不定积分课件

第4章不定积分4.1不定积分的概念与性质4.2换元积分法4.3分部积分法4.4几类特殊函数的积分4.1不定积分的概念与性质4.1.1原函数的概念4.1.2不定积分的概念4.1.3基本积分表4.1.4不定积分的基本运算法则例1.定义4.1.1：4.1不定积分的概念与性质4.1.1原函数的概念如果在区间I内，可导函数F(x)的在区间I上的一个原函数.注：原函数与区间有关。(1)原函数存在定理：

如果函数f(x)在区间I上连续，则f(x)在区间I上一定存在原函数，即存在F(x)，使对任一x∈I，有（下一章将证明）2．几个问题“连续函数一定有原函数”条件是充分而非必要的。例如

f(x)在x=0处间断，但在(－∞，+∞)内处有(2)如f(x)在I上有原函数，那么有多少？其中C为任意常数。(3)完备性问题设F(x),G(x)都是f(x)在I上的原函数，所以G(x)－F(x)在I上为一常数C，即G(x)=F(x)+C.

这说明，函数族F(x)+C是f(x)的全体原函数的集合，它可以表示f(x)在I上的任一原函数。定义4.1.2

在区间I上f(x)的原函数的全体称为f(x)（或f(x)dx）在I上的不定积分，记任意常数积分号被积函数被积表达式积分变量4.1.2不定积分的概念如F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，则有例1

求解解例2

求例3求解：将上两结果结合起来，有例4设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解设曲线方程为根据题意知由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为2.不定积分的几何意义的一个原函数的图形称为的图形的积分曲线族的积分曲线.相同横坐标下，切线相互平行3.积分、微分之间的关系由不定积分的定义，可知结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.例5设arctan

x是f(x)的一个原函数,求解：基本积分表一4.1.3

基本积分表4.1.4不定积分的基本运算法则

上述定理也称为不定积分的线性性质例6

解：原式目前的积分方法：直接积分法——利用基本积分公式及积分的线性性质来计算不定积分的方法。定理4.1.1

设f(x),g(x)的原函数存在,k,l是常数,则例8求积分解例7

解：原式例9求积分解例10例11例12例13例14说明:(1)同一个函数的不定积分，可以通过不同的形式表达，但经过恒等变形可以相互转化.

(2)

检验：求导验证

(3)

基本方法:1)对照积分表，变换被积函数。2)变换技巧：对分式添项，拆项，对三角函数进行三角变换。思考与练习1.

若提示:不定积分习题课一、内容与要求1、理解原函数、不定积分的概念及性质2、熟悉不定积分的基本公式共23个公式要记熟。3、掌握不定积分的两类换元法第一类换元法（凑微分法）常见类型：常用代换:第二类换元法（代入换元法）4、掌握分部积分法u、v的选取原则：(2)“对、反、幂、三、指”，前者为u.5、会综合运用各种积分方法计算积分.6、三类特殊类型的函数的积分。(3)“还原法”，“抵消法”。二、典型例题例1设f(x)的一个原函数为(1+sinx)lnx,解：设lnx=t，则x=et，原式变形为当t≤0时，当t