8.2 二重积分的计算法

17.2

二重积分的计算法

7.2.1

利用直角坐标计算二重积分

当积分区域是X型区域时

当积分区域是Y型区域时234交换积分顺序①由所给的积分顺序及积分限写出D的不等式表示并画出积分区域的草图②由积分区域按新的积分顺序确定积分限。例3

交换以下积分的积分顺序41yxyox评注本例中两题不能交换积分次序，因为先积分的原函数不能用初等函数表达出来，从而二重积分计算不出来。5例5求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体体积。解设这两个圆柱面的方程分别为

利用立体关于坐标平面的对称性，只要算出它在第一卦限部分(如图(a))的体积V1，然后再乘以8就行了。x2+y2=R2及x2+z2=R2yoxDxyRRzo6

所求立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的底为如图所示，它的顶是柱面yoxDxyRRzo7yoxD利用公式(1)，得xyRRzo87.2.2利用极坐标计算二重积分

有些二重积分，积分区域D的边界用极坐标方程来表示比较方便，且被积函数用极坐标变量r、

表达比较简单。这时，我们就可以利用极坐标计算二重积分。

下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式。91、极坐标系下的二重积分的形式

假定从极点O出发且穿过闭区域D内部的射线与D的边界曲线相交不多于两点。我们用(2)从极点出发的一族射线：θ=常数，把D分成n个小区域（如上图）。(1)以极点为中心的一族同心圆：r=常数，10

除了包含边界点的一些小闭区域外，小闭区域的面积⊿

i可计算如下：1112132、如何化为两次单积分积分顺序：一般是先积r后积

。定限的方法：依D的特点。OxDOxD14OxDOxD15αβOxD16oxD

由二重积分的性质4，闭区域D的面积

可以表示为17(1)18(2)19(3)20212223122425解积分区域D的图形D：0

r

a,0

θ

2

2627D1OxyRD2SD128OxyRSD1D2D1OxyR2930例4求球体x2+y2+z2=4a2被圆柱x2+y2=2ax(a>0)所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积。Dyxo2axyoD

313233解由被积函数的对称性，可只考虑第一象限部分347.2.3二重积分的换元法

上述将直角坐标系下二重积分化为极坐标系下的二重积分本质上是一种变量代换，即极坐标变换。积分区域的变换：将直角坐标系中的扇形域D变为极坐标系中的矩形域D1。35其边界的对应为36由此得到37上式右端是在D1上确定积分限。由此可见讨论二重积分的一般坐标变换：

应分析uov平面上区域D1与xoy平面上区域D的变换及面积元素之间的关系，然后将uv平面上的二重积分化为二次积分。可以证明38定理7.2.1设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续公式（5）称为二重积分的换元公式。39

此变换称为广义极坐标变换，在此变换下与区域D对应的区域D1为40从而有41类似地，利用广义极坐标变换可得椭圆42故所求面积434445二重积分的习题课

3、性质一、内容提要（一）二重积分的概念、性质1、定义2、几何意义：曲顶柱体的体积46（二）二重积分的计算1

、直角坐标系中(1)积分区域D的类型：X—型区域，Y—型区域,一般区域分划。oabxyDyoxdc47

积分区域的不等式表示的是二重积分化为二次积分确定积分限的基本依据。(2)积分顺序的确定

先积y还是先积x，要结合被积函数f(x,y)及积分区域两个方面的特点加以考虑。

如仅从积分区域的特点看，D是X—型区域时先积y；D是Y—型区域先积x。

首先是“能积出”，其次是“易积出”。D既是X—型区域又是Y—型区域时,选定限时不需分块或分块较少的积分顺序。48oabxyDyoxdc49(3)交换积分顺序2、利用极坐标计算二重积分

由所给的二次积分的顺序及积分限，确定积分区域D（画出图形），再按新的积分顺序将D用新的不等式表出，即定出新的积分限。(1)积分顺序通常是先ρ后

(2)D的极坐标表示50

如D的边界是由直角坐标方程:y=f(x)给出，通常可从几何意义去确定D的极坐标表示（图形是重要的）或利用x=ρcos

，y=ρsin

进行变换。OxDOxDoxD5152（三）有关二重积分的对称性的应用1、若D关于y轴对称其中D1是D的右半区域

即当(x,y)∈D时，必有(

x,y)∈D，则532、若D关于x轴对称D1是D的上半部分区域即当(x,y)∈D时，必有(x,

y)∈D，则543、若D关于原点对称，即当(x,y)

D时，必有(

x,

y)

D，则其中D1是D的上半部分（或右半部分）区域。55（四）有关二重积分的一些证明题4、若D关于直线y=x对称，即当(x,y)∈D时，必有(y,x)∈D，则

中值定理、变上限积分、换元等56y12xo因为在D2内部f(x,y)

0;所以有I3

I1

I2（也可用“

”）。在D2外部f(x,y)<05758解

D的图形如下,将D分成三个部分区域。5960例4计算下列二重积分解

(1)D的图形如右。应先积y61应先积x62解积分区域D如图所示6364例6计算下列二重积分

65D2aOaxy66D2aOaxy67DoxyR68DoxyR69y=xy=

xD关于x轴对称，被积函数关于y为偶函数。用直线y=x、y=

x、

y=0将D分成四个小区域。D2D4D1D3o

1xy2170y=xy=

xD2D4D1D3o

1xy2171解法一利用对称性。D1D2D1关于y轴对称D2关于x轴对称作曲线y=－x3，将区域D分成两部分D1

和D2y

1

o

1x

因为连续函数xsinyf

(x2+y2)关于变量x、y分别都是奇函数，x

关于变量x是奇函数，所以有72D1D2y

1

o

1x

73解法二设F(u)是f(u)的一个原函数，=0（被积函数为奇函数）y

1

o

1x

747576证明区域D如图所示。将所给二次积分写成二重积分，有

再将所给的二次积分中x、y对换xyD77xyDD

78

也可借用原函数证明：设F(x)是f(x)的一个原函数，则79解积分区域如图xyD80xyD81证明

选择积分区域如右Dxy82例13设f(x)是[0，1]上的正值连续函数，且单调减少，求证证明在题设条件下，xy83将上式中的x、y对换，有x