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文档简介

第十章曲线积分与曲面积分本章将把积分概念推广到积分范围为一段曲线弧或一片曲面的情形（这样推广后的积分称为曲线积分和曲面积分），并阐明有关这两种积分的一些基本内容。第一节对弧长的曲线积分一、问题的提出二、对弧长的曲线积分的概念与性质三、对弧长的曲线积分的计算法四、几何与物理意义五、小结一、问题的提出实例:曲线形构件的质量匀质时质量分割求和取极限近似值精确值1.定义二、对弧长的曲线积分的概念被积函数积分弧段积分和式曲线形构件的质量xy

oz(2)若由首尾相接而成,则(1)

设为常数,则4.性质(3)设在上,则特别有二、对弧长曲线积分的计算定理证假定当参数由变到

时上的点依点

至点的方向描出曲线.

在上取一列点它们对应于一列单调增加的参数值

根据对弧长的曲线积分的定义,有

设点对应于参数值,这里由于

应用积分中值定理,有故而在[]上由于在[]上连续,故可将上式中换成，从而连续，故它在[]上的定积分存在，因此上式左端的曲线积分也存在，且有注意:特殊情形

(3)令例1求解法1分析：因曲线L的方程关系推广:

x

y

o可直接用来化简被积函数,而故可将积分化为对x的定积分.

解法1是特殊方法,因为被积函数是定义在曲线上的,故的方程关系可直接用来化简被积函数,这在重积分中是万万不可的！解法2将L的方程用参数形式表示解法3将L的方程用另一种参数形式表示

x

y

o例2设的周长为,求

例3求,由轴在第一象限围成图形的边界.

解法分析因曲线弧是分段光滑的,为简便计算,不同曲线应选择不同形式的方程.

x

y

o

x

y

o例4

解题提示一般地,求空间曲线上的曲线积分时,要将空间曲线化为参数式后求解.解法2由对称性,知

注意

(1)求对弧长的曲线积分时,先要尽可能将

化简;(2)用对称性技巧解对弧长的曲线积分往往有事半功倍之效.四、几何与物理意义

一般地,当曲面在坐标面上的投影为一条曲线时,通常用对弧长的曲线积分计算面积.zxy

o(2)将用参数式表示五、小结1.对弧长曲线积分的概念2.对弧长曲线积分的计算计算关键：选择合适的参数方程化为定积分,计算步骤：(1)画弧3.对弧长曲线积分的应用(3)将表示为(4)“换元积分”.

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