-ln(x-1).

由J'x-ln(x-1)>x—(x-2)=2»所以Ina<2.即得0Va<e?.

例5：对任意x>0,不等式2。/'-11]工+1]]。之0恒成立，则实数。的最小值为.........

解析：2ae2x-]nx+InaN0=2ae?xNln±a=2xe2*Na±ln±a(x>0)【枳型同构】

<=>2x+ln2x>In(+In(in?Q>a).

由于fa)=x+ln%为增函数，所以由f(2r)Nf(ln?),得2%Nin京即aN恒成立.

令g(x)=W，则=累，易得gCOmax=g(D=~所以实数a的最小值为看

例6已知函数jf(x)=mln(x+l)-3x-3,,若关于x的不等式/(，>在(0,中»)恒成立,则实数加

的取值范围是()

A[0,3]B.[3,+OO)C.(-OO,3]D.(-OO,0]

解析：mln(x+1)-3(x+1)>mr-3e“=mine*-3e*,【同构】

令gG)=minx-3x,由g(x+1)>或。5，且lvx+lve”,知g(x)在(1,+8)为减函数，

所以g'(%)=3<0=^m<3x=^m<3.故选C.

例7：已知函数/(x)=〃e'-lnx-L证明:〃2一时,/(x)>0

e

证明：当QN嗣，/(x)>--lnx-l,所以只需证明e-lnx-lNO.

eee

由《一In-120oM"InexoxC。、o-“加exg*【同构】

令g(x)=x^,由g'(x)=ex(x+1)>0知g(x)为增函数.

又易证xNInex=Inx+1,所以g(x)Ng(lnex),即xe*Ndn^lnex成立.

故当QN轲，/(x)>0.

例8:已知/是函数/(6=//-2+]11_¥-2的零点，则62』+111%=-------

答案：2.

解析：x2ex~2+Inx-2=0<=>x2ex~2=2—Inx

<=>xex=：ln}oInx+x=In(in(9))+In仔).

所以ln(F)=x,即2-lnx=x,或e?-*=工

则e2f+lnx0=XQ+lnx0=2.

例9已知函数/(x)=Inx-x+l,g(x)=ore'-4x,其中a>0。求证：g(x)-2f(x)>2(lna-In2}

证明：g(x)-2/(x)=axex-4x-2(lnx-x+1)=axex-2(lnx+x+1)=axex-2lnxer-2.

令Mt)=at-21nt-2,则h'。)=a-：=平.

易知h(t)Nh(7)=-21若=2(lnQ-In2),

故g(%)-2/(x)>2(lna-In2).

例10：已知函数/(x)=x*T—lnx—ax,其中/(x)20对任意/>0恒成立，则实数。的最小值是.

1lnxav1x-1

解析：xe^-Inx-ax=e*--—(Inx+ax)>(Inx+ax)—(Inx+ax)=0(利用fe>x)

等号成立的条件是lnx+flx=l,即Q=2卢有解.

令ga)=W=则g<x)=Eqnc：,易得gGOminUgleOn-2

故。的最小值为-J

e2

例11：已知函数/'(x)=工(/*一。)若/(X)>14-X+InX,求4的取值范围______.

解析：/(x)>l+r+lnx«x(e2x-a)>l+x+lnx«e2r*,nx-l-x-lnx>ax

«a<------X------

由于1f—Tnx22hEx-Tnx=一当且仅当然+gX=0等号成立，所以QV1.

XX

例12：已知/(x)=xe、一ar2,g(x)=lnx+x-x2+]_£.,当。>0时,若硝:)=/(%)-ag(x)NO恒成立,

a

求实数。的取值范围。

解析：/(x)—ag(x)>0<=^xex+e>a(inx+%+1)oex*,nx4-e>a(lnx+x+1).

当Inx+x+lWO,不等式恒成立：

当lnx+x+l>0时，QW三七，由于唾胃N誓誓=e，【利用铲2ex】

x*lnx4>lx4-lnx*lx*Inx4-l

当且仅当x+lnx=1等号成立，所以Q"e.

故0vQ4e.

例13：已知函数/(x)=mdnx,若关于x的不等式/(x)2x—l在(0,+8)上恒成立，则实数〃?的取值集合

是.

答案：{1}.

解析：mxlnxNx—1恒成立，又等价于m，“n二之二-1,即mlnX4x—1恒成立，根据InxWx-l恒

XXX

成立，可知m=1.

X

例14：已知函数f(x)=—+a(lnx-x),求证：0<aWe?,/(x)+/20。

x

证明：/(x)=?+a(lnx-x)+e2=y-a(x-Inx)+e2=亍-alny+e2=t-alnt+e2(t=^->e)»

令g«)=t-e2Int+e2">e),则g'(£)=1一>=

易知g(t)>gCe2)=e2-2e2+e2=0.

又0<Q&e?时,t-aInt+e2>t-e2lnt+e2=g(t).

所以Ovage2时，/(x)+e2>0.

、十2xInU2+-V)2，、八

例15:证明：-------------』-----+120。

exx+1x+1

证明：4-ln(X—)一--+1>0«^21-ln(x2+x)+x-l>0.

exx+1x+1e1、,

因为^^^—ln(M+x)+x-1=e,n(x2+x)-x-ln(x2+x)+x-l

>ln(x2+r)-x+1-ln(x2+x)+x-1=0.

所以^一的ML_+i>o.

exX4-1x+1

例16：已知4>o,函数/(.9="-"一卜(工+4)-1(冗>0)的最小值为0,则实数a的取值范围是()

1)1

B.-,1CA-\D.0

L-2/)'2J

答案：c.

解析：/(x)=e^-a-ln(x+a)-1>x—a+1-(x+a—l)-l=l-2a=0.

当且仅当广：Q=?,即x==：时等号成立，所以Q=g

例17：完成下列各问

(1)已知/'(x)=lnx+x-此㈤，则函数/(x)的最大值为；

(2)函数/(幻二/一电二口的最小值是_______；

X

(3)函数/(x)=(x+lnx+l上7一x的最大值是________；

(4)函数/(幻=立二型丫的最小值是________.

X+]

答案：(1)-2：(2)I：(3)0：(4)1

解析：(1)/(x)=Inx4-x-1=x+Inx-ex+lnx+1,

由于戈+lnx-铲+加/1<x+lnx-(x+lnx+2)=-2,

当且仅当x+In%+1=0时等号成立，所以/(%)W-2.

>x+lnx+1-lnxT

(2)/(幻二八32当且仅当x+lnx=。时等号成立.

xf,nx

xx+lnx+l-xex+lnx+l-e/x+!nx+l-(x+lnx+l)n

(3)/(x)=e-(x+Inx+1)-x=-----------;----------s-----------------------------=01

当且仅当％+lnx=0时等号成立.

“)/(%)=三詈=勺产之上岂产=1，当且仅当％+2E%=0时等号成立.

例18：完成下列各问

(1)已知函数=—a(x+lnx),若/(x)20恒成立，则实数a的取值范围是；

(2)已知函数/(x)=x/—a(x+lnx+l),若,f(x)20恒成立，则正数a的取值范围是；

(3)已知函数/2=x/+e-〃(x+lnx+l),若/(x)20恒成立，则正数〃的取值范围是________；

(4)已知函数.记丫-乩工+口之卜工对任意正数x恒成立，则实数。的取值范围是_________；

(5)己知函数/(x)=xZ-aInx-xT(x>l),其中人>0,若/(x)之0恒成立，则实数〃力的大小关系

是;

(6)已知函数/2=4--lnx-l,若/(x)20恒成立，则实数。的取值范围是；

(7)已知函数/2=a/x-inx-l,若/(x)20恒成立，则实数〃的取值范围是_________；

(8)已知不等式，-12履+1门，对V.E£(0,E)恒成立，则上的最大值为;

(9)若不等式ca+xe-.—Inx—120对x>()恒成立，则实数。的取值范围是；

答案：(l)OWaWe：(2)0<a<1：(3)0<a<e：(4)a<1：

(5)a<b：(6)a>^：(7)aN±(8)Zc>e-1：(9)(-001~l-

解析：(1)/(r)>0<=>xex-a(x+Inx)>0<=>ex+,nx>a(x+lnx)e=>ee>at(t=x+lnx)

a>~(t<0)fn>n

0of二。o0WQ4e.【或通过数形结合，<a<e]

a<^-t(t>0)1I

t

(2)f(x)N0oxex-a(x+Inx+1)>0<=>ex+Inx>a(x+Inx+1).

当x+Inx+lWO时,原不等式恒成立:

x*lnx>x+lnx+1

当*+时,诉由于e

lnx+l>07Tx+Inx+1-x+l