湖南师范大学《线性代数》课件-第1章矩阵

为什么要学习线性代数？学了又有什么用？基础课、大用场数学思维训练：概念

定理

性质

新的结论建模实际问题的数学建模科学计算(模型求解)：方程求解（数值分析）（工程问题）运筹决策、最优化

矩阵行列式线性方程组

向量空间

二次型内容

特征值问题矩阵线性方程组行列式向量组一一对应一一对应第一章矩阵

矩阵的概念矩阵的运算矩阵的初等变换和初等矩阵湖南师范大学《线性代数》第一节矩阵的概念一、矩阵的定义二、若干特殊矩阵三、矩阵的应用举例一、矩阵的定义

由个数排成的行列的数表称为

维矩阵.简称矩阵.记作简记为元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.例如是一个实矩阵,是一个复矩阵,是一个矩阵.1.方阵

行数和列数都等于n的矩阵A,称为n阶矩阵或n阶方阵我们称a11,a22,…,ann为方阵A的主对角元,它们所在的对角线称为主对角线.称a1n,a2,n-1,…,an1所在的对角线为副对角线.二、若干特殊矩阵例如是一个3阶方阵.主对角线副对角线全为零的方阵称为上三角矩阵。全为零的方阵称为下三角矩阵。

称为对角矩阵(或对角阵）.（3）形如的方阵,不全为0记作(4)数量矩阵（标量矩阵）称为单位矩阵（或单位阵）.有时也记作E.全为1为数量矩阵或标量阵。当时，记作(5)只有一行元素的矩阵称为行矩阵(或行向量).只有一列元素的矩阵称为列矩阵(或列向量).

（6）元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作或.注意不同阶数的零矩阵是不“相等”的.例如三、矩阵的应用举例

1.某IT集团公司向两个代理商发送三种电脑的数量(单位:套)如下表如示：商品名代理商WorkPadTabletPCNC

甲a11a12a13乙a21a22a23表中的数据可列成矩阵其中aij为该公司向第i

个代理商发送第j种电脑的数量.

另外，这三种电脑的单价及单件重量也可由以下矩阵来表示：其中,bi1

为第i种电脑的单价,bi2

为第

i

种电脑的重量.系数矩阵2线性方程组常数项系数常数项线性方程组的解取决于其系数可以表示成一个m×n维矩阵：线性方程组的系数矩阵其系数与常数项可表示为一个m×(n+1)维矩阵:线性方程组的增广矩阵方程组中未知量及常数项可以表示成n×1维和m×1维矩阵:第二节矩阵的运算

矩阵的线性运算矩阵的乘法运算矩阵的转置2.两个矩阵为同维矩阵,并且对应元素相等,即则称矩阵相等,记作例如为同维矩阵.

同维矩阵与矩阵相等的概念1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同维矩阵.例设解1、定义一、数与矩阵相乘显然，0·A=O,1·A=A.

2、数乘矩阵的运算规律（设为矩阵，为数）１、定义二、矩阵的加法设有两个矩阵那末矩阵与的和记作，规定为说明

只有当两个矩阵是同维矩阵时，才能进行加法运算.例如2、矩阵加法的运算规律设A,B,C都是m×n矩阵，λ,μ是数，则

矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.

由加法和数乘运算，可以定义矩阵的减法，即设A=[aij]m×n，B=[bij]m×n，则例1

设矩阵，，计算解：例2求解矩阵方程2X－A＝B，其中解：由2X－A＝B,可得代入A，B，则有三、矩阵与矩阵相乘商品名代理商１、定义并把此乘积记作设是一个矩阵，是一个矩阵，那么规定矩阵与矩阵的乘积是一个矩阵，其中1.只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.例如不存在.说明：2.

一个行矩阵与一列矩阵的乘积是一个一阶方阵，也就是一个数，即cij是A的第i行与B的第j列的乘积.设例3故解

例4设矩阵求矩阵AB与BA.解：由于B的列数不等于A的行数，因此BA不存在.

例5设矩阵求矩阵AB与BA.解：由乘法定义，可知

例6设矩阵求矩阵AB与BA.解：由乘法定义，可知注意：与数的相乘不同(1)矩阵乘法不满足交换律，即在一般情况下，称AB为A左乘B，而称BA为A右乘B.

若AB＝BA，则称矩阵A，B可交换.A,B可交换的必要条件是A,B为同阶方阵.但也有例外，比如设则有(2)在一般情况下，由AB＝0不能得出A＝0或B＝0的结论.因此，矩阵乘法不满足消去律.即由A≠0，AB＝AC，不能推出B＝C.如，有但是B≠C.

２、矩阵乘法的运算规律（其中为数）;例6两个下三角矩阵的乘积仍是下三角矩阵。上三角矩阵的乘积仍是上三角阵。对角阵的乘积仍为对角阵。000在i<j时，右端第一个和式中的bkj=0,第二个和式中的aik=0,从而cij=0,由此得证C＝AB为下三角矩阵.例7设，求所有与A

可交换的矩阵.解：

由可交换矩阵的定义可知，所求矩阵必为2阶方阵，不妨设为于是有由AB＝BA，有即c=0,a=d.因此3.矩阵的幂(1)矩阵幂的定义

设A是n阶方阵，k为正整数，定义Ak为k个A连乘，即(2)矩阵幂的运算规律

设A是方阵，k,m是正整数，则

注意：由于矩阵乘法不满足交换律，因此对于两个n阶矩阵A与B，一般而言，如则即(AB)2≠A2B2.

例8设f(x)=x3-3x2+3x+2,以f(A)表示矩阵多项式，即

f(A)=A3-3A2+3A+2I,若试求f(A).解法一：f(A)=A3-3A2+3A+2I解法二：设f(x)=amxm+am-1xm-1+∙∙∙+a0，A是一个方阵，定义f(A)=amAm+am-1Am-1+∙∙∙+a0I称之为矩阵A的多项式.例9试证当n为正整数时，证明：当n=1时，等式显然成立.对n使用数学归纳法.设当n=k时，成立当n=k+1时，有因此，结论成立.方法：归纳法例9的几何解释事实上，在平面直角坐标系中表示将坐标点(x,y)逆时针旋转θ角.

例9等式的左边表示将点(x,y)连续n次逆时针旋显然结果是一样的，因此，等式成立.转θ角，等式右边表示将(x,y)逆时针旋转nθ角，解例10由此归纳出用数学归纳法证明当时，显然成立.假设时成立，则时，所以对于任意的都有例11设，求解：由此归纳出下面用数学归纳法证明上式成立。当n=2时等式显然成立.假设当n=k时等式成立.当n=k+1时，因此，对一切n，都有解：因此，当n是偶数时，则当n是奇数时，则例12已知，n是正整数，求求An或A的高次幂的常用方法：若A为一个列矩阵与行矩阵的乘积，则由矩阵乘法的结合律，进而可得(2)计算A的低次幂，由此归纳出An的表达式，并用数学归纳法证明.(3)计算A的低次幂，利用其中出现的特殊矩阵(如数量阵、单位矩阵、零矩阵)求出An

或A的高次幂.思考题成立的充要条件是什么?思考题解答答故成立的充要条件为矩阵A、B可交换。即数量阵与所有n阶方阵作乘法可交换例１、转置矩阵（Transpose）四、矩阵的转置运算定义

把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作或

.转置矩阵的运算性质(4)证明：

则AB是m×n矩阵，(AB)T是n×m矩阵.

另一方面，BT是n×s矩阵，AT是s×m矩阵，则BTAT也是n×m矩阵.设A＝[aij]m×s，B＝[bij]s×n，(AB)T的(i,j)元即为AB的(j,i)元，故等于BTAT中的(i,j)元等于BT的第i行与AT第j列对应元素乘上面两式显然相等，因此积之和，故等于B的第i列与A的第j行对应元素乘积之和，即例

已知解法1解法22、对称阵与反对称阵对称阵定义设为阶方阵，如果满足，即那末称为对称阵.对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等。